Utilisateur:Ambre Troizat

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      <text bytes="20727" sha1="tgeg0w5gulvmfcp7qjtwaglc2rtkplq" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ==

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
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 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
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        <username>Ambre Troizat</username>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19763" sha1="8eclzdwyqpqfb0ys4al5mfnlyn5avyv" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
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      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Lien interne à Wikiversité */ Positionnement du bloc</comment>
      <origin>987365</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20731" sha1="abv2qks6wustfloxjfr01g18hjsy36j" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
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==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>abv2qks6wustfloxjfr01g18hjsy36j</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987366</id>
      <parentid>987365</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T14:12:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 6. Liens vers Wikipédia */ déplacement du bloc</comment>
      <origin>987366</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19680" sha1="raxap2hfnhgks4mod98x7yruresjjfe" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>raxap2hfnhgks4mod98x7yruresjjfe</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987367</id>
      <parentid>987366</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T14:13:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 3. Lien vers Wikisource */ Positionnement du bloc</comment>
      <origin>987367</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20735" sha1="4cskyks1umltwftcj1v1iflpoxarllp" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>4cskyks1umltwftcj1v1iflpoxarllp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987368</id>
      <parentid>987367</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T14:13:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 4. Lien vers Wikimedia Commons */ Déplacement du bloc</comment>
      <origin>987368</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19686" sha1="5uc4e9nb6geghu59hmhoa4mykru53ai" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
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    </revision>
    <revision>
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      <parentid>987368</parentid>
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      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 6. Liens vers Wikipédia */ Positionnement du bloc</comment>
      <origin>987369</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20737" sha1="fjz9cz7ub5ktyr3a8byjd1yomidwp95" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 4. Lien vers Wikimedia Commons ===
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>fjz9cz7ub5ktyr3a8byjd1yomidwp95</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987370</id>
      <parentid>987369</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T14:15:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 3. Lien vers Wikisource */ Déplacement du bloc</comment>
      <origin>987370</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20266" sha1="ilktsyz1xp1frtuxaatk7iddqirzrp1" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 4. Lien vers Wikimedia Commons ===
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

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 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>ilktsyz1xp1frtuxaatk7iddqirzrp1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987371</id>
      <parentid>987370</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T14:16:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 6. Liens vers Wikipédia */ Positionnement du bloc</comment>
      <origin>987371</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20737" sha1="r83viruvgejremjdiam58l8sdbs169s" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 4. Lien vers Wikimedia Commons ===
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
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 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>r83viruvgejremjdiam58l8sdbs169s</sha1>
    </revision>
    <revision>
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      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 9. Règle pratique */ déplacement du bloc</comment>
      <origin>987372</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20174" sha1="a4xs2gixk3sndlwk3ak2cxmep23nwfl" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 4. Lien vers Wikimedia Commons ===
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

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J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

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* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
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Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

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File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
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&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>a4xs2gixk3sndlwk3ak2cxmep23nwfl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987373</id>
      <parentid>987372</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T15:06:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Lien interne à Wikiversité */</comment>
      <origin>987373</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21287" sha1="8en5dafzsljkaaxmm2j5mo8k13cy32r" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, poser trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :
# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.

A partir de Wikimedia Commons :
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
 :
* &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
* Exemple :&lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]&lt;/nowiki&gt;.
* Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;


Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;


=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 4. Lien vers Wikimedia Commons ===
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>8en5dafzsljkaaxmm2j5mo8k13cy32r</sha1>
    </revision>
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      <id>987378</id>
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      <timestamp>2026-10-13T15:36:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 9. Règle pratique */ Rédaction de la section</comment>
      <origin>987378</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21447" sha1="d46vjht36induiqy1f1szps5wqh3ijq" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

====Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
A partir de Wikimedia Commons :&lt;br&gt;
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia&lt;br&gt;
# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

A partir de Wikisource &lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;


Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 4. Lien vers Wikimedia Commons ===
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
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    </revision>
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        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 9. Règle pratique */ Rédaction de la section.</comment>
      <origin>987383</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22537" sha1="qwk6p7y7q7z7o9ybxpvui8vj9nwgul8" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

==== Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;

===== A partir de Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia: images fixes et images animées, des copies d'archives&lt;br&gt;

# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;


===== A partir de Wikidata =====

Wikidata se présente comme une base de connaissance libre, collaborative, multilingue, et secondaire qui collecte des données structurées pour alimenter Wikipédia, Wikimedia Commons et les autres wikis du mouvement Wikimédia dont Wikisource. Vous et moi, n'importe qui de par le monde peut utiliser Wikidata pour construire une base de données respectueuse des règles wikimédienne.

Wikidata est collaborative. Les données sont ajoutées et vérifiées par les contributeurs de Wikidata, qui décident des règles gouvernant la création et la gestion du contenu. Des robots automatisés introduisent aussi des données dans Wikidata.
 ''Pour plus d'informations, se rendre sur la page &lt;nowiki&gt;[[d:Wikidata:Introduction/fr|Introduction à Wikidata]]&lt;/nowiki&gt;.

Chaque item, ou fiche individuel décrit un objet qualifié par son &quot;QI&quot; qui le désigne individuellement. Ce QI exclusive entre dans la construction du lien.


https://www.wikidata.org/wiki/Q124486339

A partir de Wikisource versus Base de données bibliographique Wikidata&lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;


Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 4. Lien vers Wikimedia Commons ===
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
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    </revision>
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      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* A partir de Wikidata */ Rédaction de la section.</comment>
      <origin>987384</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22549" sha1="q19d93wck6uzu1ccheu5gm5d8upes0r" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

==== Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;

===== A partir de Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia: images fixes et images animées, des copies d'archives&lt;br&gt;

# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;


===== A partir de Wikidata =====

Wikidata se présente comme une base de connaissance libre, collaborative, multilingue, et secondaire qui collecte des données structurées pour alimenter Wikipédia, Wikimedia Commons et les autres wikis du mouvement Wikimédia dont Wikisource. Vous et moi, n'importe qui de par le monde peut utiliser Wikidata pour construire une base de données respectueuse des règles wikimédienne.

Wikidata est collaborative. Les données sont ajoutées et vérifiées par les contributeurs de Wikidata, qui décident des règles gouvernant la création et la gestion du contenu. Des robots automatisés introduisent aussi des données dans Wikidata.
 ''Pour plus d'informations, se rendre sur la page &lt;nowiki&gt;[[WD:INTRO]]&lt;/nowiki&gt; ; Introduction à Wikidata ; [[d:Intro]], Introduction à Wikidata

Chaque item, ou fiche individuel décrit un objet qualifié par son &quot;QI&quot; qui le désigne individuellement. Ce QI exclusive entre dans la construction du lien.

https://www.wikidata.org/wiki/Q124486339

A partir de Wikisource versus Base de données bibliographique Wikidata&lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;
Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 4. Lien vers Wikimedia Commons ===
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
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        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 4. Lien vers Wikimedia Commons */ déplacement du bloc</comment>
      <origin>987385</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21498" sha1="l1pvl7ukiso4jtxo7rs984hsgef9vis" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

==== Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;

===== A partir de Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia: images fixes et images animées, des copies d'archives&lt;br&gt;

# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;


===== A partir de Wikidata =====

Wikidata se présente comme une base de connaissance libre, collaborative, multilingue, et secondaire qui collecte des données structurées pour alimenter Wikipédia, Wikimedia Commons et les autres wikis du mouvement Wikimédia dont Wikisource. Vous et moi, n'importe qui de par le monde peut utiliser Wikidata pour construire une base de données respectueuse des règles wikimédienne.

Wikidata est collaborative. Les données sont ajoutées et vérifiées par les contributeurs de Wikidata, qui décident des règles gouvernant la création et la gestion du contenu. Des robots automatisés introduisent aussi des données dans Wikidata.
 ''Pour plus d'informations, se rendre sur la page &lt;nowiki&gt;[[WD:INTRO]]&lt;/nowiki&gt; ; Introduction à Wikidata ; [[d:Intro]], Introduction à Wikidata

Chaque item, ou fiche individuel décrit un objet qualifié par son &quot;QI&quot; qui le désigne individuellement. Ce QI exclusive entre dans la construction du lien.

https://www.wikidata.org/wiki/Q124486339

A partir de Wikisource versus Base de données bibliographique Wikidata&lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;
Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>l1pvl7ukiso4jtxo7rs984hsgef9vis</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987386</id>
      <parentid>987385</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T19:42:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* A partir de Wikimedia Commons */</comment>
      <origin>987386</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22577" sha1="swc0tc6d1m0h6w6tx2o7cnfxikw4h1i" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

==== Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;

===== A partir de Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia: images fixes et images animées, des copies d'archives&lt;br&gt;

# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

===== 4. Lien vers Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe c:suivie du nom du fichier &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

===== A partir de Wikidata =====

Wikidata se présente comme une base de connaissance libre, collaborative, multilingue, et secondaire qui collecte des données structurées pour alimenter Wikipédia, Wikimedia Commons et les autres wikis du mouvement Wikimédia dont Wikisource. Vous et moi, n'importe qui de par le monde peut utiliser Wikidata pour construire une base de données respectueuse des règles wikimédienne.

Wikidata est collaborative. Les données sont ajoutées et vérifiées par les contributeurs de Wikidata, qui décident des règles gouvernant la création et la gestion du contenu. Des robots automatisés introduisent aussi des données dans Wikidata.
 ''Pour plus d'informations, se rendre sur la page &lt;nowiki&gt;[[WD:INTRO]]&lt;/nowiki&gt; ; Introduction à Wikidata ; [[d:Intro]], Introduction à Wikidata

Chaque item, ou fiche individuel décrit un objet qualifié par son &quot;QI&quot; qui le désigne individuellement. Ce QI exclusive entre dans la construction du lien.

https://www.wikidata.org/wiki/Q124486339

A partir de Wikisource versus Base de données bibliographique Wikidata&lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;
Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>swc0tc6d1m0h6w6tx2o7cnfxikw4h1i</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987387</id>
      <parentid>987386</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T19:44:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 8. Erreurs fréquentes */ Clear page</comment>
      <origin>987387</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22547" sha1="dsqd1u4fk4cgplxgbpeizyhpdb9qemp" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

==== Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;

===== A partir de Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia: images fixes et images animées, des copies d'archives&lt;br&gt;

# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

===== 4. Lien vers Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe c:suivie du nom du fichier &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

===== A partir de Wikidata =====

Wikidata se présente comme une base de connaissance libre, collaborative, multilingue, et secondaire qui collecte des données structurées pour alimenter Wikipédia, Wikimedia Commons et les autres wikis du mouvement Wikimédia dont Wikisource. Vous et moi, n'importe qui de par le monde peut utiliser Wikidata pour construire une base de données respectueuse des règles wikimédienne.

Wikidata est collaborative. Les données sont ajoutées et vérifiées par les contributeurs de Wikidata, qui décident des règles gouvernant la création et la gestion du contenu. Des robots automatisés introduisent aussi des données dans Wikidata.
 ''Pour plus d'informations, se rendre sur la page &lt;nowiki&gt;[[WD:INTRO]]&lt;/nowiki&gt; ; Introduction à Wikidata ; [[d:Intro]], Introduction à Wikidata

Chaque item, ou fiche individuel décrit un objet qualifié par son &quot;QI&quot; qui le désigne individuellement. Ce QI exclusive entre dans la construction du lien.

https://www.wikidata.org/wiki/Q124486339

A partir de Wikisource versus Base de données bibliographique Wikidata&lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;
Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>dsqd1u4fk4cgplxgbpeizyhpdb9qemp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987388</id>
      <parentid>987387</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T19:47:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Lien vers Wikidata */ Déplacement du bloc.</comment>
      <origin>987388</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21108" sha1="oq9iorrvqktivjbaiy11nzjcjsiwby7" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

==== Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;

===== A partir de Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia: images fixes et images animées, des copies d'archives&lt;br&gt;

# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

===== 4. Lien vers Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe c:suivie du nom du fichier &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

===== A partir de Wikidata =====

Wikidata se présente comme une base de connaissance libre, collaborative, multilingue, et secondaire qui collecte des données structurées pour alimenter Wikipédia, Wikimedia Commons et les autres wikis du mouvement Wikimédia dont Wikisource. Vous et moi, n'importe qui de par le monde peut utiliser Wikidata pour construire une base de données respectueuse des règles wikimédienne.

Wikidata est collaborative. Les données sont ajoutées et vérifiées par les contributeurs de Wikidata, qui décident des règles gouvernant la création et la gestion du contenu. Des robots automatisés introduisent aussi des données dans Wikidata.
 ''Pour plus d'informations, se rendre sur la page &lt;nowiki&gt;[[WD:INTRO]]&lt;/nowiki&gt; ; Introduction à Wikidata ; [[d:Intro]], Introduction à Wikidata

Chaque item, ou fiche individuel décrit un objet qualifié par son &quot;QI&quot; qui le désigne individuellement. Ce QI exclusive entre dans la construction du lien.

https://www.wikidata.org/wiki/Q124486339

A partir de Wikisource versus Base de données bibliographique Wikidata&lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;
Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>oq9iorrvqktivjbaiy11nzjcjsiwby7</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987389</id>
      <parentid>987388</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T19:48:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* A partir de Wikidata */</comment>
      <origin>987389</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21111" sha1="fywuffx20r53cu0jo0egbaqyp290ed9" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

==== Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;

===== A partir de Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia: images fixes et images animées, des copies d'archives&lt;br&gt;

# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

===== 4. Lien vers Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe c:suivie du nom du fichier &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

===== A partir de Wikidata =====

Wikidata se présente comme une base de connaissance libre, collaborative, multilingue, et secondaire qui collecte des données structurées pour alimenter Wikipédia, Wikimedia Commons et les autres wikis du mouvement Wikimédia dont Wikisource. Vous et moi, n'importe qui de par le monde peut utiliser Wikidata pour construire une base de données respectueuse des règles wikimédienne.

Wikidata est collaborative. Les données sont ajoutées et vérifiées par les contributeurs de Wikidata, qui décident des règles gouvernant la création et la gestion du contenu. Des robots automatisés introduisent aussi des données dans Wikidata.
 ''Pour plus d'informations, se rendre sur la page &lt;nowiki&gt;[[WD:INTRO]]&lt;/nowiki&gt; ; Introduction à Wikidata ; [[d:Intro]], Introduction à Wikidata

Chaque item, ou fiche individuel décrit un objet qualifié par son &quot;QI&quot; qui le désigne individuellement. Ce QI exclusive entre dans la construction du lien.


https://www.wikidata.org/wiki/Q124486339

A partir de Wikisource versus Base de données bibliographique Wikidata&lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;
Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>fywuffx20r53cu0jo0egbaqyp290ed9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987390</id>
      <parentid>987389</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T19:49:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 7. Lien externe simple */ lien simple</comment>
      <origin>987390</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20784" sha1="qwjlqq0f0bc7md7u0c6brwo7a14kff3" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

==== Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;

===== A partir de Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia: images fixes et images animées, des copies d'archives&lt;br&gt;

# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

===== 4. Lien vers Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe c:suivie du nom du fichier &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

===== A partir de Wikidata =====

Wikidata se présente comme une base de connaissance libre, collaborative, multilingue, et secondaire qui collecte des données structurées pour alimenter Wikipédia, Wikimedia Commons et les autres wikis du mouvement Wikimédia dont Wikisource. Vous et moi, n'importe qui de par le monde peut utiliser Wikidata pour construire une base de données respectueuse des règles wikimédienne.

