Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 8800 987546 987295 2026-10-21T07:04:53Z Marvoir 1746 /* Vocabulaire */ notation du stabilisateur d'un point + égalité du stabilisateur et du stabilisateur strict d'une partie finie 987546 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | page_liée = Exercices/Action de groupe }} == Définition d'une action == {{Définition | titre = Définition – action à gauche | contenu = Une '''action à gauche''' d'un groupe ''G'' (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble ''X'' est une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que : * Pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ; * Pour tout élément ''s'' de ''X'', <math>1.s=s</math>. }} '''Remarques''' * Pour un élément ''g'' de G et un élément ''s'' de X, on écrit souvent ''gs'' au lieu de ''g''.''s''. On utilise aussi parfois la notation exponentielle <math>\ ^{g}s</math><ref>Voir par exemple N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.</ref>. La relation <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ci-dessus devient alors <math>\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s</math>. * On rappelle que pour un ensemble ''X'', l'ensemble des permutations de ''X'' (c'est-à-dire l'ensemble des bijections de ''X'' sur lui-même), muni de la composition, forme un groupe noté ''S''(''X'') ou <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math> (groupe des permutations de ''X'') ; il a été introduit au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]. Si ''G'' agit sur ''X'', l’application <math>m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s</math> est une bijection dont l'inverse est <math>m_{g^{-1}}</math>. Les propriétés ci-dessus se traduisent : ** <math>\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h</math> ; ** <math>\ m_e=Id_X</math>. Autrement dit, l’application <math>m : G\rightarrow S(X)</math> est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de ''G'' sur ''X''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle ''loi d'opération'' ce qui est appelé ici ''action''. Il donne un sens plus général au mot ''action'' (ib., § 3, {{numéro}}1, p. 23). D. Perrin, ''Cours d'algèbre'', Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.</ref>. Réciproquement, tout morphisme de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math> définit une action du groupe ''G'' sur ''X'' par : <math>g.x=m_g(x)</math>. En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) : {{début cadre|rouge}} :'''Les actions de groupes de ''G'' sur ''X'' sont exactement les morphismes de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math>.''' {{Fin cadre}} Nous dirons indifféremment : « soit ''G'' un groupe agissant sur un ensemble ''X'' », « soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''X'' » et « soit ''X'' un ''G''-ensemble ». Le noyau de l'opération <math>m : G\rightarrow S(X)</math> sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots ''action'' et ''opération'' l'un pour l'autre. * On pourrait être tenté de penser que les opérations d'un groupe G sur un ensemble sont quelque chose d'extérieur au groupe G et ne peuvent donc pas fournir de renseignements sur la structure interne de G, mais ce serait une erreur. (Voir par exemple, dans la suite du cours, le chapitre [[../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) Le lecteur est donc invité à considérer le présent chapitre comme fondamental et à l'étudier attentivement<ref>Daniel Perrin, Cours d'algèbre, 2008, pp. 13-14, attire l'attention sur l'importance des opérations de groupes pour l'étude de la structure interne des groupes.</ref>. == Exemples == (On notera par juxtaposition aussi bien l'action de ''G'' sur ''X'' que la composition dans ''G''.) * Action triviale de ''G'' sur ''X'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''X'' associée à ''g'' est la permutation identique ; autrement dit, ''g''.''x'' = ''x'' pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'' ; l'homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math> est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de <math>\ S_{X}</math>). * ''G'' agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation associée à ''g'' est la translation à gauche <math>L_g:x \mapsto gx</math>, où ''gx'' désigne le produit de ''g'' et de ''x'' dans le groupe ''G'' ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de <math>G \times G</math> dans <math>\ G</math>, est identique à la loi de composition du groupe ''G''. {{Démonstration déroulante|titre=Détails|contenu= L'associativité de la loi du groupe équivaut à : :<math>(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_g\circ L_h</math>. On en déduit en particulier que ''L{{ind|g}}'' est une permutation (de bijection réciproque ''L''{{ind|''g''{{exp|-1}}}}), ce qui permet de définir une application ''L'' de ''G'' dans S(''G'') par : :<math>\forall g \in G \qquad t(g)=t_g</math>. D'après <math>(\star)</math>, ''L'' est un homomorphisme de groupes. }} * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', ''G'' agit par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''G''/''H'' associée à ''g'' est la permutation <math>X \mapsto gX</math>. (Si ''X'' est une classe à gauche ''xH'', ''gX'' en est une aussi, à savoir la classe (''gx'')H de ''gx''.) * Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément ''g'' du groupe ''G'', la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de ''G'' associée à ''g'' est l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>, autrement dit <math>g.x = gxg^{-1}</math>. Il s'agit bien d'une opération du groupe ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''G'', car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'', l’application <math>g \mapsto \mathrm{Int}(g)</math> définit un homomorphisme de ''G'' dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) ''G''. * Si un groupe ''G'' opère sur un ensemble ''X'', si ''H'' est sous-groupe de ''G'', l'opération de ''G'' sur ''X'' induit de façon évidente une opération de ''H'' sur ''X'' : l’application <math>H \times X \rightarrow X</math> est la restriction de l’application <math>G \times X \rightarrow X</math> et l'homomorphisme <math>H \rightarrow S_{X}</math> est la restriction de l'homomorphisme <math>G \rightarrow S_{X}</math>. *Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''X'' agit aussi sur l'ensemble <math>\mathcal P(X)</math> des parties de ''X'', par <math>G\times\mathcal P(X)\to\mathcal P(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math>. == Actions équivalentes == Si ''G'' agit sur deux ensembles ''X'' et ''Y'', une application <math>f:X\rightarrow Y</math> est appelée<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.</ref> un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout ''x'' dans ''X'' et pour tout ''g'' dans ''G'', on a : <div style="text-align: center;"><math>f(g.x)=g.f(x)</math>.</div> Si un homomorphisme ''f'' de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que ''f'' est un isomorphisme de G-ensembles. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira<ref>M. Aschbacher, ''Finite Group Theory'', Cambridge University Press, 2000, p. 9.</ref> que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme <math>\ \sigma </math> de G sur H et une bijection ''f'' de X sur Y tels que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g.x) = \sigma(g).f(x)</math>.</div> On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes<ref>J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 282.</ref>. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que ''f'' et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via ''f'' et σ). On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G). Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs<ref>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 206.</ref>. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ». == Groupes de permutations == Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de <math>\ S_{X}</math>. G opère sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math>; cette opération est appelée '''l'opération naturelle de G sur X'''. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont '''semblables''' si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes. D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x),</math></div> où les points représentent respectivement l'opération naturelle de ''G'' (sur ''X'') et celle de ''H'' (sur ''Y'').<br /> Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f \circ g \circ f^{-1} = \sigma (g).</math></div> On voit que σ est entièrement déterminé par ''f'', donc ''G'' et ''H'' sont semblables si et seulement s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' telle que ''H'' soit l'image de ''G'' par l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''^-1 de S_''X'' sur S_''Y''.<br /> Nous dirons qu'une telle bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' est '''une similitude''' de G vers H. Deux groupes de permutations d'un même ensemble ''X'' sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X. * Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes <math>S_{X} \rightarrow S_{Y} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math>; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.) == Vocabulaire == * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément ''g'' de G '''agit trivialement''' (sur X) si, pour tout élément ''x'' de X, g x = x. Cela revient à dire que ''g'' appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. * Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre. * Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme <math>\ \varphi</math> de G dans <math>\ S_{X}</math> correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations <math>\ \varphi(G)</math>. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes <math>\ G \rightarrow \varphi(G)</math> constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde. * L<nowiki>'</nowiki>'''orbite''' d'un point ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur l’ensemble ''X'' est l’ensemble G.x des éléments ''g''.''x'' où ''g'' parcourt le groupe ''G''. On parle de ''G''-orbite d'un élément de ''X'' si la mention du groupe ''G'' suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes<ref>Si ''x'' et ''y'' sont des éléments de ''X'' tels que <math>Gx\cap Gy\ne\varnothing</math>, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''y = gx''. Alors ''Gy = G''(''gx'') = (''Gg'')''x = Gx''.</ref> ; les orbites partitionnent ''X''. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 184.