Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 105 75106 987530 987480 2026-10-20T04:01:29Z JackBot 8020 Robot : Correction des redirections erronées depuis Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam vers la page déplacée cible [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] 987530 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] hwnqekkqgzdhrki5o6quoy521zpankk 0 82502 987537 986075 2026-10-20T08:59:43Z Alain.fabo 73895 /* Remerciements */ j'avais oublié Claude Mariotti 987537 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=pour <math> n=p</math> premier, <math> f_p(x,y)</math> est irréductible dans ℤ}}{{Démonstration déroulante|contenu=<math>f_5(x,1)=1+x+x^2</math> est irréductible dans <math>\Z(x)</math> Soit <math>p</math> premier supérieur à 7. Alors <math>p</math> divise tous les coefficients binomiaux donc <math> f_p(x,1)=x^m+p + pxP(x), \deg(P)=m-2</math> f est donc p-Einsenstein|titre=Démonstration}} == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} === '''xᵖ+yᵖ, p premier''' === On pourra rappeler ici le résultat de Gauss qui relie la somme de puissance, et donc <math>f_p(x^2,y^2)</math> avec les formes quadratiques:{{Propriété|titre=Théorème|contenu=<math>p</math> premier, <math>\quad \dfrac{x^p+y^p}{x+y}=X^2 + (-1)^{\frac{p+1}2} pY^2 \quad \quad \text{: formule de Gauss} </math> Ce qui est équivalent : <math>f_p(u^2,v^2)=\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) </math>}} Le calcul des carrés n'est pas simple<ref name=":5" />.C'est plus simple en faisant un changement de variable '''Exemples:''' <math>\begin{array}{llll} (u+v)^3+(u-v)^3&=2u\left( X^2+3Y^2 \right)& \quad X,Y=u,v\\ (u+v)^5+(u-v)^5&=2u\left( X^2-5Y^2 \right)& \quad X,Y=u^2+5v^2, 2v^2 \\ (u+v)^7+(u-v)^7&= 2u\left(X^2 + 7Y^2\right)& \quad X,Y=u(u^2 + 7 v^2), v(u^2 - v^2)\\ (u + v)^{11} + (u - v)^{11} &= 2 u (X^2+11Y^2)& \quad X,Y=u(u^4 - 22 u^2 v^2 - 11 v^4), v(3 u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \end{array}</math> Nous pouvons observer la régularité suivante: {{Propriété|titre=Proposition|contenu=<math>p</math> premier, <math>\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) </math> Alors <math>v</math> divise toujours <math>Y</math> et <math>u</math> divise X pour <math>p=3[4]</math>}} Par contre, contrairement aux formules (1) et (2), il n'y a pas de régularité sur les facteurs premiers des X ou des Y. C'est ce que nous allons voir dans le chapitre suivant en étudiant les propriétés dans <math>\Z</math> === '''(x+y)ᵖ-(xᵖ+yᵖ)''' === Afin d'être complet, nous rappelons aussi la factorisation de <math>(x+y)^p-(x^p+y^p), p\in \mathbb{P}</math> . C'est apparemment un résultat "classique" en algèbre {{Propriété|titre=Théorème|contenu=<math>p</math> premier plus grand que 5: <math>(x+y)^p-(x^p+y^p)=pRS^kQ(R^2,S^3) </math> où <math>R=xy(x+y)</math> et <math>S=x^2+xy+y^2</math> avec: - <math>k=1</math> si <math>p \equiv -1[6]</math> et <math>k=2</math> si <math>p \equiv 1[6]</math> - <math>Q</math> irréductible}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=La divisibilité par p vient du petit théorème de Fermat. Celle par xy en factorisant le binôme. Celle par x+y vient de la factorisation de <math>x^p+y^p</math> par <math>x+y</math>. Celle par <math>x^2+xy+y^2</math> vient en prenant y=1. On obtient alors le polynôme <math>X^2+X+1</math> qui a pour racine <math>w=e^{2i\pi /3}</math> et <math>w^2</math>. Et qui donne donc la relation <math>1+w=-w^2</math> On vérifie que ces racines ce sont aussi celles de <math>(X+1)^p-(X^p+1)</math>. Pour la multiplicité k, on vérifie sur <math>P'(X)</math> et <math> P''(X)</math> Pour l'irréductibilité de Q, c'est déjà plus compliqué. On peut déjà relever que les racines sont groupées par 6. En effet, on vérifie facilement que si <math>\alpha</math> est racine, alors automatiquement les éléments de l'ensemble <math>\left\{\alpha, \dfrac{1}{\alpha}, -1 - \alpha, -\dfrac{\alpha + 1}{\alpha}; -\dfrac{1}{\alpha + 1}, -\dfrac{\alpha}{\alpha + 1} \right\}</math> sont racines. Ensuite c'est très compliqué et il faut connaître la théorie de Galois pour aller jusqu'à l'irréductibilité de Q}}'''Exemples:''' avec <math>y=1, R=x(x+1),S=x^2+x+1</math> <math>\begin{array}{lll} (x+1)^3-(x^3+1)&= 3x (x + 1)\\ (x+1)^5-(x^5+1)&= 5x (x + 1) (x^2 + x + 1)\\ (x+1)^7-(x^7+1)&=7x (x + 1) (x^2 + x + 1)^2 \\ (x+1)^{11}-(x^{11}+1)&=11x(x+1)(x^{2}+x+1)&(x^{6} + 3 x^{5}+ 7 x^{4} + 9 x^{3} + 7x^2+3x +1) \\ &&(\;(x^2+x+1)^3 + (x(x+1)) ^2\;) \\ &=11RS( R^3+S^2 )\\ (x+1)^{13}-(x^{13}+1)&=13x(x+1)(x^{2}+x+1)^{2}& (x^{6} + 3 x^{5} + 8 x^{4} + 11 x^{3} +\text{sym})\\ &&(\;(x^2+x+1)^3 + 2(x(x+1)) ^2\;)\\ &= 13RS^2(R^3+2S^2) \\ (x+1)^{17}-(x^{17}+1)&=17RS (R^6+5R^3S^2+R^4 )\\ (x+1)^{19}-(x^{19}+1)&=19RS^2 (R^6+7R^3S^2+3R^4 )\\ ... \end{array}</math> == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lllll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{lll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{ll} (u,v)&= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)&=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)&= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)&= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)&=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{llll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> == '''Le grand théorème de Fermat''' == === Une remarque presque anodine === <math>n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' » C'était un "simple" commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains, aucune allusion autre que les les cas <math>n=3</math> et <math>n=4</math>. . Plus aucune trace. Un mystère total. === Rappels historiques === Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''<ref>https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf</ref> , ''Itard''<ref>https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767</ref>, ''Rashed''<ref name=":3">https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html</ref>'','' ''Goldstein''<ref>https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf</ref> , ''Bachmakova''<ref>{{Article|prénom1=Isabelle|nom1=Bachmakova|titre=Diophante et Fermat|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|volume=19|numéro=4|date=1966|issn=0048-7996|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/23905707|consulté le=2026-07-23|pages=289–306}}</ref>. Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat<ref>https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm</ref>, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants: * Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met "au défi" de trouver des entiers tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Il a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube<ref>En effet, on tombe rapidement sur la formule <math>b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3</math>. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube <math>\color{green}c^3=a^3+b^3</math> , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.</ref>. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée "descente infinie". Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis<ref name=":7">On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir: la réécriture du problème <math>x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3</math>, avec <math>(x,y)</math> impairs et donc <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. Et la stabilité par multiplication des nombres <math>u^2+3v^2</math>. Ainsi, en supposant <math>z=a^2+3b^2</math>, on tombe sur <math>u=a(a+3b)(a-3b)</math> et <math>v=b(a+b)(a-b)</math>. Or <math>2u</math> est un cube, donc <math>(2a, a-3b, a+3b)=(r^3,s^3,t^3)</math> avec <math>s^3+t^3=r^3</math>. Puisque ce sont des diviseurs, <math>|r|<|u|<|z|</math>. La descente est amorcée. Au passage, <math>(x,y)</math> pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres "vrais", mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet .'' (cf ''Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf ''Bachmakova'' )</ref>. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.<ref>cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son "''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes"'' Proposition 39.</ref> Et c'est ce résultat qui implique directement le cas <math> n=4</math>. Ainsi, les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math>, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème <math> z^n \neq x^n+y^n</math> n'arrive donc pas d'un seul bloc. * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1638: pour la recherche de nombre premiers, Fermat dit ne ne connaître que le "vulgaire" crible d'Ératosthène<ref>Pour les nombres, je peux trouver par ma méthode toutes les questions des parties aliquotes, mais '''la longueur des opérations me rebute''' et la recherche des nombres premiers, à laquelle toutes ces questions aboutissent. Sur lequel sujet je ne sais point de méthode que la vulgaire, sinon qu'il suffît de faire la division jusques à la plus petite racine quarrée du nombre donné, car si on  n'a point trouvé de  de diviseur jusque là, on n'a garde d'en trouver de plus grands, pouvu que leur quotient seroit moindre que la racine quarrée, ce qui est impossible, par l'expérience qu'on aura déjà faite.</ref>. Et que ça le rebute. * Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car '''les voies ordinaires me lassent''' et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé <math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * Lettre à Roberval d'aout 1640<ref>J'ai démontré ensuite celte proposition, qui sert à l'invention des nombres premiers: : Si un nombre est composé de deux quarrés premiers entre eux, je dis qu'il ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité multiple du quaternaire. (exemple 10 000 000 000+1  ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple de 4, et ainsi, '''lorsque vous voudrez éprouver s'il est nombre premier, il ne faudra point le diviser ni par '5, ni par 7, ni par 11, etc'''</ref> : Il annonce que si un nombre est composé de deux quarrés premiers entre eux, il ne peut pas être divisé par un premier congrus à 3[4]. Et qu'on pourra donc se passer des divisions par 3, 7, 11, ... * Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème pour <math>p</math> premier : <math>\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés<ref>Le théorème est énoncé avant par son contemporain [[w:Albert_Girard#Le_th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s|Albert Girard]] . Mais Fermat n'avait rien lu de lui, d'après sa biographie sur Wikipedia. </ref>. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il quasiment certain que Fermat a continué son travail sur les puissances. Notamment que <math>\frac{ x^p+y^p}{x+y}</math>ne contient que des facteurs premiers congrus à <math>1[2p]</math> === Factorisation === Avant de rentrer dans le cercle de ''Mersenne'', Fermat a lu ''Diophante,'' qui sort en 1621 par la traduction commentée de [[w:Claude-Gaspard_Bachet_de_Méziriac|Bachet de Méziriac]] . Il a probablement aussi déjà lu les ''Notae priores'' de ''François Viète'' sorti en 1631<ref name=":6" />. Il connaît donc: * le développement de <math>(x+y)^n=x^n+nyx^{n-1}+...+nxy^{n-1}+y^n</math> , le fameux binôme de Newton. * le fait que les coeffcients sont tous des multiples de l'exposant lorsque n est premier. * la factorisation <math>x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y + ...+ xy ^{n-2}+y^{n-1})</math> . * les relations coefficient-racines, dites [[w:Relations_entre_coefficients_et_racines|Formules de Viete]] Il a donc pu aller beaucoup plus loin : notamment la factorisation de <math>(x+y)^p-(x^p+y^p)</math> pour p premier, détaillé dans le chapitre "relations algébriques", qu'on rappelle ici par la forme; <math>(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y)</math>, <math>k=1 \text{ pour } p\equiv -1[6], k=2 \text{ pour } p\equiv 1[6]</math> La première question qu'on peut se poser à ce niveau est: perçoit-il une incongruité en subsituant une puissance à <math>x^p+y^p</math> On aurait alors: <math>(x+y)^p-z^p=(x+y-z)P(x,y)</math> L'éclair lui vient-il à au moment d'égaliser les deux formes ? === Nombres premiers === S'il a pu faire des manipulations algébriques sophistiquées, Fermat n'a pas encore vu leur propriétés autour des nombres premiers. On le lit se plaindre du crible d'Ératosthène. C'est vers 1640 qu'il commence à voir des lumières salvatrices, avec la possibilité d'un tamis: utiliser uniquement des facteurs premiers en <math>1[2p]</math> pour factoriser <math>2^p-1</math>, ou des <math>1[4]</math> pour la somme des carrés. S'il fait quelques tables de calcul, il peut rapidement s'apercevoir que les valuations des facteurs premiers sont loin d'être des puissances. On peut en douter, lui qui se dit "paresseux". Éventuellement pour <math>p=5</math>, la table étant très belle, avec des facteurs premiers se terminant tous par le chiffre 1 {{Exemple déroulant|titre=Facteurs premiers de <math>(x^5+y^5)/(x+y)</math> pour<math>(x,y)</math> copremiers :|contenu=<math> \begin{matrix} x~\backslash ~y&1^5&3^5&5^5&7^5&9^5&11^5&13^5&15^5\\ 2{^5}&11&5\times11&11\times41&1871&41\times131&12391&5\times4951&11\times31\times131\\ 4{^5}&5\times41&181&461&1621&4621&5\times2161&11\times11\times181&31\times1291\\ 6{^5}&11\times101&---&991&31\times61&---&9931&71\times281&---\\ 8{^5}&11\times331&3001&11\times251&5\times661&11\times491&101\times101&71\times271&11\times31\times101\\ 10{^5}&9091&11\times701&---&6871&11\times761&31\times401&31\times661&---\\ 12{^5}&19141&---&14821&11\times31\times41&---&71\times251&5\times11\times11\times41&---\\ 14{^5}&5\times71\times101&31\times1021&71\times401&---&25951&5\times5591&11\times3061&41\times1091\\ \end{matrix} </math>}}{{Exemple déroulant|titre=Facteurs premiers de <math>(x^5-y^5)/(x-y)</math> pour<math>(x,y)</math> copremiers:|contenu=<math> \begin{matrix} x~\backslash~y&1^5&3^5&5^5&7^5&9^5&11^5&13^5&15^5\\ 2{^5}&31&211&1031&5\times11\times61&8431&17891&33751&58411\\ 4{^5}&11\times31&11\times71&11\times191&5261&5\times11\times211&22861&41141&71\times971\\ 6{^5}&5\times311&---&4651&11\times821&---&5\times6131&11\times4721&---\\ 8{^5}&31\times151&5\times1301&41\times241&11\times1451&41\times641&61\times701&5\times11\times1231&103801\\ 10{^5}&41\times271&14251&---&11\times2521&31\times1321&61051&11\times8221&---\\ 12{^5}&22621&---&11\times3191&5\times9281&---&41\times2141&151\times811&---\\ 14{^5}&11\times3761&48871&11\times11\times491&---&5\times11\times1741&125591&241\times691&11\times11\times1831\\ \end{matrix} </math>}} Peut-il avoir un déclic pour généraliser les cas <math>n=3,n=4</math> à <math> x^p+y^p \neq z^p </math> ? Ça paraît léger. Avec ça, on postule beaucoup plus large, par exemple <math> x^p+y^p \neq z^r, r>3 </math> . Ce qui est conjecturé encore aujourd'hui. Or Fermat reste "coincé" sur la même puissance. On présume donc qu'il utilise les factorisations dans <math>\Z</math> * <math>x^p+y^p=(x+y)P(x,y)=z^p</math> donne ** <math>(x,y,z)</math> forcés d'avoir des facteurs premiers en <math>1[2p]</math> . ** <math>(x+y, z-x,z-y)=(a^p,b^p,c^p)</math>, soit <math>2z=b^p+c^p-a^p</math> * <math>(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y)</math> donne qu'on se retrouve à gauche avec une différence de puissance, et donc à droite des facteurs premiers en <math>1[2p]</math> sur <math>Q(x,y)</math>. Mais il n'y a pas de régularité sur les <math>Q(x,y)</math>. Leur expression devient compliquée, voir imprédictible, au fur et à mesure que l'exposant grandit. Donc sans vraiment de généralisation possible à toutes les puissances. Un seul motif est commun, à savoir ce <math>x^2+xy+y^2=\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2</math> , dont tous les facteurs premiers sont congrus à <math>1[6]</math>. Mais ça ne les interdit pas d'être aussi congrus à <math>1[2p]</math><ref>"''Chez les premiers, il a toujours un plus petit que soi pour qui ont est quelqu'1. Sauf 5, 17, 257, 65537''". Pour n'importe quel nombre premier p impair, alors il existe un plus petit premier q tel que <math>p\equiv 1[q]</math>. Les seules qui dérogent à cette règle sont les éventuels premiers de la forme <math>2^{2^n}+1</math>. Ce sont les ''nombres de Fermat''. Les 4 premiers sont premiers. Et à ce jours, il est conjecturé que ce sont les seuls.</ref>. Au final, toutes ces contraintes filtrent énormément les éventuels nombres "candidats" qu'il faudrait tester, devenant alors beaucoup trop grands pour un calcul à la main. Mais aucune impossibilité ou absurdité n'apparaît clairement. Tout cela sera reprise et étudié par les plus grands mathématiciens du 18ème siècle. Mais sans aboutir à une généralisation à toutes les puissances. C'est la factorisation dans <math>\C</math> qui va s'en suivre et initier beaucoup de progrès. Mais toujours sans atteindre une preuve générale. Ce qu'on peut relever, c'est que ces nouvelles mathématiques vont rapidement dépasser les connaissances supposées de Fermat. On peut résolument penser qu'il a existé un chemin plus "simple", autre que la factorisation, qui a éveillé son intuition. === Fermat et les carrés === Par les traductions de livre de ''Diophante''<ref>Voir la belle vidéo de Francis Loret sur You tube "''Francis Loret : Le dernier théorème de Fermat"'' partagé par le CIRM</ref>, Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Lui voit apparaître de la structure avec les nombres premiers. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme <math>a^2+b^2</math>, <math>a^2+2b^2</math>, <math>a^2+3b^2</math>. Ainsi que l'équation <math>x^2-ny^2=1</math> <ref name=":4">Des solutions rationnelles de <math>x^2-ny^2=1</math> sont <math>(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q</math>. En effet, en remarquant que l'équation se réécrit <math>(x+1)(x-1)=ny^2</math>, on pose <math>y=m(x+1)</math> et on se retrouve avec uniquement du 1er degré sur <math>x</math>. Par contre, dans <math>\N</math>, c'est une toute autre affaire! Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit <math>n </math></ref>, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations <math>a_ix+b_i=y^2</math> . En algèbre, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier<ref>https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination</ref>. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, et réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''<ref>https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf</ref>. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques<ref>{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}</ref>! Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math> En effet, pour <math> n=3</math>, on <math>(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2</math> Soit une belle formule pour les cubiques <math>(a^2+d)^3=\left(a(a^2-3d) \right)^2+d\left(d-3a^2\right)^2 </math> Or Fermat a travaillé sur <math>x^3=y^2+2</math> et <math>x^3=y^2+4</math>. Pour <math>d=2 </math>, dans <math>\Z </math> on trouve uniquement <math>a=1 </math> et la solution <math>(3,5)</math> Pour <math>d=4 </math>, là encore <math>a=1 </math>, soit la solution <math>(5,11)</math>. Mais on peut aussi considérer <math>d=1, 1-3a^2=\pm 2 </math> qui donne l'autre solution <math>(2,2)</math>. Surtout Fermat dira avoir réussi à prouver <u>par descente</u> que ce sont les seules. Notons qu'il aurait pu citer à ses correspondants <math>x^3=y^2+1</math>, qui donne <math>a=0 </math> , et la (seule) solution <math>(1,0)</math>. Peut-être était-ce moins spectaculaire. Ou qu'il n'a pas réussi à le montrer par descente<ref>C'est en effet une prouesse si on passe par la factorisation <math>y^2=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)</math>. cf [https://math.stackexchange.com/questions/955967/does-an-elementary-solution-exist-to-x21-y3 preuve élémenaire]. Alors que ça prend quelques lignes par <math>x^3=(x+i)(x-i)</math> . Le passage par la formule des carrés est une sorte d'intermédiaire qui donne des solutions (ou pas), mais ne permet pas d'affirmer rigoureusement que ce sont les seules.</ref>. La formule des carré donne également directement la forme servant à la descente pour<math>z^3 \neq x^3+y^3</math> <ref name=":7" />: <math>(u^2+3v^2)^3=\left(u(u^2-9v^2)\right)^2+3\left((v(3v^2-3u^2)\right)^2=\left(u(u-3v)(u+3v)\right)^2+3\left((3v(v-u)(v+u)\right)^2</math> === L'idée de Fermat? === Je ne propose pas ici preuve du Grand théorème, mais plutôt une idée originale que Pierre de Fermat aurait pu avoir en lisant la question du Diophante avec cette formule des carrés dans la tête. Car il faut un déclencheur fort pour générer ce sentiment "admirable", dont on ressent toute la puissance dans le commentaire. Allez, pour cela, retour aux triplets pythagoriciens, puisque c'était la question originelle, à savoir comment partager un carré en 2 carrés, soit <math> z^2=x^2+y^2 </math> . Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>p</math> un premier supérieur ou égal à 5 Dans <math>z^p=x^p+y^p</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^p=(w+x')^p+(w+y')^p</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, '''3 et 5 étant exclus.''' On peut réécrire l'expression sous la forme:<math>z'\cdot f^2 -x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2 = w\cdot(a^2+c^2-e^2)</math> Si pour <math>w \neq 0</math> on arrive à annuler le terme gauche, alors on obtient <math>e^2=a^2+c^2</math> . Soit des triplets pythagoriciens absurdes. En effet, Dans la relation <math>e^2=a^2+c^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>eac</math>. L'idée n'est-elle pas séduisante? Maintenant est-il possible d'en faire quelque chose? Si on peut obtenir des équations avec des carrés, Fermat, le spécialiste, en a-t-il fait quelque chose? Existe-t-il un certain <math>w</math> qui fonctionne<ref>Si on refait les calculs pour n=5, avec <math>(w+(z-w))^5=(w+(x-w))^5+(w+(y-w))^5</math>, on arrive à l'expression <math>wQ(x,y,z,w)=0</math> avec <math>Q(w) = 256w^4 - 640(x+y-z)w^3 + 560(x^2+y^2-z^2)w^2 - 200(x^3+y^3-z^3)w +25(x^4+y^4-z^4)</math> Mais n'arrive pas à annuler <math>Q(x,y,z,w)</math> pour une valeur de <math>w</math> entière. Et le but n'est pas forcément de tout redévelopper, puisqu'on perd la généralité</ref>? Sinon peut-on construire un système d'équation avec plusieurs valeurs de <math>w</math>? Cher lecteur, si tu as des idées, n'hésite pas à te manifester! === Plausibilité historique === Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>p \ge 5</math> , cela ne s'applique pas aux cas <math>n =4</math> car il faut que <math>p</math> soit premier impair. Et pour le cas <math>p =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> restent particuliers. C'étaient les premiers qu'il a prouvés, et ils ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "admirable". - Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier qu'il ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. S'il a réussi à aller au bout de l'idée, n'était-ce juste simplement pas si important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans sa correspondance. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825<ref>En appliquant la même technique que pour le cas <math>n=3</math> : <math>(u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v^2)^2 \right) </math>. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme <math>X^2-5Y^2</math> , stable par multiplication. Ç’aurait pu interpeler Fermat, c'est comme <math>X^2+3Y^2</math> dans le cas <math>n=3</math>. Malheureusement ça ne marche plus aussi simplement car on n'obtient pas une expression factorisée de <math>2u</math>. Voir la démonstration de ''Dirichlet/Legendre'' pour constater les nombreuses difficultés à surmonter.</ref>. Pire, la technique devient quasi inopérante pour les exposants supérieurs<ref name=":5">''Yves Hellegouarch'' dans son livre "''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''", écrit page 38: "''On peut penser que pour les exposants'' ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' <math>X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2</math> . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange] pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.</ref>. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat<ref>Lettre à Frenicle AOUT 164: Mais voici ce que j'admire le plus: c'est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, des-quels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3 5 17 257 65537 4291967297 et le suivant de 20 lettres 18446744073709551617. '''Je n'en ai pas la démonstration exacte''', mais j'ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j'aurois peine de me dédire.</ref>. Par exemple, il n'hésite pas à avouer sa peine pour prouver sa (fausse) conjecture sur la primalité des <math>2^{2^n}+1</math> <ref>Lettre à ''Mersenne'' 23 décembre 1640: J''e languissois dans l'attente de vos lettres et de M. de Frenicle. Je suis bien aise qu'il approuve ce j'ai fait; et afin qu'il ne soit plus en lui doute de ce que je lui demande, voici trois questions que je propose, '''pource que les spéculations que j'y ai faites ne me satisfont pas pleinement''''' ''1° La raison essentielle pourquoi 3, 5, 17, 257, etc. à l'infini, sont toujours nombres premiers;'' ''2° Qu'il me donne quelqu'un de ses autres moyens pour trouver à l'infini des nombres premiers de tels nombres de figures qu'on voudra. '''Sur quoi je voudrois être éclairci si une de mes pensées est vraie''', qu'en la progression d'un nombre pair, comme 6, toutes les puissances +1 de la progression qui ont pour exposant 1,2, 4, 8, 16, etc. sont nombres premiers, si elles ne sont pas mesurées par un de ceux-ci: 5, 17, 267, etc.; laquelle proposition, '''si elle est vraie''', est de très grand usage.'' ''Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car déjà j'ai trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j'aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle.''</ref>. Or pour le Grand Théorème, jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie! === Critique === Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a écrit pour les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> , puis qu'il a complété son commentaire une fois son travail sur les puissances effectué. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît étrange. Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas <math>n = 3</math> ou <math>n = 4</math>, ou <math>n</math> premier. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs<ref>Fermat a déjà fait énormément de mathématiques avant de s'attaquer à l'arithmétique. D'ailleurs dans sa première lettre à Mersen en 1936, il dit: "''Je serai aussi bien aise d'apprendre par votre moyen tous les Traités ou Livres nouveaux de Mathématiques qui ont paru depuis cinq ou six ans.''" Comme s'il avait dû faire une pause de quelques années. On imagine à cause de son métier très prenant.</ref>, que le problème est impossible dans <math>\Q</math> , puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''<u>rationnels</u>'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que <math>x^n+y^n=1</math> n'a pas de solution dans <math>\Q</math>. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans <math>\N</math> ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans <math>\N</math>, avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers qu'il a inventé, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas <math>n = 3</math><ref>Lettre à Carcavi 1659: ... J'ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir '''très grande difficulté''', la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d'éprouver. Telles sont les suivantes : '''Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes''' ...</ref>. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Car il savait que le résultat était vrai. == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles<ref>En logique mathématique, la [[w:Démonstration_élémentaire#La_conjecture_de_Friedman|conjecture de Friedman]] stipule qu'il existerait effectivement une preuve "élémentaire". Ou plus précisément que la preuve de Wiles n'est pas "élémentaire".</ref>? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme<ref name=":6">D'après sa biographie, Fermat a lu les écrits de François Viète par son ami Jean de Beaugrand. les [[w:Notae_priores#Le_bin%C3%B4me_de_Newton|Notae priores]] évoquent déjà les formules du binôme et les factorisations de <math>x^n-y^n</math> . L'édition est datée à 1631</ref>. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes. Dans le cas n impair, la symétrie des termes nous guide. En utilisant ce regroupement, nous avons remarqué des régularités sur les décompositions en facteurs premiers. Et l'apparition de carrés. Ces propriétés générales n'ont probablement pas pu échapper à Fermat. == '''Remerciements''' == Merci à [[Utilisateur:EclairEnZ|Claude Mariotti]] pour son magnifique étude sur Fermat ( [[Recherche:L'énigme de Fermat/Le sublime dans tous ses états|L'énigme de Fermat/Le sublime dans tous ses états]] ) Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment ''elhor_abdelali'' et ''jandri'' pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ''ScratchingTheSurface'' , ''Thomas Andrews'' et ''Mastrem'' pour les démonstrations) Merci à ''Yohann C.'' pour son aide et ses relectures Merci à ''C. Goldstein'' d'avoir pris le temps de lire la partie sur Fermat et de m'avoir indiqué des imprécisions historiques. Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à ''Geogebra'' pour le calcul formel Merci à ''Math-gpt.org'' et ''Mistral'' pour les calculs et les références historiques. Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> tw03rsxxjvmo3b50j4zks0zv1ss4uel 104 86018 987527 987518 2026-10-19T20:05:31Z Mekkiwik 5298 /* Glycolyse */ 987527 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ecocyc de PEP, 883 aas, ΔG=-0.86 Kal/mol *::: * ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4. *::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025. *::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450) *::: * OH-acides : Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). tmyl93ta44iutmgyh761lg66myab7uv 4 87372 987525 987328 2026-10-19T14:38:17Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-43 */ nouvelle section 987525 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|10}}{{Clr}}</noinclude> == Wikidata Sitelink changes in Recent Changes and Watchlist == ''(Apologies for cross-posting in English, translating it will help spread the message)'' Editors on group 1 wikis, including Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage, and Wikisource, will no longer see notifications on [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. This change will begin on '''October 5 at 07:00 UTC''' as a two-week trial to reduce high-volume, low-value notifications and make higher-value changes easier to identify. Editors who rely on these notifications should be aware of the change and can share feedback or concerns on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project]] or [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]].<br/>Please reach out if you have any questions, thank you! -- [[User:Danny_Benjafield_(WMDE)|Danny Benjafield (WMDE)]] ([[User_talk:Danny_Benjafield_(WMDE)|talk]]) sent via [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 1 octobre 2026 à 12:42 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Danny Benjafield (WMDE)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Danny_Benjafield_(WMDE)/MassMessage_test_list&oldid=31106967 --> == Harcèlement par hCaptcha == J'ai un compte sur Wikiversité au nom de Marvoir. Quand je remplis le formulaire pour me connecter, je reçois le message "Une vérification supplémentaire est nécessaire. Veuillez recommencer" (ou quelque chose comme ça). Je remplis donc le même formulaire et maintenant je dois exécuter un hCaptcha. Or ce hCaptcha est impossible à exécuter, parce que l'indication de la tâche à effectuer est mal positionnée et apparaît incomplètement. Je trouve quand même étonnant qualors que j'indique mon pseudo et mon mot de passe, je sois encore obligé d'exécuter des captchas impossibles à exécuter. Marvoir. [[Spécial:Contributions/~2026-52884-74|~2026-52884-74]] ([[Discussion utilisateur:~2026-52884-74|discussion]]) 1 octobre 2026 à 17:37 (UTC) :Bonsoir Marvoir via @[[Utilisateur:~2026-52884-74|~2026-52884-74]] :Ce comportement du site n'est effectivement pas normal. Je n'ai jamais rien eu de la sorte en plus de 15 ans de connexion. Mais je vois que tu as contribué depuis avec ton compte. J'imagine que le problème fut passagé. Reviens vers moi en me notifiant si ça revient et se prolonge, je peux alors laisser un message dans Fabricator pour signaler le bug. :En visitant ton profil utilisateur, j'ai remarqué que tu échanges des messages concernant Wikipédia avec divers contributeurs. C'est inabituel, mais j'imagine que c'est sans doute parce que tu as été bloqué là-bas. J'ai vu juste ? :Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 12 octobre 2026 à 21:31 (UTC) == Des RAW tout frais, à lire sans délai ! == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro d'octobre 2026 ({{numéro|297}}) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-10-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div> </div> '''Contribuer, chacun à sa manière''' Dans une grande partie de la francophonie, l'automne pointe le bout de son nez, et avec lui un nouveau numéro des RAW ! Ce numéro fait la part belle à la contribution sous plusieurs formes : des campagnes de contribution et des ateliers pour améliorer des milliers d'articles sur divers sujets, des discussions communautaires, des élections, des événements, des nouveautés techniques, et même une nouvelle publication francophone ! La contribution peut aussi prendre des formes plus inattendues : pourquoi pas à travers des jeux ? Et pour découvrir plus concrètement ce que signifie contribuer à Wikipédia, nous nous intéresserons au parcours d'un utilisateur fraîchement élu administrateur : Nanoyo88. Par ailleurs, la réflexion sur le changement de titre des RAW avance : les deux propositions favorites sont ''La Wikigazette'' et ''La Gazette de Wikimédia''. N'hésitez pas à [[w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Deuxième tour|donner votre avis]]. Bonne lecture, et surtout, bonnes contributions ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia, des nouveaux outils et des articles de recherche '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">L'Interview</span>''' — Nanoyo88 : de débutant à administrateur, pour une Wikipédia plus accessible '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : n'hésitez pas à suggérer des sujets ou participer à la rédaction du [[w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]] ! [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 octobre 2026 à 22:06 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-41 == <section begin="technews-2026-W41"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Le processus relatif à la liste de souhaits communautaires de cette année [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027#Updated Community Wishlist Process 2027/2028|a été publié]], en tenant compte des commentaires de la communauté. La période de soumission des souhaits [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is the deadline for submitting wishes?|prendra fin le 8 novembre]]. Cette année, [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027/Working group|un groupe de travail (appel à volontariat ouvert)]] composé de membres de la communauté connaissant bien les aspects techniques de nos wikis et de membres du personnel de la Fondation Wikimedia se chargera du [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is triage?|processus de triage]]. Le triage devrait être terminé d'ici la fin novembre. Le vote sur les souhaits débutera en janvier. '''Actualités pour la contribution''' * Les utilisateurs adeptes de l'[[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor|éditeur visuel]] verront maintenant un avertissement lorsqu'ils collent du texte qui a probablement été copié d'une de 5 IA génératives dans Wikipédia. Cette fonctionalité est connue sous le nom de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check|Vérification du collage de LLM]]. C'est un type de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check|Vérification des modifications]] qui est configurable par communauté. La vérification cherche des marques dans l'HTML copié et n'utilise pas de la détection de tatouage numérique (watermark). Les modifications seront aussi [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Edit tags|marquées]] pour que les patrouilleurs puissent les revoir en détail. Cette fonctionalité aide les nouveaux ajouter du contenu qui respecte les règles de Wikipédia et rend l'identification de contributions problèmatiques plus facile pour les utilisateurs expérimentés. Les communautés avec des règles locales sur l'usage de LLM peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Configuration|ajuster la formulation et les règles liées]]. L'équipe s'[[listarchive:list/translators-l@lists.wikimedia.org/message/EVHKWJ4IERZELMPIWNH3XUVUSQV5KOO4/|excuse]] que cette fonctionalité a été poussée sans un délai pour les traductions. * Les utilisateurs peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Future of Editing on the Mobile Apps|accéder facilement à l'éditeur visuel web directement depuis les applications iOS et Android]]. À l'ouverture de l'éditeur, les utilisateurs ont le choix entre l'édition visuelle et l'édition source. S'ils optent pour l'édition visuelle, ils sont redirigés vers une page web mobile dans leur navigateur internet. Une fois la modification terminée, une bannière leur permet de revenir à l'application. Cela permet aux lecteurs d'apporter rapidement des contributions tout en consultant le contenu, et facilite la transition vers la version web mobile. * Les utilisateurs des applications Android et iOS de Wikipédia verront désormais une proposition unique de création d'un compte après avoir utilisé l'application pendant deux semaines consécutives. Cette bannière explique les avantages d'avoir un compte. Il est destiné à aider les lecteurs occasionnels à devenir des utilisateurs connectés qui reviennent régulièrement aux applications. [https://phabricator.wikimedia.org/T434847] * Les contributeurs à des [[wmnoc:conf/dblists/group1.dblist|wikis de groupe 1]] (dont Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage et Wikisource) ne verront plus de notifications dans les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Recent changes|modifications récentes]] et la [[mw:Special:MyLanguage/Help: Watching pages|liste de suivi]] lorsqu'un lien vers une version d'un autre langage d'une page est ajouté, enlevé ou modifié sur Wikidata. Ce changement débutera le 5 octobre à 7h UTC en tant que test de 2 semaines pour réduire les notification à fort volume et de valeur basse ainsi que de rendre les modification importantes plus faciles à voir. Les utilisateurs qui se basent sur ces modifications peuvent en lire plus sur la [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|page du projet]] et partager du retour ou des préoccupations sur la [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|page Discussion]] [https://phabricator.wikimedia.org/T439415] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:36|la tâche soumise|les {{formatnum:36}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:36||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les mentors qui se sont retirés du programme de mentorat pouvaient encore avoir des novices qui leur étaient affectés et recevaient des questions a été résolu. Les novices seront désormais réaffectés quand un mentor quittera le programme. [https://phabricator.wikimedia.org/T418194] '''Actualités pour la contribution technique''' * Wikimédia Brésil a publié son [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Brasil/Arcabouço de Boas Práticas de Desenvolvimento|Framework des Bonnes Pratiques de Développement]]. C'est un guide pour les staff, contracteurs et volontaires qui créent des outils et des projets techniques. Il couvre le cycle de vie du projet, la sécurité, l'accessibilité, la sécurité des données personnelles et l'utilisation responsable de l'IA, et explique comment des règles d'un projet ont été adaptées à un contexte local. D'autres affiliés sont encouragés à le réutiliser et à l'adapter. En lire plus dans le [[wmfblog:2026/09/26/wikimedia-brasils-development-best-practices-framework-technical-sustainability-as-an-organizational-responsibility|post Diff]]. * Une nouvelle base canonique d'URL pour les API Wikimedia sera bientôt introduite. Cette nouvelle route canonique suit le modèle <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{projectName}/api/</nowiki></code></bdi> et servira de voie alternative aux API REST actuelles (par exemple : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{projectName}/w/rest.php/</nowiki></code></bdi>). Les deux versions seront