Wikidata est collaborative. Les données sont ajoutées et vérifiées par les contributeurs de Wikidata, qui décident des règles gouvernant la création et la gestion du contenu. Des robots automatisés introduisent aussi des données dans Wikidata.
 ''Pour plus d'informations, se rendre sur la page &lt;nowiki&gt;[[WD:INTRO]]&lt;/nowiki&gt; ; Introduction à Wikidata ; [[d:Intro]], Introduction à Wikidata

Chaque item, ou fiche individuel décrit un objet qualifié par son &quot;QI&quot; qui le désigne individuellement. Ce QI exclusive entre dans la construction du lien.


https://www.wikidata.org/wiki/Q124486339

A partir de Wikisource versus Base de données bibliographique Wikidata&lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;
Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>qwjlqq0f0bc7md7u0c6brwo7a14kff3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987391</id>
      <parentid>987390</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T19:50:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 4. Lien vers Wikimedia Commons */</comment>
      <origin>987391</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20742" sha1="l1urw4u85mj123wi9kdj9rsaox9ybxa" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

=== 9. Règle pratique ===

Avant de créer un lien, posez-vous trois questions :

# La page est-elle sur Wikiversité ?
# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?
# La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

==== Modèles à utiliser dans différents cas de figure ====

# La page est sur Wikiversité :&lt;br&gt;
Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page dans l'URL|Titre de la page]]&lt;/nowiki&gt;.

# La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?&lt;br&gt;
Nous devons construre un chemin vers Wikiversité.&lt;br&gt;

===== A partir de Wikimedia Commons =====
[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand]]
Wikimedia Commons fournit des documents multimédia: images fixes et images animées, des copies d'archives&lt;br&gt;

# La syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[c:FfileName|Titre du média]]&lt;/nowiki&gt;.
# Un exemple : &lt;nowiki&gt;[[Fichier:Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.jpg|100px|vignette|gauche|Desert elephant (Loxodonta africana) spraying sand.]]&lt;/nowiki&gt;
# Ce qui, après retrait des &quot;nowiki&quot;, fait apparaître l'image ci-contre.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;


[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe c:suivie du nom du fichier &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

===== A partir de Wikidata =====

Wikidata se présente comme une base de connaissance libre, collaborative, multilingue, et secondaire qui collecte des données structurées pour alimenter Wikipédia, Wikimedia Commons et les autres wikis du mouvement Wikimédia dont Wikisource. Vous et moi, n'importe qui de par le monde peut utiliser Wikidata pour construire une base de données respectueuse des règles wikimédienne.

Wikidata est collaborative. Les données sont ajoutées et vérifiées par les contributeurs de Wikidata, qui décident des règles gouvernant la création et la gestion du contenu. Des robots automatisés introduisent aussi des données dans Wikidata.
 ''Pour plus d'informations, se rendre sur la page &lt;nowiki&gt;[[WD:INTRO]]&lt;/nowiki&gt; ; Introduction à Wikidata ; [[d:Intro]], Introduction à Wikidata

Chaque item, ou fiche individuel décrit un objet qualifié par son &quot;QI&quot; qui le désigne individuellement. Ce QI exclusive entre dans la construction du lien.


https://www.wikidata.org/wiki/Q124486339

A partir de Wikisource versus Base de données bibliographique Wikidata&lt;br&gt;
: &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;
Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

=== 1. Lien interne à Wikiversité ===

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

==== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ====

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

=== 3. Lien vers Wikisource ===

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

=== 6. Liens vers Wikipédia ===

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

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File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
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&lt;/gallery&gt;
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== Notes &amp; Références  ==
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{{Références}}</text>
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    <title>Recherche:Flou stroboscopique</title>
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      <contributor>
        <username>Phprevet</username>
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      <comment>Tracé d'un demi cylindre en fonction du rayon, de la longueur et de l'angle</comment>
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[[Fichier:Modèle synthèse additive aux couleurs RVB .mpg|vignette|Modèle Synthese additive 3D aux couleurs RVB]]
[[Fichier:Formule Flou stroboscopique originale.jpg|vignette|Flou stroboscopique formule originale]]'''Le Flou de Mouvement des Objets en Rotation'''

'''Chapitre 1 : Le Flou de Mouvement et la Perception Visuelle sur une Platine'''

Le &quot;flou de mouvement&quot; d'un vinyle n'est pas un phénomène sonore, mais une '''expression visuelle''' capturée en photographie. Il apparaît lorsque l'on photographie un objet en mouvement (comme un disque vinyle en rotation) avec un appareil photo réglé sur une '''longue exposition'''. Durant cette période, la lumière de l'objet est &quot;étirée&quot; sur le capteur, créant des '''traînées lumineuses ou des zones floues''' qui suggèrent la vitesse et le dynamisme du mouvement. Pour un vinyle, cela se manifeste par de magnifiques arcs ou cercles concentriques flous, transformant le mouvement en une sorte de peinture de lumière et de temps.

'''Le Calcul du Temps d'Exposition pour un Angle Précis'''

Pour maîtriser ce flou et obtenir un effet précis, il est possible de calculer le temps d'exposition nécessaire. Ce calcul dépend de l'angle de flou désiré et de la vitesse de rotation du vinyle (RPM). La formule générale est la suivante :

Tempsdeˊxposition(ensecondes)=fracAngledeˊsireˊ(endegreˊs)Vitessederotationduvinyle(endegreˊs/seconde)

Pour un vinyle à '''33 1/3 tours/minute (environ 200 degrés par seconde)''', un flou de '''45 degrés''' nécessite environ '''0,225 seconde'''. Pour un vinyle à '''45 tours/minute (environ 270 degrés par seconde)''', le même flou de '''45 degrés''' demande environ '''0,167 seconde'''. Ces calculs permettent d'ajuster l'appareil pour obtenir l'étendue de flou souhaitée.

'''Le Disque de Newton à l'Épreuve du Flou de Mouvement : Quand le blanc apparaît doublement'''

Un cas fascinant se présente si l'on photographie un '''disque de Newton''' (avec ses secteurs colorés) en rotation, en utilisant une '''longue exposition''' (suffisante pour qu'il fasse au moins un tour complet). Le résultat photographique sera un '''cercle blanc ou grisâtre''', similaire à ce que perçoit l'œil humain. Ce n'est pas dû à la persistance rétinienne de l'œil, mais à la capacité du '''capteur de l'appareil photo à intégrer toutes les lumières colorées''' du spectre sur la durée de l'exposition, réalisant une synthèse additive des couleurs directement sur le capteur et aboutissant au blanc. C'est une illustration éloquente de la convergence de principes physiques différents vers un même rendu visuel.

'''Comparaison : Persistance Rétinienne vs. Flou de Mouvement en Rotation de Platine'''
{| class=&quot;wikitable&quot;
| valign=&quot;top&quot; |Caractéristique
| valign=&quot;top&quot; |Persistance Rétinienne (Œil Humain)
| valign=&quot;top&quot; |Flou de Mouvement (Appareil Photo)
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Nature du Phénomène'''
| valign=&quot;top&quot; |'''Biologique et neurologique :''' Une propriété de notre système visuel et de notre cerveau.
| valign=&quot;top&quot; |'''Physique et optique :''' Un effet capturé par un appareil photographique (capteur ou film).
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Mécanisme'''
| valign=&quot;top&quot; |Le cerveau &quot;maintient&quot; une image pendant une courte durée (~1/10 à 1/25 de seconde), fusionnant des stimulations visuelles rapides et discrètes en une perception continue.
| valign=&quot;top&quot; |Le capteur de l'appareil photo '''accumule physiquement la lumière''' pendant le temps d'exposition. Le mouvement de l'objet pendant ce temps est enregistré comme une traînée.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Cause de l'effet'''
| valign=&quot;top&quot; |'''Rapidité du changement :''' L'objet (ou les couleurs) change de position trop vite pour que l'œil puisse percevoir chaque instant distinctement.
| valign=&quot;top&quot; |'''Mouvement pendant la capture :''' L'objet bouge physiquement pendant que l'obturateur de l'appareil est ouvert.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Ce qui est perçu/capturé sur une platine'''
| valign=&quot;top&quot; |Si le disque tourne très vite (comme un Disque de Newton), les couleurs fusionnent et sont perçues comme une seule (ex: blanc). Le mouvement rapide peut sembler continu.
| valign=&quot;top&quot; |La rotation du disque est enregistrée comme une '''traînée floue ou des arcs lumineux''', montrant la trajectoire du mouvement pendant le temps d'exposition.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Est-ce réglable ?'''
| valign=&quot;top&quot; |'''Non :''' C'est une caractéristique fixe de l'œil humain.
| valign=&quot;top&quot; |'''Oui :''' Entièrement contrôlable par le temps d'exposition de l'appareil photo.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Déclencheur sur la platine'''
| valign=&quot;top&quot; |La '''vitesse de rotation du disque''' doit être supérieure à un certain seuil pour que les informations se mélangent pour l'œil (fréquence de fusion).
| valign=&quot;top&quot; |La '''durée du temps d'exposition''' est la clé. Plus le temps est long, plus le flou de mouvement est important pour une vitesse donnée.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Relation avec la &quot;fréquence&quot;'''
| valign=&quot;top&quot; |Associé à la '''fréquence de fusion du scintillement''' (~50-60 Hz) : au-delà de laquelle l'œil perçoit la continuité.
| valign=&quot;top&quot; |Pour la photo unique, liée au '''temps d'exposition'''. Pour la vidéo, liée à la '''fréquence d'images''' (framerate).
|}
'''Conclusion du chapitre :'''

Il est important de ne pas confondre le flou de mouvement avec le '''flou stroboscopique'''. Le '''flou de mouvement &quot;classique&quot;''' est une '''traînée continue et lisse''' obtenue sous un éclairage constant lorsque l'objet bouge pendant l'exposition. En revanche, un '''effet stroboscopique''' (souvent lié à un éclairage intermittent ou une capture discrète à faible cadence) produira des '''images multiples ou des &quot;fantômes&quot;''' de l'objet en mouvement sur une même photo, marquant des positions distinctes plutôt qu'une traînée fluide. Le flou de mouvement est l'effet de la durée d'exposition, tandis que l'effet stroboscopique est un effet de &quot;multiples captures&quot; du mouvement.

'''Chapitre 2 : Les Couleurs dans le Flou de Mouvement'''

Dans le premier chapitre, il a été établi que le flou de mouvement est la trace visuelle laissée par un objet en déplacement sur une photo à longue exposition. Lorsque cet objet est coloré, ou lorsqu'il interagit avec des lumières colorées, le phénomène prend une dimension encore plus riche et fascinante.

'''1. L'étirement des Couleurs : Des Traînées Lumineuses et la Mesure des Arcs'''

Lorsqu'une source de lumière ponctuelle, telle qu'une petite LED colorée, est attachée à un vinyle en rotation, elle ne demeure pas un simple point. Pendant que le disque tourne et que l'obturateur de l'appareil photo reste ouvert, cette lumière colorée s'étire le long de sa trajectoire circulaire, créant une '''traînée lumineuse''' qui conserve la couleur de sa source. Ainsi, le flou de mouvement transforme les points colorés en arcs ou en cercles lumineux.

Il est possible de calculer précisément la longueur de cet arc de cercle (la &quot;distance&quot; parcourue par la lumière) en fonction de la vitesse de rotation du vinyle et du temps d'exposition de l'appareil photo. Si l'angle du flou est theta (en radians) et le rayon de la traînée est r, la longueur de l'arc est donnée par la formule :

Longueurdelaˊrc=rtimestheta

Pour obtenir theta en radians, il est nécessaire de convertir l'angle en degrés par :

thetarad=textangleendegreˊstimesfracpi180

'''2. La Synthèse Additive des Couleurs RVB dans le Mouvement Circulaire et sa Représentation Matricielle par Intensité'''

Le comportement des couleurs dans le flou de mouvement est particulièrement révélateur concernant la '''synthèse additive'''. Cette synthèse concerne la lumière, et ses couleurs primaires sont le '''Rouge (R), le Vert (V) et le Bleu (B) (RVB)'''.

Lorsque l'on attache des LED RVB à différents points d'un vinyle en rotation, ou que l'on éclaire le disque avec ces trois couleurs distinctes sous une longue exposition photographique, chaque LED colorée génère sa propre traînée lumineuse circulaire. La superposition de ces cercles lumineux sur le capteur entraîne une modification de la couleur de chaque traînée par addition des codes couleur RVB dans la matrice du capteur.

Là où ces cercles lumineux se chevauchent, la lumière des différentes couleurs s'additionne, selon les principes de la synthèse additive :

* Rouge + Vert = '''Jaune'''
* Rouge + Bleu = '''Magenta'''
* Vert + Bleu = '''Cyan'''

Le phénomène le plus spectaculaire survient si le mouvement est suffisant pour que les trois couleurs primaires se chevauchent complètement et uniformément sur toute la surface de la rotation (à l'instar d'un disque de Newton photographié en longue exposition) : la somme de ces lumières primaires converge alors vers le '''Blanc'''.

Le capteur photographique, en tant qu'accumulateur de lumière pendant le temps d'exposition, réalise cette synthèse additive. Il intègre toute la lumière reçue, créant de nouvelles teintes là où les rayons lumineux des couleurs RVB se rencontrent sur la même zone du capteur.

Pour mieux visualiser ces superpositions, une représentation tabulaire inspirée d'un diagramme de Venn peut être utilisée. Les valeurs de 0 à 255 indiquent l'intensité de chaque composante de couleur (255 étant l'intensité maximale, 0 l'absence) :
{| class=&quot;wikitable&quot;
| valign=&quot;top&quot; |Intensité Rouge (R)
| valign=&quot;top&quot; |Intensité Verte (V)
| valign=&quot;top&quot; |Intensité Bleue (B)
| valign=&quot;top&quot; |Couleur résultante (synthèse additive de lumière)
|-
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Rouge pure'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Verte pure'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Bleue pure'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Jaune'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Magenta'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Cyan'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Blanche'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |'''Noir (Absence de lumière)'''
|}
Note sur les couleurs complexes (comme le marron) :

Il est important de souligner que des couleurs comme le marron ne peuvent pas être directement représentées comme une simple ligne dans cette matrice simplifiée, car elles résultent d'un mélange des trois couleurs primaires (RVB) avec des intensités spécifiques et généralement non maximales pour chaque composante, aboutissant à une luminosité globale plus faible. Par exemple, un marron clair pourrait avoir un code RVB de (139, 69, 19). Cela correspond à une combinaison plus nuancée des intensités dans l'espace colorimétrique RVB plutôt qu'à une superposition &quot;tout ou rien&quot; des primaires.

'''3. L'Impact des Sources Lumineuses et du Noir : Lumières VS Surfaces'''

La manifestation de la couleur dans le flou de mouvement est fortement influencée par sa source :

* Les '''lumières auto-lumineuses''' (telles que les LEDs) génèrent des traînées très vives et saturées, puisqu'elles émettent directement leur propre lumière.
* Les '''objets colorés réflecteurs''' (comme une surface peinte sur le vinyle) produisent des flous plus subtils, leur couleur dépendant de l'éclairage ambiant qu'ils réfléchissent.

L'incorporation du '''noir''', en tant que couleur neutre, sur un vinyle peint en RVB a un effet distinctif. Le noir absorbe la quasi-totalité de la lumière et n'en émet pas. Dans le flou de mouvement :

* Les sections noires ne génèrent pas de traînées lumineuses. Elles apparaîtront comme des zones sombres ou des &quot;manques&quot; au sein des arcs lumineux colorés.
* Le noir est crucial pour créer du contraste. Ces zones d'ombre définies mettent en valeur les trajectoires lumineuses des couleurs RVB, apportant profondeur et structure à l'effet visuel. Dans le système RVB, le noir est représenté par (0, 0, 0), signifiant l'absence totale de lumière.

'''4. Créativité et Expression Artistique : Peindre avec la Lumière et le Mouvement et la Nuance des Teintes Complexes'''

Le flou de mouvement coloré constitue un puissant outil artistique. Il permet des techniques telles que le &quot;'''light painting'''&quot;, où des mouvements de sources lumineuses créent des formes abstraites dans l'air. Sur une platine, il peut générer des motifs hypnotiques et des mandalas lumineux, transformant la rotation en une œuvre d'art dynamique qui évoque des émotions par la danse des couleurs.

Au-delà des mélanges vifs du RVB, l'artiste peut également explorer des teintes plus complexes comme le '''marron''' dans le flou de mouvement circulaire. Le marron, étant une combinaison de Rouge, Vert et Bleu à des intensités spécifiques et généralement plus faibles (par exemple, RVB 139, 69, 19), ne se forme pas par une simple superposition maximale comme le blanc. Si l'on imagine un objet en arc de cercle composé de segments discrets affichant ces intensités (139 rouge, 69 vert, 19 bleu) et tournant sur un fond noir, il est crucial de noter que '''l'objet lui-même, à l'arrêt, n'apparaîtrait pas marron'''. Chaque segment serait perçu individuellement selon sa couleur RVB pure. Le marron est la '''couleur émergente''' qui résulte de la '''synthèse additive de la lumière''' de ces segments, intégrée par le capteur photographique sur la durée du mouvement. L'utilisation de '''lumières colorées pour créer du marron''' par le flou de mouvement exige un contrôle précis des intensités de chaque composante RVB afin d'obtenir la nuance et la luminosité intégrée désirées sur le capteur. Un objet physique marron en rotation créera simplement une traînée marron, dont la complexité de composition RVB sera fidèlement intégrée par le capteur, ajoutant une richesse subtile à l'effet. Cette approche ouvre la voie à des créations plus nuancées, moins éclatantes que les couleurs primaires et secondaires, mais offrant une palette émotionnelle différente, évoquant la terre, la chaleur ou la nostalgie à travers le mouvement.

'''Conclusion du chapitre :'''

En conclusion, l'étude des couleurs dans le flou de mouvement révèle une dimension fascinante de la photographie. Il est observé que les teintes individuelles s'étirent en '''traînées lumineuses''' le long de la trajectoire du mouvement. La superposition des lumières colorées, notamment des primaires '''RVB''', conduit à une '''synthèse additive''' directement sur le capteur photographique, créant de nouvelles couleurs secondaires et, à saturation complète, le blanc. L'impact visuel des couleurs dépend fortement de leur source, les lumières auto-lumineuses offrant des traînées vives, et le noir jouant un rôle crucial en soulignant les contrastes. Cette capacité à manipuler et à fondre les couleurs à travers le mouvement et le temps d'exposition ouvre des voies artistiques considérables, permettant la création de compositions abstraites, d'effets hypnotiques, et même l'exploration de nuances plus complexes comme le marron, en maîtrisant les intensités des composantes RVB. Le flou de mouvement, avec l'apport des couleurs, devient ainsi un outil puissant pour sculpter la lumière et l'émotion dans l'image, offrant une perspective unique sur la manière dont le temps et le mouvement peuvent transformer la perception visuelle.

'''Chapitre 3 : Dynamiques Mathématiques du Mouvement Circulaire et de la Lumière'''

Dans les chapitres précédents, il a été exploré comment le mouvement de rotation d'un vinyle se traduit visuellement par le flou photographique et comment les couleurs s'y fusionnent. Ce chapitre va approfondir les principes mathématiques et physiques qui sous-tendent ces phénomènes, permettant une compréhension plus quantitative de la dynamique lumineuse en jeu.

'''1. Les Fondamentaux du Mouvement Circulaire Uniforme et du Flou'''

Pour analyser le flou en rotation, il est essentiel de comprendre le mouvement circulaire uniforme (MCU), caractérisé par une vitesse angulaire constante. Les formules suivantes sont des outils précis pour décrire cette dynamique :

* Vitesse Angulaire (omega) : Elle représente la variation de l'angle par unité de temps. Pour une platine, si la vitesse est donnée en tours par minute (RPM - Revolutions Per Minute), la conversion en radians par seconde est :   omegarad/s=textRPMtimesfrac2piradians60secondes   À titre d'exemple, pour 33 1/3 RPM, omegaapprox3,49textrad/s, et pour 45 RPM, omegaapprox4,71textrad/s.
* Période (T) : Le temps nécessaire pour effectuer un tour complet.   T=frac2piomegaquad(textensecondes)
* Fréquence (f) : Le nombre de tours par unité de temps, soit l'inverse de la période.   f=frac1T=fracomega2piquad(textenHertzoutours/seconde)
* Vitesse Linéaire (v) : La vitesse à laquelle un point se déplace le long de sa trajectoire circulaire. Elle dépend du rayon (r) de la position du point par rapport au centre de rotation :   v=rtimesomega   Cette relation est fondamentale : un point plus éloigné du centre du disque aura une vitesse linéaire plus élevée.
* L'Angle de Flou (Deltatheta) : Il représente l'angle total balayé par la rotation de l'objet pendant le temps d'exposition (Deltat) de l'appareil photo.   Deltatheta=omegatimesDeltat   Cet angle est directement lié à la longueur de l'arc de flou qui sera capturée sur l'image finale.

'''2. La Synthèse Additive par Pondération des Intensités'''

Le capteur photographique fonctionne en accumulant la lumière sur la durée de l'exposition. Lorsque différentes sources lumineuses colorées interagissent avec un même pixel pendant le mouvement, le résultat est une synthèse additive des intensités lumineuses. Les formules d''''addition pondérée des composantes RVB''' modélisent précisément ce phénomène :

Pour un pixel P, l'intensité finale de chaque composante de couleur (RP,VP,BP) est la somme des contributions de chaque source lumineuse i (Ri,Vi,Bi) multipliée par la fraction du temps (Deltati/Deltattotal) pendant laquelle la lumière de cette source a illuminé ce pixel. Cela représente une '''moyenne pondérée temporelle''' de la lumière accumulée :

&lt;nowiki&gt;$$R_P = \\sum_i R_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$$$V_P = \\sum_i V_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$$$B_P = \\sum_i B_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$&lt;/nowiki&gt;

Ce principe est essentiel pour comprendre comment un pixel enregistre une nouvelle couleur qui n'était pas nécessairement présente de manière continue, mais qui émerge de l'intégration des différentes lumières qu'il a reçues au fil du temps.

'''3. Cas Pratique : Calcul des Angles pour le Marron'''

Pour illustrer l'application de ces principes, prenons l'exemple de la création du '''marron''' (RVB : 139, 69, 19) par des segments colorés en rotation.

# '''Définition des valeurs (Lx) :''' Ces valeurs représentent les contributions relatives de chaque couleur.
#* Lr=139 (Rouge)
#* Lv=69 (Vert)
#* Lb=19 (Bleu)
#* Ln=0 (Noir, car il n'apporte pas de lumière active pour la couleur)

# '''Calcul de la somme des valeurs (L) :''' L=Ln+Lr+Lv+Lb=0+139+69+19=227. Cette valeur L représente la somme des proportions lumineuses des segments pour un mélange complet.
# '''Angle total de l'arc :''' Pour que ces segments se mélangent en une couleur unique sur l'image finale (comme sur un disque de Newton), il est supposé qu'ils couvrent la totalité du cercle de flou, soit 2pi radians ($360^\\circ$).
# '''Calcul des angles de chaque segment (thetax) :''' La formule utilisée est thetasegment=DeltathetatotaltimesfractextValeurdusegmentL.

#* Segment Rouge (thetaR) :  $$\\theta_R = 2\\pi \\times \\frac{139}{227} \\approx \\mathbf{3.847\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{220.35^\\circ})$$
#* Segment Vert (thetaV) :  $$\\theta_V = 2\\pi \\times \\frac{69}{227} \\approx \\mathbf{1.910\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{109.43^\\circ})$$
#* Segment Bleu (thetaB) :  $$\\theta_B = 2\\pi \\times \\frac{19}{227} \\approx \\mathbf{0.526\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{30.13^\\circ})$$
#* Segment Noir (thetaN) :  $$\\theta_N = 2\\pi \\times \\frac{0}{227} = \\mathbf{0\\ radians}\\ (\\mathbf{0^\\circ})$$

'''4. Le Rôle Crucial du Noir : Vers la Création du Gris'''

Ce calcul met en évidence un aspect fondamental de la synthèse additive : la nécessité du '''noir''' pour créer des teintes désaturées, comme le gris.

Un '''gris''' est une couleur composée d'intensités égales de rouge, vert et bleu, mais à un niveau de luminosité inférieur au blanc. Si l'on ne disposait que de segments de couleurs primaires pures (Rouge, Vert, Bleu) et que l'on les faisait tourner, on obtiendrait par synthèse additive des couleurs vives ou du blanc. Pour atteindre un gris, il faut '''réduire l'intensité lumineuse globale''' perçue par le capteur.

C'est là que le '''segment noir''' devient indispensable. Le noir absorbe la lumière et ne contribue par aucune intensité lumineuse au mélange. En incorporant des segments noirs (c'est-à-dire des zones sans émission de lumière) dans la composition de l'arc de rotation, on '''diminue la quantité totale de lumière''' qui atteint le capteur sur la durée de l'exposition. Cela &quot;dilue&quot; l'effet des couleurs vives et permet d'atteindre des niveaux de luminosité inférieurs tout en maintenant les proportions RVB nécessaires pour un gris.

'''Conclusion du chapitre :'''

Ce chapitre a fourni les outils mathématiques essentiels pour comprendre et prédire le comportement de la lumière et du mouvement en photographie. De la quantification du mouvement circulaire à la modélisation de l'intégration lumineuse pondérée, il est désormais possible d'aborder la création de couleurs complexes, comme le marron ou le gris, de manière scientifique. Il a été démontré que des éléments apparemment passifs comme le noir jouent un rôle actif crucial dans la modulation de l'intensité lumineuse perçue, ouvrant la voie à une maîtrise complète de la palette visuelle dans le flou de mouvement.

'''Chapitre 4 : La Fantascopie et le Flou Périodique : La Création d'un Arc de Cercle Parfait'''

'''1. Définir le Flou Périodique : au-delà de la simple rotation'''

Alors que les chapitres précédents ont exploré les flous continus générés par une rotation prolongée, le flou périodique relève d'une dynamique plus complexe. Le terme de '''fantascopie''', qui fait écho aux dispositifs optiques du XIXe siècle tels que le phénakistiscope, est parfaitement adapté pour décrire cet effet. Il s'agit de la création d'une image fluide à partir d'une succession de vues fixes ou, dans notre cas, de la création d'un flou continu et régulier à partir de mouvements discontinus ou répétés.

'''2. La méthode pour créer un arc de cercle parfait'''

L'objectif est d'obtenir une traînée lumineuse d'un seul et même arc de cercle de longueur L et d'angle alpha sur la photo finale. Pour y parvenir, il n'est pas nécessaire d'avoir un seul objet qui parcourt cet arc. On peut, de manière plus précise et contrôlée, utiliser la méthode de superposition suivante :

Prends un disque (ou un vinyle) sur lequel tu places 2n segments (ou arcs de cercle) identiques, où n est un nombre entier supérieur à 0.

* Chacun de ces segments a une longueur égale à la moitié de la longueur désirée, soit L/2n.
* L'angle de chacun des segments est la moitié de l'angle désiré, soit alpha/2n.

Pour que la superposition fonctionne parfaitement, il est crucial que ces 2n segments soient positionnés de manière équidistante sur la platine. Autrement dit, l'espace entre chaque segment doit être régulier.

'''3. Le mécanisme de la fantascopie par flou de mouvement'''

Lors de la prise de vue avec une longue exposition, la platine tourne. Chaque segment parcourt son arc de cercle de longueur L/2n et d'angle alpha/2n. Le capteur de l'appareil photo va enregistrer la lumière de chaque segment de manière séquentielle, de sorte que les 2n traînées lumineuses se rejoignent et se superposent sans démarcation visible. Le résultat est une traînée de flou qui apparaît comme un unique et parfait arc de cercle de longueur L et d'angle alpha.

Le choix de la puissance de 2 (n) est crucial : '''plus le nombre n est élevé''', et plus tu divises l'arc en petits segments, '''plus le flou final sera homogène et l'arc de cercle régulier'''. L'utilisation d'une infinité de segments (ntoinfty) permettrait d'obtenir un arc de cercle véritablement parfait, car les segments sont tellement petits que la traînée devient parfaitement lisse.

Ce phénomène illustre la force de la fantascopie et du flou périodique : l'illusion d'un mouvement continu et complet est créée à partir de mouvements partiels, parfaitement synchronisés par la rotation et le temps d'exposition.

'''Conclusion du chapitre :'''

La fantascopie, appliquée au flou de mouvement, démontre que la perception de la continuité visuelle peut être façonnée par la superposition de mouvements discontinus. En utilisant une méthode de division du mouvement en 2n segments, nous pouvons créer une traînée de flou unique et régularisée. Cette approche permet de maîtriser précisément l'esthétique du flou de mouvement, transformant un mouvement périodique en une composition visuelle unifiée, ce qui est particulièrement puissant pour la création de motifs complexes ou d'effets visuels contrôlés.

'''Chapitre 5 : Le Flou de Mouvement d'un Objet Coloré dans un Espace 3D Projeté sur un Plan'''

'''1. La Projection du Mouvement 3D sur le Plan 2D du Capteur'''

Dans le monde réel (3D), le mouvement d'un objet est perçu différemment par un capteur photographique qui est, lui, en 2D. Cette projection est la base de notre analyse. Le flou n'est pas une simple traînée ; c'est la trace du mouvement de l'objet, telle qu'elle a été &quot;écrasée&quot; et enregistrée sur une surface plane. La forme et la direction de cette traînée dépendent de l'angle et de la vitesse de l'objet par rapport à l'appareil photo.

'''2. L'Impact de la Profondeur sur le Flou de Mouvement'''

La profondeur (la dimension Z dans l'espace 3D) joue un rôle crucial. Pour un même mouvement angulaire, un point plus proche de l'appareil photo (petit rayon) se déplace sur une distance linéaire plus courte qu'un point plus éloigné (grand rayon). En conséquence, le flou de mouvement d'un objet 3D en rotation, comme un cylindre, n'est pas uniforme. Il sera plus court et moins prononcé près de l'axe de rotation et s'étirera en une bande linéaire plus longue et plus floue à mesure que l'on se rapproche du bord.

'''3. Couleurs et Formes 3D dans le Flou : Une Synthèse Complexe'''

Lorsque des couleurs sont ajoutées à un objet 3D en rotation, elles se comportent de manière plus complexe que sur un simple disque plat. Elles s'étirent, se superposent et se mélangent en fonction de leur position sur l'objet et de la manière dont la lumière les frappe et se réfléchit. Ce mélange donne naissance à des dégradés de couleurs qui ne sont pas de simples arcs de cercle, mais peuvent former des bandes de couleurs plus complexes sur le plan photographique.