appelées pour toutes les API existantes, mais la nouvelle structure sera le chemin préféré pour les modules API nouvellement créés. Ce changement ne devrait pas casser la plupart des flux de travail. Les URLs existantes resteront disponibles pour toutes les demandes de points finaux existants. Cependant, certains appels peuvent retourner des URL suivant le nouveau modèle dans le corps de la réponse. Les modifications seront d'abord disponibles sur Test Wiki, avec le déploiement prévu pour tous les wikis d'ici la fin octobre. [https://phabricator.wikimedia.org/T433535] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.23|MediaWiki]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W41"/> 5 octobre 2026 à 18:52 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31098825 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-42</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W42"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/42|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * Starting October 13, wikis can change the default pattern for [[:en:Wikipedia:VisualEditor/Named references|auto-generated reference names in VisualEditor]] (currently <syntaxhighlight lang="wikitext" inline><ref name=":1" /></syntaxhighlight>). They will be able to use human-readable, content-based reference names that are more helpful to contributors using the source editor (e.g. <syntaxhighlight lang="wikitext" inline><ref name="Miller2026-1" /></syntaxhighlight>). VisualEditor reference name patterns can be defined using MediaWiki system messages, JSON, templates and modules ([[:mw:Special:MyLanguage/Help:Cite/VisualEditor reference names|more information]]). Admins can enable these changes via [[Special:CommunityConfiguration/Cite-VisualEditor-Autonames|community configuration]]. This is a [[:m:Special:MyLanguage/Community_Wishlist/W17|community wish]] implemented by [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T436255] * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Sub-referencing]] is a new MediaWiki feature that allows editors to reuse references with different details. It will be deployed to English Wikipedia on October 14 and to remaining Wikimedia Foundation wikis by end of October (likely October 21). The [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] lists possible actions to take on your wiki to support the deployment. This is a [[:m:WMDE Technical Wishes/Sub-referencing/History|long-standing community wish]] implemented by [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T440243][https://phabricator.wikimedia.org/T440304] '''Updates for editors''' * [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Moderator Tools]] will be removing the list view of the Watchlist and defaulting everyone to the changelog view. Previously, there were two versions of how the Watchlist is shown to mobile web users: the list view, where editors could see watched articles in a list format, and the changelog view, where editors could see changes to watched articles in a log format, controlled by a user's Advanced Mobile Control settings. This has created issues for code-base maintenance: two different displays means two sets of code to manage. By defaulting to the changelog view, we are simplifying the codebase and avoiding the likelihood of missing bugs. * The Wikipedia Android app is testing a way to listen to article introductions in the “For you” feed. A text-to-speech model reads the existing article text aloud without rewriting it or adding any content. The 30-day experiment will begin in the Wikipedia Beta app during the third week of September, then move to the regular Wikipedia Android app in October for a limited group of eligible users. A small portion of app users (those with English feeds and at least one topic interest) will have access to the feature. This experiment is part of broader efforts to give app readers options in how they consume content in order to deepen engagement and user retention. [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Listening to Wikipedia/Phase 1|Learn more]] and [[mw:Talk:Readers/Listening to Wikipedia|share feedback]]. * [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|CodeMirror syntax highlighting]] was [[phab:T288161|enabled]] by default for all logged out and newly registered users on the English Wikipedia on September 14. With no signs of adverse effects, the same change is being proposed to be made globally across all wikis in a few weeks. If you have concerns or feedback, or if your wiki would like to opt out, [[mw:Special:MyLanguage/Help talk:Extension:CodeMirror#Enabling CodeMirror by default on all WMF wikis for newbies|please see the help page]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T440077] * [[d:Wikidata:Usability_and_usefulness/Item_editing_experience/Mobile_editing_of_statements|Wikidata mobile statement editing]] of all datatypes will be officially launched on October 13, when it will be removed from Wikidata [[d:Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|beta features]] and become available to all editors. Users can [[d:Wikidata_talk:Usability_and_usefulness/Item_editing_experience/Mobile_editing_of_statements|report bugs and share feedback]]. * Last week, language link changes were removed from [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] feeds on Wikivoyage, Wikisource, Wikiversity, Wikiquote and Wiktionary. As no adverse effects have been observed, the [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects|Wikidata For Wikimedia Projects]] plans to roll out this change globally to all Wikipedias. This is scheduled for October 13 at 07:00 UTC, after which editors will no longer see when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. Editors who rely on these notifications can read more on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project page]] and share feedback or ask to opt out their wiki on the [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T440698] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:28}} community-submitted {{PLURAL:28|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where accidentally touching the graph while scrolling on the Pageviews tool on mobile could unintentionally zoom in has now been fixed. Click-and-drag zoom is now disabled on touch devices. [https://phabricator.wikimedia.org/T440075] '''Updates for technical contributors''' * There are three major changes coming to dumps: the legacy content dumps [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/xmldatadumps-l@lists.wikimedia.org/thread/E6D5EU4PMSTSOI2J7A46HJ3YW2W554CS/ deprecated in January 2026] will now be sunset, the replacement [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/MediaWiki_Content_File_Exports MediaWiki Content File Exports] will be delayed to implement a “safety buffer”, and they