'''4. Le Flou d'un Cylindre Coloré en Rotation et l'Analogie du Satellite Géostationnaire'''

En complément de l'approche décrite au Chapitre 3, une analogie conceptuelle permet d'appréhender le flou d'un cylindre en rotation de manière inédite. On peut imaginer le photographe comme un &quot;satellite géostationnaire&quot; par rapport au cylindre en rotation. Dans ce scénario, sa vitesse angulaire relative par rapport à la surface du cylindre serait nulle. Par conséquent, la vitesse angulaire (omega) sur la surface, dite &quot;absolue&quot;, est égale à la vitesse angulaire de rotation du cylindre lui-même.

Cette perspective offre une méthode directe pour calculer les paramètres de la prise de vue. Pour déterminer le temps d'exposition afin de créer un flou de mouvement avec des traînées linéaires colorées, on utilise la même méthode de calcul que celle décrite au Chapitre 3. La formule de base est :

Deltatheta=omegatimesDeltat

Dans cette formule, l'angle de flou (Deltatheta) est exprimé en radians et la vitesse angulaire (omega) en radians par seconde.

L'élément le plus novateur de cette approche est que la '''longueur de la bande linéaire de flou est directement proportionnelle au diamètre du cylindre'''. Ce lien direct entre la géométrie de l'objet et le résultat photographique sur le plan 2D du capteur permet de relier les paramètres de la prise de vue à la taille de l'effet visuel désiré. Cela ouvre la voie à un contrôle précis pour &quot;peindre&quot; des dégradés de couleurs linéaires par le mouvement rotatif d'un objet 3D.

'''5. Le Flou des Villes depuis un Satellite Non-Stationnaire et la Vitesse Relative'''

La compréhension du flou de mouvement devient encore plus complexe et riche lorsque l'observateur (le photographe) est lui-même en mouvement. Un cas d'étude fascinant est la photographie de la Terre depuis un satellite en orbite basse (LEO), qui n'est pas stationnaire.

Dans cette configuration, l'effet de flou n'est pas le résultat de la rotation de la Terre seule, mais de la '''vitesse angulaire relative''' entre le satellite et la surface de la planète. L'analyse de cette vitesse est cruciale.

* '''Vitesse angulaire de la Terre (omegaTerre) :''' environ 7.27times10−5 rad/s.
* '''Vitesse angulaire d'un satellite en orbite basse (omegaLEO) :''' Un satellite en orbite LEO (environ 90 minutes par tour) a une vitesse angulaire d'environ 1.16times10−3 rad/s.

Puisque le satellite et la Terre tournent dans le même sens, la vitesse angulaire effective est la différence entre les deux :

omegarelative=omegaLEO−omegaTerreapprox1.09times10−3textrad/s

Calcul du temps d'exposition pour un quart de tour de flou :

En appliquant la même formule du Chapitre 3 (Δt = Δθ / ω), pour obtenir un flou de fracpi2 radians (un quart de tour), le temps d'exposition nécessaire serait :

Deltat=fracpi/21.09times10−3approx1441textsecondes

Soit environ 24 minutes.

Ce calcul démontre que la vitesse angulaire relative, beaucoup plus rapide que la simple rotation de la Terre, réduit considérablement le temps d'exposition nécessaire pour obtenir un flou équivalent. L'analyse de ces dynamiques, notamment via les coordonnées ECEF (Earth-Centered, Earth-Fixed), permet de créer des traînées lumineuses directionnelles d'une précision remarquable, révélant de manière visuelle la vitesse relative entre le satellite et la surface en rotation.

'''Exemple de Calcul : Temps d'exposition depuis la Lune pour un quart de tour de la Terre'''

Dans ce cas, l'observateur (le photographe sur la Lune) et la Terre sont tous deux en mouvement. La vitesse angulaire qui détermine le flou de mouvement est la vitesse angulaire relative entre la Terre qui tourne sur elle-même et la Lune qui tourne autour de la Terre.

# [[Fichier:Intégrale d'un volume d'un cylindre.jpg|vignette|calcul intégral du volume d'un cylindre comme dans un scanner]][[Fichier:Calcul matriciel dans un espace vectoriel curviligne à n dimensions.jpg|droite|600x600px|Calcul matriciel dans un espace vectoriel curviligne à n dimensions]]'''Vitesse angulaire de la Terre (omegaTerre) :''' environ 7.27times10−5 rad/s.
# Vitesse angulaire de la Lune (omegaLune) : La Lune effectue une orbite complète en environ 27,32 jours.   omegaLune=frac2pitextradians27.32textjourstimes86400texts/jourapprox2.66times10−6textrad/s
# Vitesse angulaire relative (omegarelative) :  La Terre et la Lune tournent dans le même sens. La vitesse angulaire relative de la Terre vue depuis la Lune est la différence entre leurs vitesses :  omegarelative=omegaTerre−omegaLuneapprox(7.27times10−5)−(2.66times10−6)approx7.00times10−5textrad/s
# Calcul du temps d'exposition (Deltat) pour un quart de tour de flou (fracpi2 radians) :   Deltat=fracDeltathetaomegarelative=fracpi/2textradians7.00times10−5textrad/sapprox22439textsecondes   Soit environ 6 heures et 14 minutes.

'''Conclusion du chapitre 5 :'''

Ce chapitre a démontré comment le flou de mouvement, loin d'être un simple artefact photographique, devient un puissant outil d'analyse et de création lorsque le sujet est en 3D. De la projection d'un mouvement rotatif sur un plan 2D, nous avons exploré des dynamiques complexes, comme l'analogie du photographe &quot;géostationnaire&quot; par rapport à un cylindre, qui lie de manière élégante le diamètre de l'objet à la longueur de la traînée de flou linéaire. Le calcul du temps d'exposition à la vitesse de la Terre, comparé à la prise de vue depuis un satellite en orbite basse ou la Lune, a mis en évidence le rôle critique de la '''vitesse angulaire relative'''. En fin de compte, la maîtrise de ces principes géométriques et cinématiques permet de transcender la simple capture du mouvement. Elle ouvre des perspectives fascinantes pour contrôler précisément la forme, la durée et l'intensité des traînées lumineuses, transformant le mouvement invisible en une composition visible et signifiante. Le flou de mouvement devient ainsi un langage visuel qui raconte l'histoire du temps et de la vitesse.

[[Fichier:Surface curviligne.jpg|800x800px]]
[[Fichier:Deplacement autour d'une sphère.jpg|vignette|Calcul intégral du déplacement entre deux points dans une sphère issu du rayon*angle en radians]]
[[Fichier:Rayon d'un disque contenant un carré de coté a.jpg|vignette|Rayon d'un disque contenant un carré de coté a par un calcul intégral issu du rayon * angle en radians]]

[[Fichier:Dualité de 2 vecteurs orthogonaux et leur aire.jpg|600x600px]]
[[Fichier:Longueur en mètres d'un arc de cercle par rapport à 2 vecteurs orthogonaux.jpg|bordure|gauche|640x640px|Longueur en mètres d'un arc de cercle par rapport à 2 vecteurs orthogonaux et coplanaires]]


== ` ==


[[Fichier:Quadrature du cercle demonstration par la vecteurs sur un plan.jpg|bordure|droite|640x640px|Quadrature du cercle demonstration par des vecteurs scalaires sur un plan]]

[[Fichier:Distance parcourue par un point qui se déplace sur un cylindre.jpg|bordure|centré|640x640px|Distance parcourue par un point qui se déplace sur un cylindre]]
[[Fichier:Flou stroboscopique typographie kinematic.mpg|vignette|Kinematic de typographie stroboscopique]]
Le flou stroboscopique est un flou cinétique radial en photographie où on synchronise la vitesse d'obturation d'un appareil photographique avec celle d'une platine de tourne disque pour obtenir l'angle radial.
[[File:Temps angulaire.jpg|thumb|Temps angulaire]]
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Flou_stroboscopique_typographie_kinematic.mpg
;[[Fichier:Distance sur une surface de tube cylindrique.jpg|bordure|droite|640x640px]][[Fichier:Longueur d'un vecteur dans une sphère avec angle en radians.jpg|480x480px]]
;[[Fichier:Tracé d'un demi cylindre.png|600x600px]][[Fichier:Anneau 60 -16.gif|vignette|tableau anneau RVB flou stroboscopique numérique ]][[Fichier:Intégrale matrice de rotation pour obtenir le tracé.jpg|vignette|Développement matrice de rotation]]
;*Fonction angulaire calculée d'après la formule '''''tempsdepause(pi/4;45tr/mn)=1/6s'''''
::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t(θ) = exp[(4θ-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;)/24)]/6&lt;/span&gt;
::t(0)= &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;exp[(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;)/24)]/6&lt;/span&gt;
;*Dérivée
::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t'(θ) = exp[1&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;4/24]/6 = exp[1/6]/6&lt;/span&gt;
;*Linéarisation du temps de pause t&lt;math&gt;_\theta&lt;/math&gt;par rapport à l'angle &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;θ
::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t&lt;math&gt;_0&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;=&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;exp[(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;)/24)]/6&lt;/span&gt;
:::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;&lt;math&gt;_\theta&lt;/math&gt; &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;= t&lt;/span&gt;&lt;math&gt;_0&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\exp(it)&lt;/math&gt;&lt;math&gt;^2&lt;/math&gt;&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;&lt;math&gt;^\pi&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;= &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t&lt;math&gt;_0&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;(cos(t)̹̹&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;isin(t))&lt;math&gt;^2&lt;/math&gt;&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;&lt;math&gt;^\pi&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;= &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt;&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;[(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;)/24]/6&lt;/span&gt; &lt;math&gt;*&lt;/math&gt;(cos(t)̹̹&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;isin(t))&lt;math&gt;^2&lt;/math&gt;&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;&lt;math&gt;^\pi&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;
;*Primitive
::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;T(θ) = (1/12)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;exp(1/6)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;θ² + (1/6)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;exp(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;/24)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;θ + (&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;/3)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;(exp(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;/24)+&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;exp(1/6))

;* Fonction inverse

::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t-¹(θ) = t(&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;-3)&lt;/span&gt;
::
::Exemple de ce qu'on peut faire avec la vitesse angulaire d'après le théorème de l'addition des vitesses de la mécanique relativiste d'Albert Einstein, la sonde pitot numérique:
:[[Fichier:Formule ads b.jpg|vignette|Vitesse_sol= intégrale de l'accélération d'un avion pendant une période de temps= vitesse_air - vitesse_vent_altitude]]&lt;math&gt;Vitesse sol= \sqrt{((-(vitesse angulaire de larotation de la terre)*secondes(TempsB- tempsA)+  \frac{ radians(longitudeB-LongitudeA)}{secondes(TempsB- tempsA)}))^2+ (\frac{radians(latitudeB-latitudeA)}{secondes(tempsB-tempsA)})^2}*(rayon moyen de la terre+ altitudeB)&lt;/math&gt;
:[[Fichier:Trajectoire d'un vol autour d'une sphère.jpg|vignette|schéma vitesse sol calculée avec somme vectorielle des arcs de cercle d'une trajectoire d'un vol au dessus d'une sphère en rotation avec les coordonnées gps par rapport au centre de la sphère.]]
:exemple :
:pour New York Paris on parcourt 7522,12296600851 km en 7h15 dans le sens de la rotation de la terre
:vitesse sol = (3,6×(6371000+11000)×(RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)-RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40); 2)))−3,6×(6371000+11000)×RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)-RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49 ); 2)))÷(7×3600+15×60) =1037,53420220807 km/h
:et elle perdra une masse = (((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)−RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40);2))÷(7×3600+15×60)^2)−((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)−RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49);2))÷(7×3600+15×60)^2)))*0,5/9,81 = 10984,7217977056 kg  soit pour le trajet 8787,77743816448 litres de kérosène à une vitesse de 1037 km/h.
:[[Fichier:Vitesse du vent.jpg|vignette|Intrication de la vitesse sol et de la vitesse du vent]]
:pour paris New York on parcourt 7897,49588493335 km en 8h30 dans le sens contraire de la rotation de la terre
:vitesse sol=(3,6×(6371000+11000)×(RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)-RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49 ); 2)))−3,6×(6371000+11000)×RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)-RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40); 2)))÷(8×3600+30×60)=929,117162933335 km/h
:et elle perdra une masse =  (((6371000+11000))^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)−RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49);2))÷(8×3600+30×60)^2)−((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)−RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40);2))÷(8×3600+30×60)^2)))*0,5/9,81= -9896,09159159012 kg soit pour le trajet 7916,8732732721 litres de kérosène à une vitesse de 929 km/h .
:
:Donc un vol aller pour Paris depuis New York consomme plus en carburant qu'un vol retour pour New York depuis Paris
« Ce n'est pas le Soleil qui tourne autour de la Terre, 

c'est la Terre qui tourne autour du Soleil,

Et pourtant la Terre elle tourne sur elle-même,

c'est pour cela qu'elle est ronde… »

Par cette formule pour un vol New York - Paris à 4000 m au-dessus de la mer et à 630,6 hectoPascal pour -8,5°°, un avion A320 de 76,4928 tonnes avec un angle d'horizon artificiel de -1,566923607° qui mettra 7h15 aura une vitesse moyenne de {{Unité|807.244837279434|km/h}} comme les distances en avion rallongent et consommera une valeur énergétique de 1,92307451971865 Gigajoules  contre 1,63767263702058 Gigajoules  pour le vol retour Paris New York d'une durée de 8h30 à une vitesse de {{Unité|744.9390928139391|km/h}} et avec un angle d'horizon artificiel de -1,567222514° comme les distances raccourcissent avec la terre qui tourne sur elle-même selon la relativité d'Albert Einstein

Si la Terre était complètement sphérique et bien lisse il faudrait 3,651898169 jours pour qu'un ballon de basket roulant à {{unité|314662.519|km/h}} fasse le tour de la Terre en passant par les pôles.
[[Fichier:Equation courbe geodesique coordonnées ECEF systeme WGS84.jpg|vignette|'''Équation courbe géodésique coordonnées ECEF système WGS84''']]

Masse d'un avion en vol=(Masse volumique de l'atmosphere)*Altitude*Surface ventrale*Cx du fabricant
[[Fichier:Coordonées ECEF systeme WGS84 d'une courbe geodesique.jpg|vignette|Coordonnées vecteurs et d'un point M d'une courbe géodésique]]


&lt;math&gt;Masse avion=\left ( \frac{Masse molaire de l'air*PressionatmospheriqueB}{CstUnivGpR*TemperatureB} \right)*AltitudeA*Surface projetee*Coef Cx&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;Horizon artificiel=\arctan \left (\frac{ \left ( \frac{Masse molaire de l'air*PressionatmospheriqueB}{CstUnivGpR*TemperatureB} \right)*AltitudeA*Surface projetee*Coef Cx*g}{ \sqrt{\mid vitesse angulaire de larotation de la terre * \frac{ radians(longitudeB-LongitudeA)}{secondes(TempsB- tempsA)} \mid+ (\frac{radians(latitudeB-latitudeA)}{secondes(tempsB-tempsA)})^2}*(rayon moyen de la terre+ altitudeB)} \right)

&lt;/math&gt;

Masse de la lune=384399000*PI*1737400^2*0,5=1,822643624*10^21 kg

Masse volumique du vide sidéral aux alentours de la Lune=40,38090554 kg/m^3 nettement inférieur à la masse volumique de l'eau(997kg/m^3) et légèrement supérieur à la masse volumique de l'air (1,2kg/m^3)


&lt;math&gt;Masse d'un photon=\frac{ConstantedePlanck*frequenceduphoton}{vitessedelalumieredanslevide^2}&lt;/math&gt;

masse d'un photon orange déplaçant une minuscule masse d'air à la vitesse de la lumière=1,491520911*10^-36 kg

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;Frequence d'un photon=\left ( \frac{vitessedelalumieredanslevide}{(Constante de Gladstonedale*masse volumique de l'air +1)*longueur d onde du photon } \right )
&lt;/math&gt;

fréquence d'un photon orange= 202,30876655  THertz

&lt;math&gt;Intensite d'un photon derriere une epaisseur=Intensite devant*\exp\left ( \frac{-4\pi*Cste de GladstoneDale*epaisseur en cm}{longueurdonde du photon} \right )&lt;/math&gt;

Soit pour un photon orange d'intensité 1KiloWatt devant aura derrière une épaisseur de 1 nanomètre d'air une intensité lumineuse de 76,9026362586509 Watts

ex vitesse orbitale de la lune par rapport à la vitesse de rotation de la terre =(RACINE(ABS(0,00007292115×RADIANS(185−187)÷(420))+PUISSANCE(RADIANS(22−22)÷(420);2)))×(383623000)*3,6={{Unité|107513.482389629|km/h}}

En python pour déterminer instantanément la vitesse d'un point par rapport à la terre on fait le programme suivant en faisant l'analyse du champ lexical séparé par une virgule de deux trames GNGGA précédente et suivante et où on fait comme sur une feuille de calcul la formule dans une boucle tant qu'en accédant aux valeurs du dictionnaire pour les longitudes, latitudes, altitudes et le temps:

&quot;&quot;&quot; GNGGA

Compteur de vitesse par rapport au mouvement de rotation de la terre

&quot;&quot;&quot;

import serial

import math

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt; Set up serial:

ser = serial.Serial(

    port='/dev/ttyACMx',\

    baudrate=9600,\

        timeout=1)

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt; Helper function to take HHMM.SS, Hemisphere and make it decimal:

def degrees_to_decimal(data, hemisphere):

    try:

        decimalPointPosition = data.index('.')

        degrees = float(data[:decimalPointPosition-2])

        minutes = float(data[decimalPointPosition-2:])/60

        output = degrees + minutes

        if hemisphere == 'N' or hemisphere == 'E':

            return output

        if hemisphere == 'S' or hemisphere == 'W':

            return -output

    except:

        return &quot;&quot;

    
def parse_GNGGA(data):

    data = data.split(',')

    dict = {

            'fix_time': data[1],

            'latitude': data[2],

            'latitude_hemisphere' : data[3],

            'longitude' : data[4],

            'longitude_hemisphere' : data[5],

            'fix' : data[6],

            'sat' : data[7],

            'dop' : data[8],

            'altitude' : data[9],

            'unit_alt' : data[10],

            'WGS84' : data[11],

            'unit_wgs84' : data[12],

            'vide' : data[13],

            'checksum' : data[14]

   
            }

   
    dict['decimal_latitude'] = degrees_to_decimal(dict['latitude'], dict['latitude_hemisphere'])

    dict['decimal_longitude'] = degrees_to_decimal(dict['longitude'], dict['longitude_hemisphere'])

    return dict

    
&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt; Main program loop:

gpsDataB = None

speedA= 0.0   

masse= 90.0

while True:

 
    line = str(ser.readline())

    
    if &quot;b'$GNGGA&quot; in line :

        gpsDataA = parse_GNGGA(line)

        
        if gpsDataB is not None:

           
            AltA= float(gpsDataA.get('altitude'))

            AltB= float(gpsDataB.get('altitude'))

            LonA=float(gpsDataA.get('decimal_longitude'))

            LonB=float(gpsDataB.get('decimal_longitude'))

            LatA=float(gpsDataA.get('decimal_latitude'))

            LatB=float(gpsDataB.get('decimal_latitude'))

            tempsA=float(gpsDataA.get('fix_time'))

            tempsB=float(gpsDataB.get('fix_time'))

            speed =3.6*(3781009 + AltB+ abs(AltA - AltB) * (math.sqrt(((- 0.00007292115 + (math.radians(LonA- LonB)/(tempsA-tempsB))))**2 +(math.radians(LatA - LatB)/(tempsA-tempsB)) ** 2))  

energie=0.5*masse/(3.6**2)*(speed ** 2 - speedA ** 2) 

            print(&quot;vitesse = {}&quot;.format(speed))

print(&quot;Joules = {}&quot;.format(energie))

            speedA = speed      

        gpsDataB=gpsDataA


Par produit en croix de  Masse de la Terre ⇒ Rayon moyen de la Terre * vitesse angulaire de la rotation de la Terre

Masse de la Lune ⇒ Rayon moyen de la Lune * vitesse angulaire de la rotation de la Lune

On peut déterminer la masse de la Lune*(6371,009*7,292115*0,00001*3600)= 5,973 6 × 10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; &lt;abbr&gt;kg*&lt;/abbr&gt;1 737,4 &lt;abbr&gt;km*2*PI/&lt;/abbr&gt;27,321 582/24

Masse de la Lune= 5,943117086*10^21Kg

=== Démonstration ===
[[Fichier:Abeille butinant sur un brin de lavande.jpg|vignette|Abeille butinant sur un brin de lavande]]
[[Fichier:Flou stroboscopique de l'abeille butinant sur un brin de lavande.jpg|vignette|Abeille butinant sur un brin de lavande]]
[[Fichier:Cylindre rvb.webm|vignette|synthèse additive sur un cylindre qui tourne avec blender]]
[[Fichier:BeansRVB.webm|vignette|Cylindre déformé RVB]]
{| class=&quot;wikitable&quot;
|Produit matriciel
|(1/2^n;1/2^n) où n est le degré d’optimisation
|-
|(Vitesse d’ouverture pour une synthèse additive d’un groupe de couleurs RVB; angle n*alpha avec n&gt;0)
|(Vitesse d’ouverture de l’appareil photo; angle alpha)
|}
[[Fichier:Integrale flou stroboscopique.jpg|vignette|Integrale flou stroboscopique]]
[[Fichier:Rotation point avec rayon et angles par rapport au centre.jpg|vignette|Rotation point avec rayon et angles par rapport au centre]]
Soient &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;θ = ωt et ω = 2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f&lt;/span&gt;, où &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;θ&lt;/span&gt; est un angle en radians, &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;f&lt;/span&gt; la fréquence de la platine en tours par minutes et &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t&lt;/span&gt; le temps en secondes.
*On fait correspondre &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;ω = 2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f&lt;/span&gt; et &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;ω = θ/t&lt;/span&gt;, d'où &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f = θ/t&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;.
*On simplifie : &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t = θ/(2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f).
*On convertit &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;f&lt;/span&gt; en tours par seconde et on obtient &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t = θ/(2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f)/60)&lt;/span&gt;, d'où : &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t = (60 &lt;math&gt;*&lt;/math&gt; θ)/(2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f)&lt;/span&gt;.

pour n=0

Sur un disque tournant sur une platine, on obtient une vitesse d'ouverture de l'appareil photo de :
&lt;blockquote style=&quot;text-align:center; font-size:1.2em;&quot;&gt;
&lt;math&gt;Vitesse \ d'ouverture \ de \ l'appareil \ photo = (60 \ * \ angle \ en \ radians)/(nombre \ de \  tours \ platine \ par \ minute \ * \ 2 \pi)&lt;/math&gt;
&lt;/blockquote&gt;
[[Fichier:Flou stroboscopique d'un anneau RVB et sa réciproque.jpg|vignette|'''Flou stroboscopique d'un anneau RVB et sa réciproque''']]
[[Fichier:Signatures stroboscopiques.jpg|vignette|Clef publique obtenue avec un flou cinétique circulaire d'angle 150° grâce à une clef privée pour des signatures stroboscopiques.]]
[[Fichier:Générer une clef publique sans clef privée.jpg|vignette|Générer une clef publique sans clef privée]]
[[Fichier:Dechiffrement d'une clef stroboscopique.jpg|vignette|Déchiffrement d'une clef privée à partir d'une clef publique connaissant son angle de flou cinétique circulaire]]
[[Fichier:Dechiffrement image floutée circulairement avec 3 angles.jpg|vignette|Déchiffrement image floutée circulairement avec 3 angles]]
[[Fichier:Figer et flouter digitalement une figure en rotation.jpg|vignette|Figer et flouter digitalement une figure en rotation]]
[[Fichier:Flou-et-figeage deflou.jpg|vignette|Flou et figeage de flou + padding et intégrale]]
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Rose - 1.jpg|Rose en flou stroboscopique à l'arrêt
Rose-2.jpg|Rose en flou stroboscopique en rotation
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Galaxie - 1.jpg|Galaxie en flou stroboscopique disque à l'arrêt
Galaxie - 2.jpg|Galaxie en flou stroboscopique disque en rotation
&lt;/gallery&gt;
[[Fichier:Perroquet à l'arret.jpg|vignette]]
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Flou cinétique tourne disque à l'arrêt.JPG|Platine à l'arrêt
Flou cinétique sur vinyle.JPG|Platine en mouvement :&lt;br /&gt;78 tours/mn,&lt;br /&gt;vitesse d'ouverture 1/15 s,&lt;br /&gt;angle &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6|alt=Platine en mouvement :78 tours/mn,vitesse d'ouverture 1/15 s,angle π/6
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Sextuple spirale réedition à l'arrêt.jpg|Sextuple spirale, réédition à l'arrêt
Sextuple spirale réedition en mouvement.jpg|Sextuple spirale, réédition en mouvement
&lt;/gallery&gt;
[[Fichier:Perroquet en mouvement.jpg|vignette]]

=== Table stroboscopique ===
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center;&quot;
|-	
! angle !! &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6 !! &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 !! &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 !! &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 || &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; !! 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;
|-	
!  33 tr/mn
|0,1515151515 || 0,2272727273 || 0,303030303 || 0,4545454545 || 0,9090909091 || 1,8181818182	
|-	
! vitesse
| 1/6 s || 1/5 s || 0,3 s || 0,5 s || 1 s || 2 s	
|-	
! 45 tr/mn
| 0,1111111111 ||'''0,1666666667'''|| 0,2222222222 || 0,3333333333 || 0,6666666667 || 1,3333333333 	
|-	
! vitesse
| 1/10 s ||'''&lt;u&gt;1/6 s&lt;/u&gt;'''|| 1/5s || 0,3s || 0,6s || 1,3s	
|-	
! 78 tr/mn
| 0,0641025641 || 0,0961538462 || 0,1282051282 || 0,1923076923 || 0,3846153846 || 0,7692307692	
|- 	
! vitesse
| 1/15s || 1/10s || 1/8s || 1/5s || 0,4s || 0,8s	
|}

=== Expériences ===
{| align=&quot;right&quot;
|-
| [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton à l'arret.JPG|thumb|Disque de Newton à l'arrêt]] || [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 2pi.JPG|thumb|Prisme à 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;]]
|}
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;150px&quot;&gt;
Disque_de_newton_permuté.jpg|Modèle de disque de newton permuté
Rotation_disque_de_newton_permuté_pour_chaque_couleur.jpg|Disque de Newton permuté à &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/7 pour chaque flou visible sur chaque flou visible Rouge Orange Jaune Vert Bleu Indigo Violet
Angle_permutation_couleurs.jpg|Angle des couleurs flou visibles sur autre couleurs de flou visible
&lt;/gallery&gt;
Et on obtient par un système de 6 équations à 7 inconnues pour chaque angle par rapport à une couleur :
{|
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center;&quot;
|- style=&quot;font-variant:small-caps;&quot;
! Vert !! jaune !! orange !! rouge !! violet || indigo !! bleu !! blanc	
|- style=&quot;height:20px;&quot;
| style=&quot;background-color:green;&quot;| || style=&quot;background-color:yellow;&quot;| || style=&quot;background-color:orange;&quot;| || style=&quot;background-color:red;&quot;| || style=&quot;background-color:purple;&quot;| || style=&quot;background-color:indigo;&quot;| || style=&quot;background-color:blue;&quot;| || style=&quot;background-color:white;&quot;|
|-	
| 25|| 80|| 35|| 50 ||60||35||75 || 360	
|-	
| 50|| 65|| 70|| 60 ||30||20||65 || 360
|-	
| 35|| 75|| 80|| 45 ||50||20||55 || 360	
|-
| 45|| 80|| 70|| 60 ||45||20||40 || 360
|-
| 60|| 60|| 40|| 50 ||20||40||90 || 360
|-	
| 40|| 60||50|| 40||60||30||80 || 360	
|-
| 360|| 360|| 360|| 360 ||360||360||360 || 360
|}
| style=&quot;padding-left:20px;&quot;|
&lt;br /&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|
&lt;poem&gt;
&lt;span style=&quot;color:#fff;&quot;&gt;+ &lt;/span&gt;Vert = 4,200764818
+ Jaune = 5,990439771
+ Orange = –1,833652008
+ Rouge = –2,728489484
+ Violet = 0,575525813
+ Indigo = –8,304015296
+ Bleu = 3,099426386
&lt;/poem&gt;
|}
[[File:Dégradé.jpg|thumb|Dégradé de flou de couleurs de base]]
|}
[[Fichier:Lunette periscopique pour vision 1-4.jpg|vignette|Schémas optique d'une vue dans un champ visuel de PI/2 élargi 3 fois avec des miroirs]]
[[Fichier:Dégradé linéaire.jpg|vignette|Dégradé linéaire d'après dégradé circulaire photographique]]

=== Disque de Newton en RVB ===
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;150px&quot;&gt;
Disque de Newton en spirale.jpg|Disque aux couleurs de Newton&lt;br /&gt;en vue d'obtenir du blanc
Blanc du disque de Newton lumière blanche.jpg|Blanc du disque de Newton&lt;br /&gt;en spirale avec une lumière blanche
Violet du disque de Newton en lumière ultraviolette.jpg|Violet du disque de Newton&lt;br /&gt;en spirale avec une lumière ultraviolette
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Disque de newton rvb.jpg|Disque de Newton en RVB à l'arrêt
Disque de newton rvb pi sur2.jpg|Angle de &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2, 33 tr/mn, flashé à 0,5 s
Disque de newton rvb 2pi.jpg|Angle de 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;, 33 tr/mn, flashé à 2 s
&lt;/gallery&gt;