are now also available as 7zip-compressed files. Users will need to switch the URL they download their dump from. For more information, timeline and migration instructions, see [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/Legacy_content_dumps_sunset Legacy content dumps sunset]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.24|MediaWiki]] '''In depth''' * The Wikimedia Foundation discovered unauthorized activity by OpenAI agents on Wikimedia projects, including edits to wikis, attempts to exploit a public note-taking tool, and heavy automated traffic. [[diffblog:2026/10/05/openai-rogue-agent-activities-found-on-wikimedia-projects/|Read the blog post on Diff]] for more details about the activity and the Foundation’s response. '''Meetings and events''' * Save the date for the next Wikimedia Hackathon! We’ll be meeting in lovely Tirana, Albania for the [https://www.mediawiki.org/wiki/Wikimedia%20Hackathon%202027 2027 Wikimedia Hackathon] from April 9–11, 2027. Scholarship and staff sponsorship applications are currently being [https://pretix.eu/wikimedia/Hackathon-2027/ accepted through Pretix] and will close on October 30, 2026. General registration will open in January 2027. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/42|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W42"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 13 octobre 2026 à 07:40 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31142468 --> == Actualités techniques n° 2026-43 == <section begin="technews-2026-W43"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/43|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Pour mesurer l'impact de l'intégration de certaines [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Image_Browsing#November 2025: Ideas and feedback|fonctionnalités demandées par la communauté]] sur la rétention des lecteurs non connectés, un test pour [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Image_Browsing|carrousel d'images]] sera proposé aux lecteurs non connectés. Avec la fonctionnalité du carrousel d'images, les lecteurs parcourent des images téléchargées par la communauté, sélectionnées par les éditeurs comme pertinentes pour des articles spécifiques. Le test commence le 20 novembre. * Un avis expérimental sera affiché à 0,5 % des lecteurs mobiles déconnectés qui viennent sur Wikipédia en anglais depuis Google, leur demandant d’ajouter Wikipédia en tant que [https://blog.google/products-and-platforms/products/search/preferred-sources/ Source Préférée de Google]. Le test vise à voir si cet avis augmente la fidélisation des lecteurs et encourage les personnes utilisant Google Search à visiter Wikipédia plus souvent. Il se déroulera du 15 au 29 octobre et son impact sur la fidélisation et les recommandations sera évalué. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:26|la tâche soumise|les {{formatnum:26}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:26||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où [[quarry:|Quarry]] renvoyait une erreur « Accès refusé » lorsque les utilisateurs essayaient d’exécuter des requêtes SQL, empêchant le fonctionnement normal des requêtes, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T440966] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Cog-icon-grey.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet technique]] En raison d’un bug de longue date, les applications qui utilisent le flux de credentials client [[mw:Special:MyLanguage/OAuth/For_Developers|OAuth 2]] pour agir au nom de leurs propriétaires sont traitées comme si elles étaient déconnectées. Cela sera corrigé pour les nouvelles applications enregistrées à partir du lundi 19 octobre. Certaines applications concernées devront se réenregistrer. [https://phabricator.wikimedia.org/T420297] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.48/wmf.1|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Une proposition visant à organiser le Hackathon Wikimedia tous les trois ans, avec des hackathons régionaux entre-temps, [[mw:Wikimedia Hackathon/Community Proposal 2026|a été partagée]]. Elle explore comment rendre l'événement plus accessible aux communautés techniques dans différentes régions. Partagez vos avis sur la [[mw:Talk:Wikimedia Hackathon/Community Proposal 2026|page de discussion]] de la proposition avant le 6 novembre. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/43|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W43"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 19 octobre 2026 à 14:38 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31178499 --> rm1qbn3stzxooin7mvl5jg9a1iadmh3 0 87390 987526 987523 2026-10-19T16:42:07Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987526 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 1ajxwj4d8p5o0434ufyk5iomaigb5xb 987528 987526 2026-10-19T22:20:47Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987528 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\Rightarrow</math> {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} kataf235z9e8m03vnltul6rj0pscyo3 987529 987528 2026-10-19T22:38:16Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987529 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} lb2t3mpg6q97h0tzi7x1r93ulwrj9il 987531 987529 2026-10-20T04:29:49Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987531 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec <br>{{Al|5}}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en dynamique newtonienne, }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} j26gilw9uxvjbpxmrr51c2kw4rz8rbg 987532 987531 2026-10-20T04:33:46Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987532 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|5}}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en dynamique newtonienne, }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 5tkv6qyl1prtnl5xk1b48u4y80r8lgq 987533 987532 2026-10-20T05:15:46Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987533 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} dp0narek9wagje5afl57jzxjfmyf5br 987534 987533 2026-10-20T05:52:46Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987534 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} ipq950wv62kgdwi72m0ocam37yys154 987535 987534 2026-10-20T05:54:00Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987535 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} chvkhmbgo9vqy8qtbjp1anyp6yasaa8 987536 987535 2026-10-20T06:04:00Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987536 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} nst9sxp4a98m2pd9yx71hnxatxpy7np 987538 987536 2026-10-20T10:49:10Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987538 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : * dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 8eryncali13nvcp89mz26de8siv89eo