== Synthèse additive ==
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180px&quot;&gt;
Table des couleurs en peinture acrylique.JPG|Table des couleurs&lt;br /&gt;en peinture acrylique
Blanc UV synthèse additive RVB.webm|Blanc UV synthèse additive RVB
Synthese_additive_flou_stroboscopique_RVB.jpg|Synthèse additive aux couleurs RVB&lt;br /&gt;sur un disque circulaire
Resultat_de_la_synthese_additive_flou_stroboscopique.jpg|Résultat de la synthèse additive&lt;br /&gt;45 tr/mn&lt;br /&gt;Angle de &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2&lt;br /&gt;flashé 0.3s
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
!Produit Matriciel
!(R/B)*Alpha* V/(R+V+B)
!Alpha* V/(R+V+B)
!(B/V)*Alpha* V/(R+V+B)
|-
|(Rouge; Vert; Bleu; angle Alpha)
| colspan=&quot;3&quot; |Angle pour chaque valeur RVB différentes par dichotomie 
|-
|ex Bleu roi (49;140;231; 45°)
|5,25° de rouge
|15° de vert
|24,75° de bleu
|-
|
|
|
|
|}
[[Fichier:Clown dichotomie.jpg|vignette|méthode de coloriage par dichotomie]]
[[Fichier:Clown de face.jpg|vignette|synthèse additive du coloriage par dichotomie 1/6s 45t pi/2]]
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;160px&quot;&gt;
Synthese additive flou stroboscopique 0.jpg|Synthèse additive&lt;br /&gt;flou stroboscopique 0
Synthese additive flou stroboscopique pi.jpg|Synthèse additive&lt;br /&gt;flou stroboscopique &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;
Synthese additive flou stroboscopique 2PI.jpg|Synthèse additive&lt;br /&gt;flou stroboscopique 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;
Disque couleurs additives.webm|Disque couleurs additives
&lt;/gallery&gt;

== En flou stroboscopique ==
En flou stroboscopique, on peut reproduire la synthèse additive avec un appareil photographique : c'est le phénomène de la lumière réfléchie comme de la lumière projetée sur un écran et surtout moins nocive pour la santé. On peut vérifier aussi la synthèse additive des couleurs sur le disque en le fixant sur un ventilateur, par exemple, où elle sera visible à vision humaine mais ne le sera pas sur une caméra.
{| align=&quot;center&quot;
|-
|[[Fichier:Synthèse_additive_par_lumière_réflechie_sur_un_disque_tournant_à_45tr_minute.jpg|250px]]
|
[[Fichier:Couleurs_sur_un_disque_à_l'arrêt_pour_une_synthèse_additive_par_lumière_réflechie.jpg|250px]]
|- valign=&quot;top&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center&quot;
| Synthèse additive par lumière réfléchie&lt;br /&gt;sur un disque à 45 tr/mn || Couleurs sur un disque à l'arrêt&lt;br /&gt;pour une synthèse additive&lt;br /&gt;par lumière réfléchie
|}

== Diagramme de Venn des couleurs synthèse additive étendues ==
[[File:Gamme de gris.webm|thumb|Gamme de gris]]
[[File:Disque synthèse additive étendue pour marron rose rouge vert.webm|thumb|Disque synthèse additive étendue pour marron rose rouge vert]]
[[File:Disque synthèse additive étendue pour orange violet gris bleu.webm|thumb|Disque synthèse additive étendue pour orange violet gris bleu]]
[[File:Disque synthèse additive étendue( Cuivre, lavande, saumon et or).webm|thumb|Disque synthèse additive étendue (cuivre, lavande, saumon et or)]]
&lt;gallery mode=&quot;packed-hover&quot; heights=&quot;280px&quot; caption=&quot;Diagramme de Venn des couleurs étendues de la synthèse additive par lumière réfléchie ''(survolez l'image)''&quot;&gt;
Gris_anthracite_Blanc_crème_Bleu_Maya_flou_stroboscopique_disque_à_l'arrêt.jpg|&lt;small&gt;Pour faire du gris anthracite, blanc crème et bleu maya&lt;/small&gt;
Gris_anthracite_Blanc_crème_Bleu_Maya_flou_stroboscopique_disque_en_mouvement.jpg|&lt;small&gt;Gris anthracite, blanc crème et bleu maya&lt;/small&gt;
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed-hover&quot; heights=&quot;280px&quot; caption=&quot;Production du orange cassis et jaune par synthèse additive de lumière réfléchie&quot;&gt;
Production_du_orange_cassis_et_jaune_par_synthese_additive_de_lumiere_réfléchie_partie_1.jpg|&lt;small&gt;Partie 1&lt;/small&gt;
Production_du_orange_cassis_et_jaune_par_synthese_additive_de_lumiere_réfléchie_partie_2.jpg|&lt;small&gt;Partie 2&lt;/small&gt;
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed-hover&quot; heights=&quot;280px&quot; caption=&quot;Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent)&quot;&gt;
Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent) disque immobile.jpg|&lt;small&gt;À l'arrêt&lt;/small&gt;
Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent) disque en rotation.jpg|&lt;small&gt;En mouvement&lt;/small&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== Théorie de l'absorption et de la réflexion de la lumière par les surfaces colorées ===
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
| [[Fichier:Vitraux sur fong gris pour flou stroboscopique.JPG|220px]]
| [[Fichier:Vitreaux triangulaires sur fond gris.JPG|220px]]
| [[Fichier:Nuancier stroboscopique.JPG|220px]]
| [[File:Fond chromatique.JPG|220px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%;&quot;
| Vitraux || Fond gris || Nuancier stroboscopique&lt;br /&gt;sur fond chromatique || Stroboscopie de disque&lt;br /&gt;aux couleurs chromatiques
|}
=== Flou stroboscopique sculpté ===
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Modele de flou stroboscopique sculpte.JPG|232px]]
| [[Fichier:Flou stroboscopique sculpté.JPG|520px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%;&quot;
| Modèle de flou stroboscopique sculpté || Flou stroboscopique sculpté
|}
=== Flou cinétique radial ===
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Stroboscopie de Jimi Hendrix.JPG|220px]]
| [[Fichier:Flou stroboscopique.jpg|330px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%;&quot;
| Stroboscopie à &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6 || Retouche d'image faite à la main
|}
==== Effet bras de levier  ====
Dans le flou stroboscopique, l'effet bras de levier consiste, en diminuant l'angle de rotation avec une vitesse stroboscopique plus élevée, à éloigner du centre le flou vers l’extérieur et avoir un centre plus net.
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;160px&quot;&gt;
Stroboscopie circulaire à 0,05s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,05 s
Stroboscopie circulaire à 0,033s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,033 s
Stroboscopie circulaire à 0,016s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,016 s
Stroboscopie circulaire à 0,00625.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,00625 s
Stroboscopie circulaire à 0,0025.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,0025 s
&lt;/gallery&gt;
==== Le flou stroboscopique rectiligne  ====
À plus grande échelle, le mouvement circulaire devient rectiligne et on obtient du flou stroboscopique rectiligne.

Ceci est la preuve que quel que soit la masse de la goutte d'eau en chute libre, un corps tombe à la même vitesse.
[[Fichier:Stroboscopie rectiligne photographique à 0,005s.JPG|thumb|center|upright=1.5|Stroboscopie rectiligne photographique à 0,005s]]
==== Retranscription du son par la couleur  ====
{| align=&quot;center&quot; style='background-color:#ffffe0; margin-bottom:15px;&quot;
|- align=&quot;center&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|&lt;q&gt;''When The Saints Go Marching In''&lt;/q&gt;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:When The Saint Go Marching In - Partition - Flou Stroboscopique.JPG|220px]]
| [[Fichier:When The Saint Go Marching In - PLAY - Flou Stroboscopique.JPG|495px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%;&quot;
| Partition en spirale&lt;br /&gt;pour Flou Stroboscopique&lt;br /&gt;Chaque couleur représente&lt;br /&gt;une note selon sa longueur d'onde
| Joué en Flou Stroboscopique en &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2&lt;br /&gt;pour faire une mesure à 4 temps
|}
*Le flou stroboscopique est un flou visible produit par l'effet d'un mouvement périodique d'un ou plusieurs points sur un disque capté lors de la prise de vue :
&lt;blockquote style=&quot;text-align:center; font-size:1.2em;&quot;&gt;
&lt;math&gt;Vitesse \ d'ouverture \ de \ l'appareil \ photo = (60 \ * \ angle \ en \ radians)/(nombre \ de \ tours \ platine \ * \ 2 \pi)&lt;/math&gt;
&lt;/blockquote&gt;
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; border:1px solid #a2a9b1; margin-top:25px;&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Flou cinétique tourne disque à l'arrêt.JPG|220px]]
| [[Fichier:Flou cinétique sur vinyle.JPG|220px]]
| [[Fichier:Vitraux éclairée.JPG|220px]]
| [[Fichier:Suites de segments et d'hexagones traduites en flou stroboscopique.JPG|495px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot;
| Spirales sextuples, intervalle de 30°&lt;br /&gt;6 couleurs peintes sur vinyle&lt;br /&gt;Platine à l'arrêt
| 78 tours pour obtenir un flou visible&lt;br /&gt;Vitesse d'ouverture photo : 1/15s
| 78 tours 30° 1/15s
| 78 tours 30° 1/15s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;background-color:#f6f6f6;font-size:90%; margin-top:25px; margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Vitraux sur fong gris pour flou stroboscopique.JPG|220px]]
| [[Fichier:Vitreaux triangulaires sur fond gris.JPG|220px]]
| [[Fichier:Stroboscopie à 360° d'une suite de spirales aux couleurs chromatiques.JPG|220px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot;
| Vitraux sur fong gris&lt;br /&gt;pour flou stroboscopique
| 78tours 1/15s 30°
|Stroboscopie à 1.3 et 45 tr/mn&lt;br /&gt;pour faire un tour complet&lt;br /&gt;soit 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;
|}
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;250px&quot;&gt;
Stroboscopie photographique d'un mouvement circulaire à 0,016s.jpg|Cascade
Zen architectural.JPG|Flou stroboscopique fait main&lt;br /&gt;Made in France
D Day.xcf|Decopatch stroboscopique
Robinson Crusoé.JPG|Flou stroboscopique de poster
&lt;/gallery&gt;
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Vertigo Building.JPG|thumb|Photographie de Lewis W. Hine stroboscopiée à l'artisanale]]
| [[Fichier:Volant à droite.JPG|thumb|Flou stroboscopique dans le sens horaire]]
| [[Fichier:Volant à gauche.JPG|thumb|Flou stroboscopique dans le sens horaire]]
|}
&lt;div style=&quot;float:center; width:440px; margin:auto; text-align:center;&quot;&gt;
[[Fichier:Airbourn stroboscopié.JPG|220px]][[Fichier:Iron Maiden stroboscopié.JPG|220px]]&lt;br /&gt;Sonisphere
&lt;/div&gt;
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
|Disque original entre les mains du parquet de Paris[[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton à l'arret.JPG|thumb|Disque de Newston à l'arrêt]]
| [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 0pi.JPG|thumb|upright=2.2|Stroboscopie du Disque de Newton à vitesse proche du 0 &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;]]
| [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 2pi.JPG|thumb|À vitesse proche du 2 &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;]]
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; margin-bottom:25px;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#ffffe0&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''My Way''&lt;/q&gt;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:My Way-source-flou stroboscopique.JPG|300px]]
| [[File:My Way 33 3 3.JPG|300px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| Partition lumineuse&lt;br /&gt;Formatage en &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3&lt;br /&gt;avec 8 octets sur 5 pistes
| Jouée en 33  tr/mn&lt;br /&gt;Rotation de &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 en 0,3 s
|}
{| align=&quot;center&quot;
|-
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique du &lt;q&gt;''Boléro'' de Ravel&lt;/q&gt;
|-
| [[File:Bolero-joué-flou stroboscopique.JPG|280px]]
| [[File:Partition-Bolero-Flou stroboscopique.JPG|280px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| Partition&lt;br /&gt;10 secteurs de 12 octets sur 8 pistes
| Jouée en 78 tr/mn&lt;br /&gt;Prise à 1/13 s pour &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/10
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique du &lt;q&gt;''Smile (temps modernes)''&lt;/q&gt;
|-
| [[File:Flou stroboscopique-Smile-temps modernes-partition.JPG|280px]]
| [[File:Flou stroboscopique-Smile-temps modernes.JPG|280px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| Partition&lt;br /&gt;de 72 secteurs de 4 noires sur 12 pistes
| Jouée en 33 tr/mn&lt;br /&gt;Angle &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3,  0,3 s
|}
|}
[[Fichier:Bolerovideo.webm|vignette|297px|Bolerovideo]]
{| align=&quot;center&quot;
|-
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; background-color:#ffffe0; margin-top:25px; margin-bottom:25px;&quot;
|-
! colspan=&quot;3&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Swanee''&lt;/q&gt; de Gershwin
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique.JPG|490px]]|
| [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique pisur4.JPG|220px]]
| [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique pisur8.JPG|220px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| Partition de 96 secteurs de 4 octets sur 6 pistes
| Jouée à &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4
| Jouée à &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/8
|}
|}
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''The entertainer''&lt;/q&gt; de Scott Joplin
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:The entertainer - Scott Joplin - flou strobscopique.JPG|280px]]
| [[File:The entertainer - Scott Joplin - flou strobscopique- en mouvement.JPG|280px]]
|-
| 72 secteurs de 8 doubles croches sur 6 pistes
| Jouée en 33 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6 et 1/6 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique du &lt;q&gt;''French Cancan''&lt;/q&gt; d'Offenbach
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Partition French cancan- flou stroboscopique.JPG|280px]]
| [[File:French cancan- flou stroboscopique.JPG|280px]]
|-
| 144 secteurs de 4 croches sur 12 pistes
| Jouée à 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6 et 1/15 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; bgcolor=&quot;#ffffe0&quot; style=&quot;font-size:90%;text-align:center; margin-top:25px; margin-bottom:25px;&quot;
|-
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Lettre à Élise''&lt;/q&gt; de Beethoven
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Lettre à Elise - Beethoven- Flou stroboscopique - turn off.JPG|260px]]
| [[File:Lettre à Elise - Beethoven- Flou stroboscopique - turn on.JPG|585px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| 90 secteurs de 6 doubles croches&lt;br /&gt;sur 15 pistes
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/8 s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de la &lt;q&gt;''Marche de Radetzky''&lt;/q&gt; de Johann Strauss
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Marche de Radetzky- Johann Strauss- flou stroboscopique- partition.JPG|280px]]
| [[File:Marche de Radetzky- Johann Strauss- flou stroboscopique- turn on.JPG|280px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| 104 secteurs de 8 doubles croches,13 pistes
| Jouée à 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 et 1/10 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Habanera de Carmen''&lt;/q&gt; de Georges Bizet
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Habanera de Carmen - Georges Bizet -flou stroboscopique- partition.JPG|280px]]
| [[File:Habanera de Carmen - Georges Bizet -flou stroboscopique- play.JPG|280px]]
|-
| 88 secteurs sur 11 pistes 8 doubles croches
| Jouée à 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 et 1/6 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Nocturne Op. n°2''&lt;/q&gt; de F. Chopin
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Nocture op9 no2-Chopin-Flou Stroboscopique-partition.JPG|220px]]
| [[File:Nocture op9 no2-Chopin-Flou Stroboscopique-play.JPG|220px]]
|-
| 36 sect., 12 pistes, 48 triples croches
| 78 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/4 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''La Marseillaise''&lt;/q&gt; de Rouget de Lisle
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Partition de la Marseillaise de Rouget de Lisle en notes couleurs de l'arc en ciel.JPG|220px]]
| [[File:La Marseillaise de Rouget de Lisle jouée en flou stroboscopique.JPG|220px]]
|-
| 40 secteurs 10 pistes 1/16
| 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 et 0.3 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Pump and circumstance''&lt;/q&gt; de Edward Elgar
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Pomp and circumstance de Edward Elgar partition pour flou stroboscopique.JPG|220px]]
| [[File:Pomp and circumstance de Edward Elgar joué en flou stroboscopique.JPG|220px]]
|-
| 80 secteurs 10 pistes 1/4
| 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 et 1.6 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; style='background-color:#ffffe0; margin-bottom:15px;&quot;
|- valign=&quot;bottom;
! colspan=&quot;2&quot;|''Lascia Ch'io Pianga'' de l'opéra &lt;q&gt;Rinaldo&lt;/q&gt; de G. F. Händel
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Lascia Ch'io Pianga - Flou stroboscopique - partition.JPG|220px]]
| [[File:Lascia Ch'io Pianga - Flou stroboscopique - play.JPG|220px]]
|- style=&quot;text-align:center; font-size:90%;&quot;
| 42 secteurs, 7 pistes, 1 croche
| Joué en 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/5 s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|&lt;q&gt;''El condor pasa''&lt;/q&gt;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:El condor pasa- flou stroboscopique-partition.JPG|220px]]
| [[File:El condor pasa- flou stroboscopique-en mouvement.JPG|220px]]
|-
| 48 sect., 12 pistes, 16 dbles croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 et 1,5 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|&lt;q&gt;''Chicken Reel''&lt;/q&gt; de Joseph M. Daly
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Flou stroboscopique de chicken reel de Joseph M Daly (partition).JPG|220px]]
| [[File:Flou stroboscopique de chicken reel de Joseph M Daly.JPG|220px]]
|-
| 52 secteurs 13 pistes 1 croche
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 et 1/5 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|&lt;q&gt;''L'apprenti sorcier''&lt;/q&gt; de Paul Dukas
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:L'apprenti sorcier-Paul Dukas-Flou stroboscopique-Partition.JPG|220px]]
| [[File:L'apprenti sorcier-Paul Dukas-Flou stroboscopique.JPG|220px]]
|-
| 28 secteurs 7 pistes 3 croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 et 1/5 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot;
|-
| style=&quot;padding-right:25px;&quot; |
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Valse n°2''&lt;/q&gt; de Dmitri Chostakovitch)
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Valse n° 2 (dimitri chostakovitch)- Flou stroboscopique- partition.JPG|220px]]
| [[File:Valse n° 2 (dimitri chostakovitch)- Flou stroboscopique- play.JPG|220px]]
|-
| 39 secteurs 13 pistes 12 dbles croches
| 78 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/4 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Le beau Danube bleu''&lt;/q&gt; de J. Strauss
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Bleu Danube - Strauss Johann- Flou stroboscopique- code source.JPG|220px]]
| [[File:Bleu Danube - Strauss Johann- Flou stroboscopique- compilé.JPG|220px]]
|-
| 345 secteurs 23 pistes 6 croches
| 33 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/15 et 1/8 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;margin-top:25px; margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|- bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Le Lac des Cygnes''&lt;/q&gt; de P. I. Tchaikovsky
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Lac des cygnes-Tchaikovsky-flou stroboscopique-partition.JPG|220px]]
| [[File:Lac des cygnes-Tchaikovsky-flou stroboscopique.JPG|220px]]
|-
| 26 secteurs 13 pistes 8 croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; et 4 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Camarada Hans Beimler''&lt;/q&gt; de Ernst Busch
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Camarada Hans Beimler - Ernst Busch - Flou stroboscopique- Partition.JPG|220px]]
| [[File:Camarada Hans Beimler - Ernst Busch - Flou stroboscopique - RUN.JPG|220px]]
|-
| 36 secteurs 12 pistes 8 croches
| 78 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/4 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|- bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''La truite''&lt;/q&gt; de Franz Schubert
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:La truite- Franz Schubert- flou stroboscopique-off.JPG|220px]]
| [[File:La truite- Franz Schubert- flou stroboscopique-on.JPG|220px]]
|-
| 65 secteurs 13 pistes 1 dble croche
| 78 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/5 et 1/6 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;background-color:#ffffe0; margin-bottom:25px; font-size:90%; text-align:center;&amp;quot;&quot;
|- valign=&quot;bottom;&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |''Toccata &amp; Fugue en Ré mineur'' (Yasuo Sugiyama)
|-
| [[File:Toccata et fugue en re mineur-Yasuo Sugiyama-flou stroboscopique-code source.JPG|300px]]
| [[File:Toccata et fugue en re mineur-Yasuo Sugiyama-flou stroboscopique.JPG|300px]]
|-
| 60 secteurs 12 pistes 16 dbles croches
| 45 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/5 et 1/4 s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1; margin-bottom:25px;&quot;
|- bgcolor=&quot;#abcdef&quot;
! colspan=&quot;4&quot; |&lt;q&gt;''La Marche turque''&lt;/q&gt; de W. A. Mozart
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
| colspan=&quot;2&quot; |'''{{1re}} partie'''|| colspan=&quot;2&quot; |'''2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; partie'''
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:La Marche turque- Mozart- 1ère partie- flou stroboscopique- code source.JPG|230px]]
| [[File:La Marche turque- Mozart- 1ère partie- flou stroboscopique.JPG|230px]]
| [[File:La Marche turque- Mozart- 2ème partie- flou stroboscopique- code source.JPG|230px]]
| [[File:La Marche turque- Mozart- 2ème partie- flou stroboscopique.JPG|230px]]
|-
| 112 secteurs 14 pistes 8 dbles croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/8 et 1/20 s
| 112 secteurs 14 pistes 8 dbles croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/8 et 1/20 s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1; margin-bottom:25px;&quot;
|- bgcolor=&quot;#fedcba&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Hilarity Rag''&lt;/q&gt; de James Scott
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Hilarity Rag - James Scott- Flou stroboscopique- code source.JPG|240px]]
| [[File:Hilarity Rag - James Scott- Flou stroboscopique- compilation.JPG|240px]]
|-
| 256 secteurs 32 pistes 1 double croche
| 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 et 1/6 s
|}

{{Autres projets
  | idfaculté       =
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      <comment>ajout des liens vers les niveaux internationaux correspondants, ainsi que le tableau des correspondances avec tous les niveaux internationaux</comment>
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Ce portail présente :
* pour le lycée général :
** une page par enseignement de tronc commun et année,
** une page par enseignement de spécialité et année ;
* pour le lycée technologique : une page par série et année ;
* une page pour les cours de maths, d'histoire-géographie, de français, de physique et de chimie, toutes voies confondues.

Les enseignements pour ces trois années correspondent aux niveaux internationaux [[Aide:Niveau/Niveau 11|11]] à [[Aide:Niveau/Niveau 13|13]] (cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]).

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    <title>Scolarité en France/Élémentaire/Présentation de la structure</title>
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        <username>Eric.LEWIN</username>
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En France, l''''école élémentaire''' est l'école qui accueille les enfants à partir de 6 ans (5 pour ceux nés en fin d'année civile). Elle représente la suite de la [[Scolarité en France/Maternelle|maternelle]] (à partir de 3 ans).

Les enseignements pour ces cinq années correspondent aux niveaux internationaux [[Aide:Niveau/Niveau 2|2]] ({{fr}} «&amp;nbsp;C.P.&amp;nbsp;») à [[Aide:Niveau/Niveau 6|6]] ({{fr}} «&amp;nbsp;C.M.2&amp;nbsp;») (cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]).

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    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie</title>
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      <comment>/* Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude */</comment>
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      <text bytes="304347" sha1="at1l5r10xp7gtlpc457bjaqxtxecily" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="304436" sha1="1rjzpzonhjdvjotp915tubn57i4wdxm" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système de points matériels fermé[[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
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      <comment>/* Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude */</comment>
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      <text bytes="306203" sha1="9r3wgixjxatgm3nyao8rk6qnpe1ufbe" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système des forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; »,

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,&lt;/math&gt; après factorisation scalaire par &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; dans la somme sur &lt;math&gt;\,_j\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; étant une constante dans la somme discrète sur &lt;math&gt;\,_j&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; .

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="306206" sha1="lh73glio3vhe8yt5yslqhrkmym5ac87" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système des forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,&lt;/math&gt; après factorisation scalaire par &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; dans la somme sur &lt;math&gt;\,_j\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; étant une constante dans la somme discrète sur &lt;math&gt;\,_j&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; .

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="307045" sha1="4hdkhab2oa21dhb3x1dp95zvfia6bx8" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système des forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,&lt;/math&gt; après factorisation scalaire par &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; dans la somme sur &lt;math&gt;\,_j\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; étant une constante dans la somme discrète sur &lt;math&gt;\,_j&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; .

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» puis,

&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="308787" sha1="kfjwukkj7g9sz2bw6ri9w21u3xio4aq" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système des forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,&lt;/math&gt; après factorisation scalaire par &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; dans la somme sur &lt;math&gt;\,_j\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; étant une constante dans la somme discrète sur &lt;math&gt;\,_j&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; .

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;on utilise la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui donne &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est donc la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du vecteur position &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\,33\,&lt;/math&gt;ans.&lt;/ref&gt; et par suite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».


{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="309268" sha1="h18q2urh4ztv1i9ri6npnecjfwh1r88" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système des forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,&lt;/math&gt; après factorisation scalaire par &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; dans la somme sur &lt;math&gt;\,_j\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; étant une constante dans la somme discrète sur &lt;math&gt;\,_j&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; .

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;on utilise la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui donne &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est donc la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du vecteur position &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\,33\,&lt;/math&gt;ans.&lt;/ref&gt; et par suite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j \neq i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &gt; i\big)\,&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\,i \leftrightarrow j\,&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="310028" sha1="8htr5o3nnfk3h6vqe938edfzpvw1p3o" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système des forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,&lt;/math&gt; après factorisation scalaire par &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; dans la somme sur &lt;math&gt;\,_j\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; étant une constante dans la somme discrète sur &lt;math&gt;\,_j&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; .

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;on utilise la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui donne &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est donc la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du vecteur position &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\,33\,&lt;/math&gt;ans.&lt;/ref&gt; et par suite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j \neq i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &gt; i\big)\,&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\,i \leftrightarrow j\,&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; des forces que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,&lt;/math&gt; des forces que &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_j}\,&lt;/math&gt; exerce sur }}&lt;math&gt;\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\in\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="310028" sha1="r8mxn0kqvio8nfolg3mn5z3xvny35kr" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système des forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,&lt;/math&gt; après factorisation scalaire par &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; dans la somme sur &lt;math&gt;\,_j\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; étant une constante dans la somme discrète sur &lt;math&gt;\,_j&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; .

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;on utilise la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui donne &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est donc la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du vecteur position &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\,33\,&lt;/math&gt;ans.&lt;/ref&gt; et par suite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j \neq i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &gt; i\big)\,&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\,i \leftrightarrow j\,&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; des forces que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,&lt;/math&gt; des forces que &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_j}\,&lt;/math&gt; exerce sur }}&lt;math&gt;\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\in\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="310200" sha1="edojy6tw6e0sl4ec8ljmugu8cu1qtif" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système des forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,&lt;/math&gt; après factorisation scalaire par &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; dans la somme sur &lt;math&gt;\,_j\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; étant une constante dans la somme discrète sur &lt;math&gt;\,_j&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; .

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;on utilise la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui donne &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est donc la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du vecteur position &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\,33\,&lt;/math&gt;ans.&lt;/ref&gt; et par suite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j \neq i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &gt; i\big)\,&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\,i \leftrightarrow j\,&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; des forces que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,&lt;/math&gt; des forces que &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_j}\,&lt;/math&gt; exerce sur }}&lt;math&gt;\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\in\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,

 {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="215402" sha1="obhv3qu80ltmvxhmcxlppizmiuw8oie" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système des forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,&lt;/math&gt; après factorisation scalaire par &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; dans la somme sur &lt;math&gt;\,_j\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; étant une constante dans la somme discrète sur &lt;math&gt;\,_j&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures « &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; .

==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;on utilise la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui donne &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est donc la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du vecteur position &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse &lt;br&gt;{{Al|117}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}relative à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\,33\,&lt;/math&gt;ans.&lt;/ref&gt; et par suite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;On associe les forces par couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,&lt;/math&gt; dans }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j&lt;/math&gt;, tous deux variant dans &lt;math&gt;\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\,j \neq i\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &gt; i\big)\,&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\,j &gt; i\,&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\,i \leftrightarrow j\,&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\,j &lt; i\,&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; des forces que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,&lt;/math&gt; des forces que &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_j}\,&lt;/math&gt; exerce sur }}&lt;math&gt;\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\in\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,

 {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
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    <title>Discussion Recherche:Ce que le mouvement Wikimédia nous apprend sur l'Homme et la Société globalisée/Vietnam</title>
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    <title>Scolarité en France/Collège/Présentation de la structure</title>
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Ce portail présente :
* une page par année ;
* une page pour les cours de maths, d'histoire-géographie, de français, de physique et de chimie, toutes années confondues ;
* un guide pour préparer l'épreuve d'histoire du DNB (brevet).

Les enseignements pour ces quatre années correspondent aux niveaux internationaux [[Aide:Niveau/Niveau 6|6]] à [[Aide:Niveau/Niveau 10|10]] (cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]).

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* une page par année ;
* une page pour les cours de maths, d'histoire-géographie, de français, de physique et de chimie, toutes années confondues ;
* un guide pour préparer l'épreuve d'histoire du DNB (brevet).

Les enseignements pour ces quatre années correspondent aux niveaux internationaux [[Aide:Niveau/Niveau 7|7]] à [[Aide:Niveau/Niveau 10|10]] (cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]).

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En France, l''''école maternelle''' est destinée aux enfants des classes de [[toute petite section]] (à partir de 2 ans ou plus, selon les secteurs) jusqu'à la [[grande section]]. Elle précède l'[[Scolarité en France/Élémentaire|école élémentaire]] avec laquelle elle constitue l'école dite primaire.

Les «&amp;nbsp;enseignements&amp;nbsp;» pour ces premières années ({{fr}} «&amp;nbsp;P.S.&amp;nbsp;», {{fr}} «&amp;nbsp;G.S.&amp;nbsp;») correspondent au [[Aide:Niveau/Niveau 1|niveau international 1]]
(cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]).

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      <comment>/* Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie */</comment>
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      <text bytes="151808" sha1="6unbtzw0ek2323wm4selj2gr68urh48" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté = biologie
  | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]]
}}
{{Hypothèse
 | titre  = Chiralité prébiotique 2
 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]]
 | image  = {{idfaculté/logo/biologie}}
}}
&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;</text>
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{{Hypothèse
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article acP de 2016 propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. Moi je propose PEP, à voir.</text>
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{{Hypothèse
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent.
*Moi je propose PEP 2017.
*Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal.
*Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 au chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. 
*: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique.
*: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes.
*:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: aas Ala Gly Asp Glu (4). Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe), NH4.
*:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate).</text>
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    <title>Wikiversité:20 ans</title>
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        <username>Eric.LEWIN</username>
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      <text bytes="16253" sha1="rb8tkjzi7v9h978olg90lrmsdjz1eda" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple, &lt;nowiki&gt;{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt; donne :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*::::::Grandiose, merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:38 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

:C'est vrai @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]] que c'est actuellement très franco centré et si un système internationnal existe, autant l'utiliser plutôt que de chercher à mettre en parralèle tous les différents système des pays francophones. Par la suite on peut aussi renvoyer le lecteur vers un tableau d'équivalence qui permettra de traduire les niveaux internationnaux vers les différents niveaux nationnaux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:57 (UTC)
::Ce tableau existe : &quot;[[Wikiversité:Niveaux]]&quot; !!! Et il n'est même pas dans l'ordre alphabétique des pays :-/, :-|. Encore merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:48 (UTC).
:::Faudrait donc rationnaliser tout ça. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 octobre 2026 à 10:30 (UTC)
::::Voilà ! j'ai rajouté dans presque toutes les pages de la [[:Catégorie:Scolarité en France|scolarité française]] des niveaux [[Scolarité_en_France/Maternelle|maternelle]] (!), [[:Catégorie:Scolarité_en_France/Élémentaire|élémentaire]] et [[:Catégorie:Scolarité_en_France/Collège|collège]], plus la [[Scolarité en France/Lycée|page d'intro du lycée général]]), une (courte) mention signalant l'existence de cette internationalisation des niveaux, via le tableau de correspondance, plus le cas échéant, un lien vers la page d'aide du niveau correspondant. Toutefois, il reste encore beaucoup à faire avec toutes les sections de lycée et d'enseignement supérieur… À suivre, pour ma part dans quelque temps. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 14:06 (UTC).

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16634" sha1="knv6i1qrybsna1xxrbhtoinyqsyfpf7" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple, &lt;nowiki&gt;{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt; donne :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*::::::Grandiose, merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:38 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

:C'est vrai @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]] que c'est actuellement très franco centré et si un système internationnal existe, autant l'utiliser plutôt que de chercher à mettre en parralèle tous les différents système des pays francophones. Par la suite on peut aussi renvoyer le lecteur vers un tableau d'équivalence qui permettra de traduire les niveaux internationnaux vers les différents niveaux nationnaux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:57 (UTC)
::Ce tableau existe : &quot;[[Wikiversité:Niveaux]]&quot; !!! Et il n'est même pas dans l'ordre alphabétique des pays :-/, :-|. Encore merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:48 (UTC).
:::Faudrait donc rationnaliser tout ça. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 octobre 2026 à 10:30 (UTC)
::::Voilà ! j'ai rajouté dans presque toutes les pages de la [[:Catégorie:Scolarité en France|scolarité française]] des niveaux [[Scolarité_en_France/Maternelle|maternelle]] (!), [[:Catégorie:Scolarité_en_France/Élémentaire|élémentaire]] et [[:Catégorie:Scolarité_en_France/Collège|collège]], plus la [[Scolarité en France/Lycée|page d'intro du lycée général]]), une (courte) mention signalant l'existence de cette internationalisation des niveaux, via le tableau de correspondance, plus le cas échéant, un lien vers la page d'aide du niveau correspondant. Toutefois, il reste encore beaucoup à faire avec toutes les sections de lycée et d'enseignement supérieur… À suivre, pour ma part dans quelque temps. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 14:06 (UTC).
:::::Merci@[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]  pour ce début. Ça me motive à le lettre au travail. Mais avant ça j'ai du travail su mon voilier. Je serai plus dispo en Novembre avec l'arrivée du froid. Enfin, si il arrive un jour. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 octobre 2026 à 18:35 (UTC)

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>knv6i1qrybsna1xxrbhtoinyqsyfpf7</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987381</id>
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      <timestamp>2026-10-13T18:37:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Portail de scolarités */</comment>
      <origin>987381</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16635" sha1="0pfippjqswq7pbic6hpod3hv7kiuwmk" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple, &lt;nowiki&gt;{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt; donne :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*::::::Grandiose, merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:38 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

:C'est vrai @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]] que c'est actuellement très franco centré et si un système internationnal existe, autant l'utiliser plutôt que de chercher à mettre en parralèle tous les différents système des pays francophones. Par la suite on peut aussi renvoyer le lecteur vers un tableau d'équivalence qui permettra de traduire les niveaux internationnaux vers les différents niveaux nationnaux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:57 (UTC)
::Ce tableau existe : &quot;[[Wikiversité:Niveaux]]&quot; !!! Et il n'est même pas dans l'ordre alphabétique des pays :-/, :-|. Encore merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:48 (UTC).
:::Faudrait donc rationnaliser tout ça. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 octobre 2026 à 10:30 (UTC)
::::Voilà ! j'ai rajouté dans presque toutes les pages de la [[:Catégorie:Scolarité en France|scolarité française]] des niveaux [[Scolarité_en_France/Maternelle|maternelle]] (!), [[:Catégorie:Scolarité_en_France/Élémentaire|élémentaire]] et [[:Catégorie:Scolarité_en_France/Collège|collège]], plus la [[Scolarité en France/Lycée|page d'intro du lycée général]]), une (courte) mention signalant l'existence de cette internationalisation des niveaux, via le tableau de correspondance, plus le cas échéant, un lien vers la page d'aide du niveau correspondant. Toutefois, il reste encore beaucoup à faire avec toutes les sections de lycée et d'enseignement supérieur… À suivre, pour ma part dans quelque temps. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 14:06 (UTC).
:::::Merci@[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]  pour ce début. Ça me motive à me mettre au travail. Mais avant ça je suis occupé sur mon voilier. Je serai plus dispo en Novembre avec l'arrivée du froid. Enfin, si il arrive un jour. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 octobre 2026 à 18:35 (UTC)

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>0pfippjqswq7pbic6hpod3hv7kiuwmk</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987382</id>
      <parentid>987381</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T18:41:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Portail de scolarités */ Réponse</comment>
      <origin>987382</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16952" sha1="l7xglfcefq7wtcmmcizb8ahhkfvct9r" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple, &lt;nowiki&gt;{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt; donne :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*::::::Grandiose, merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:38 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

:C'est vrai @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]] que c'est actuellement très franco centré et si un système internationnal existe, autant l'utiliser plutôt que de chercher à mettre en parralèle tous les différents système des pays francophones. Par la suite on peut aussi renvoyer le lecteur vers un tableau d'équivalence qui permettra de traduire les niveaux internationnaux vers les différents niveaux nationnaux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:57 (UTC)
::Ce tableau existe : &quot;[[Wikiversité:Niveaux]]&quot; !!! Et il n'est même pas dans l'ordre alphabétique des pays :-/, :-|. Encore merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:48 (UTC).
:::Faudrait donc rationnaliser tout ça. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 octobre 2026 à 10:30 (UTC)
::::Voilà ! j'ai rajouté dans presque toutes les pages de la [[:Catégorie:Scolarité en France|scolarité française]] des niveaux [[Scolarité_en_France/Maternelle|maternelle]] (!), [[:Catégorie:Scolarité_en_France/Élémentaire|élémentaire]] et [[:Catégorie:Scolarité_en_France/Collège|collège]], plus la [[Scolarité en France/Lycée|page d'intro du lycée général]]), une (courte) mention signalant l'existence de cette internationalisation des niveaux, via le tableau de correspondance, plus le cas échéant, un lien vers la page d'aide du niveau correspondant. Toutefois, il reste encore beaucoup à faire avec toutes les sections de lycée et d'enseignement supérieur… À suivre, pour ma part dans quelque temps. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 14:06 (UTC).
:::::Merci@[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]  pour ce début. Ça me motive à me mettre au travail. Mais avant ça je suis occupé sur mon voilier. Je serai plus dispo en Novembre avec l'arrivée du froid. Enfin, si il arrive un jour. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 octobre 2026 à 18:35 (UTC)
::::::Si certaines tâches sont répétitives, on peut aussi demander l'aide d'un Bot à @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] Ou @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 octobre 2026 à 18:41 (UTC)

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
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    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie</title>
    <ns>0</ns>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="196991" sha1="58z3pqvkr3mjgf6br3yi0f9byj26fuc" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 12
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;photographié ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» et positionnement de masselottes apparemment identiques &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\;&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur est fixe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;position servant de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{sup}}\;&lt;/math&gt; pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «&lt;math&gt;\;2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle {{Nobr|gradué&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,}} la conséquence de ce choix étant que

{{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, &lt;center&gt;une position d’équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil - bis&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;»}} est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{sup}}\;&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à l'extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{sup}}&lt;/math&gt;, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;/&gt;}} d’un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil - bis&quot; /&gt; par rapport à l’extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» le solide est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;support des fils de torsion&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, le solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, d'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\;&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)&lt;/math&gt; :
* l'action que le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le couple de torsion du fil supérieur étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le couple de torsion du fil inférieur étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule de torsion amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir vue de dessus partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule de torsion amorti suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant non amorti à un degré de liberté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;schématisé ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; du solide en rotation autour de l’axe horizontal &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison pivot du pendule&quot;&gt; Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; a une trajectoire circulaire de centre &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et de rayon «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant repéré, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par son abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;noté «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; mais si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le poids étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Conditions Initiales.&lt;/ref&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrirait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;», la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt; soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir coupe partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; non nul dans un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; il faut, dans un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt;, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, l'équation différentielle &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil ==

{{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et bien sûr d’être capable de le retrouver&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Caractère conservatif du couple de torsion ===

{{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lors d’une torsion élémentaire «&lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\big]\;&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; étant la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; liée à l'angle de torsion algébrisé par «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt; à partir du point d'application &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» C.Q.E.R. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qui Est Réalisé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction &lt;ref&gt; Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de &lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt; ne dépend que de &lt;math&gt;\;\alpha&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, on en déduit le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion&lt;/u&gt;.

=== Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion ===

{{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt; dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; est définie par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;&lt;/math&gt;» soit, en intégrant «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.&lt;/ref&gt; quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. &lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt; d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement ===

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orientée}} par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;&lt;/math&gt; étant le couple de torsion de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion /&gt;, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du pendule au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;J_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; on en déduit &lt;center&gt;l'énergie mécanique du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt;.

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont la photographe est ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt;» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot;&gt; Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot;&gt; Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du fil au point d'attache du solide.&lt;/ref&gt; et
* le couple de torsion du fil inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\; \theta(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «&lt;math&gt;E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du même paragraphe &lt;br&gt;{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la &lt;u&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition d’un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement est donc une &lt;u&gt;ellipse décrite dans le sens horaire&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

== Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme ==

=== Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant ===

{{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» d’où &lt;math&gt;\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « la position d'équilibre stable de ce dernier &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous de ce dernier.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser &lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; avec pour position d'équilibre stable &lt;math&gt;\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : la position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le champ de pesanteur «&lt;math&gt;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;» s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt; 
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;  n'est pas parabolique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais sinusoïdal&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous pouvons affirmer que &lt;u&gt;le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; n'est pas un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;quand il est en situation d'osciller&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

: {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« oscillatoire quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« révolutive quand quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique, la nature « périodique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;oscillatoire ou révolutive&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Les portraits de phase d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt;, diffèrent suivant &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : 

: {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de &lt;/u&gt;{{Nobr|&lt;u&gt;symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus de ce dernier.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti ==

{{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.&lt;/ref&gt;, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, 
* celles qui sont conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dont le travail pendant cette durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* celles qui sont non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; dont le travail pendant cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}d'où «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l’énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;&lt;/math&gt;» dont on déduit «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}en basculant «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dans le membre de gauche et &lt;br&gt;{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;», à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, dans le champ des forces conservatives par «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt;» et le travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; sur cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen&lt;/center&gt;
{{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme des forces de frottement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; :  
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_m\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».

=== Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; 

{{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures non conservatives «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}nous obtenons «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; d'où la définition de l'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; quelconque se réduit à « la nullité, pour tout &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

=== Application au cas d’un solide amorti ===

{{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » &lt;ref&gt; Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même}} minimes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.&lt;/ref&gt; comme les forces de frottement fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt; au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre qu'il est non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot;&gt; En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; ou soit constant mais en aucun cas dépendant de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}à la force extérieure «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre stable du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre que ces forces de frottement est un système non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot; /&gt;, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à son axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;


== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]]
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    <title>Météorites/Objectifs</title>
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      <comment>objectifs pédagogiques</comment>
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      <text bytes="1022" sha1="hq0o3jsi1pzlefszysblivnm3m7fo17" xml:space="preserve">Les objectifs de ce cours sont un parcours relativement basique, de l'intégralité du «&amp;nbsp;monde&amp;nbsp;» des météorites telles qu'elles ont été collectées dans les collections publiques à travers le monde, et étudiées (avec publications) par des scientifiques (''météoritologues''). Elles sont d'une part pour certaines d'entre elles nos meilleurs témoins matériels anciens des premiers âges du Système solaire, voire d'avant, et d'autre part pour les autres, de précieux échantillons de quelques uns des corps astraux du Système solaire actuel.

Nous partirons donc de la description de ces «&amp;nbsp;cailloux&amp;nbsp;» (chapitre 1), découvrirons qu'il en est de deux familles (chapitres 2 et 3). Nous nous interrogerons sur l'histoire de la formation de ces objets depuis leur extraction sur leur «&amp;nbsp;corps parent&amp;nbsp;» jusqu'à leur mise en collection sur Terre (chapitre 4). Enfin, nous dresserons le bilan de ce que nous ont apprises les pierres des deux types (chapitres 5 et 6).

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      <comment>rajout de __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ , effacé par erreur</comment>
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      <text bytes="1052" sha1="tuitle6fa2visyqmuzojy31bgpexbu5" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
Les objectifs de ce cours sont un parcours relativement basique, de l'intégralité du «&amp;nbsp;monde&amp;nbsp;» des météorites telles qu'elles ont été collectées dans les collections publiques à travers le monde, et étudiées (avec publications) par des scientifiques (''météoritologues''). Elles sont d'une part pour certaines d'entre elles nos meilleurs témoins matériels anciens des premiers âges du Système solaire, voire d'avant, et d'autre part pour les autres, de précieux échantillons de quelques uns des corps astraux du Système solaire actuel.

Nous partirons donc de la description de ces «&amp;nbsp;cailloux&amp;nbsp;» (chapitre 1), découvrirons qu'il en est de deux familles (chapitres 2 et 3). Nous nous interrogerons sur l'histoire de la formation de ces objets depuis leur extraction sur leur «&amp;nbsp;corps parent&amp;nbsp;» jusqu'à leur mise en collection sur Terre (chapitre 4). Enfin, nous dresserons le bilan de ce que nous ont apprises les pierres des deux types (chapitres 5 et 6).

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    <title>Météorites/Prérequis conseillés</title>
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      <text bytes="928" sha1="4ubdcwlpfe1rqisjm7q3ml3oll1yi2m" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
Les seuls prérequis de ce cours sont ceux que tout·e étudiant·e doté·e d'un minimum de culture scientifique (celle acquise pour, en France, un diplôme de baccalauréat, niveau international acquis [[Aide:Niveau/Niveau_13|13]]), voire, pour les plus curieuses et les plus curieux, au sujet des choses de la Nature, les premiers rudiments de géologie (acquis pour, en France, le brevet des collèges, soit le niveau international acquis [[Aide:Niveau/Niveau_10|10]]).

Ce cours n'est pas, à la base, le moins du monde technique ; néanmoins, il ne s'interdit pas de recourir à quelques développements plus sophistiqués, sans que le fait de les outre-passer ne soit dommageable pour la poursuite. Au besoin, l'étudiant·e intrigué·e ou gêné·e par cette impasse pourra, nous l'y engageons, contacter, via les pages de discussion ou les contacts ci-dessous, un référent.

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    <title>Météorites/Référents</title>
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* [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;,

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