</ref>. * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection ''g'' de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.) * Si ''g'' est un élément de ''G'' et ''x'' un élément de ''X'', si ''g''.''x''=''x'', on dit que ''g'' '''fixe''' ''x'' ou que ''x'' est un '''point fixe''' de ''g''. Les points fixes de ''g''⁻¹ sont exactement les points fixes de ''g''. (En effet, on passe de l'égalité ''g''(''x'') = ''x'' à l'égalité ''g''⁻¹(''x'') = ''x'' en multipliant les deux membres à gauche par ''g''{{exp|-1}} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par ''g''.) * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection ''f'' de X sur Y et un isomorphisme de groupes <math>\sigma </math> de G sur H. Alors un élément ''g'' de G fixe un élément ''x'' de X pour la première opération si et seulement <math>\sigma (g)</math> fixe f(x) pour la seconde opération. * On dit qu'un élément ''x'' de ''X'' est '''point fixe pour l'opération''' de ''G'' sur ''X'' si ''x'' est fixé par tout élément de ''G''<ref>N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 73.</ref>, ce qui revient à dire que l'orbite de ''x'' est réduite à ''x''. * Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.) Le stabilisateur d'un élément ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur ''X'' est souvent noté <math>G_x</math><ref>Voir par exemple P. Tauvel, ''Algèbre'', 2de édition, Dunod, 2910, p. 64.</ref>, notation qu'il ne faut pas confondre avec G.x, qui désigne l'orbite du point ''x''. * Dans la terminologie de Bourbaki, le ''stabilisateur'' d'une partie Y de X est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit contenu dans Y, le ''stabilisateur strict'' de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit égal à Y et le fixateur de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que, pour tout élément y de Y, on ait gy = y. On vérifie facilement que le stabilisateur strict et le fixateur de Y sont des sous-groupes de G, et que le stabilisateur de Y est un sous-monoïde de G<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre, Chapitres 1 à 3'', réimpr. Springer, 2007, ch. I, § 5, n° 2, déf. 3, p. I.51, prop. 1 et corollaire, p. I.52.</ref>. Si la partie Y est finie, son stabilisateur et son stabilisateur strict sont égaux; en effet, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que g.Y soit contenu dans Y, alors g.Y et Y sont deux ensembles finis équipotents en relation d'inclusion et sont donc égaux (propriété des ensembles finis). * Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre'''<ref>C'est la terminologie de N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64. J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., Springer, 1994, p. 252, et D.J. Robinson, ''A Course in the Theory of Groups'', 2{{e}} éd., Springer, 1996, pp. 31 et 35, appellent ''regular'' une opération ''transitive'' qui est libre au sens de Bourbaki. Autrement dit, une action ''regular'' dans la terminologie de Rotman et de Robinson est, dans la terminologie de Bourbaki, une application simplement transitive (voir plus loin).</ref> lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''. == Relations entre orbite et stabilisateur == * Si ''x'' est un élément donné d'un G-ensemble ''X'', il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application <math>g\mapsto gx</math> induit un isomorphisme de G-ensembles <math>G/Stab(x)\rightarrow O(x)</math>, où <math>O(x)</math> désigne l'orbite de ''x''. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : <math>\vert G/Stab(x) \vert = \vert O(x) \vert</math>. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que <math>\vert G/K \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, <math>\vert G \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. * On montre facilement (voir exercices) que si deux points ''x'', ''y'' de ''X'' appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans ''G'' sont conjugués dans ''G''. (Plus précisément, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}.) Les orbites de ''x'' et de ''y'' sont dites '''de même type''' lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans ''G'' aux stabilisateurs des éléments de l'autre. == Action à droite == (Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.) Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que : :pour tout élément ''x'' de ''X'', <math>1.x=x</math>, mais supposons maintenant que : :pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', <math>g.(h.x)=(hg).x</math>. Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout <math>g \in G</math>, l’application <math>\sigma_{g} : x \mapsto gx</math> de ''X'' dans lui-même est une bijection et que l’application <math>g \mapsto \sigma_{g}</math> est un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de ''X'' muni de la loi de composition <math>f \star g = g \circ f</math>, de sorte que <math>f \star g (x) = g(f(x))</math>.)<br /> Réciproquement, pour tout homomorphisme <math>\lambda</math> de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de ''X'', il existe une et une seule action à droite de ''G'' sur ''X'' telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit <math>\lambda</math>. Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants : # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de ''G'' ; # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto g^{-1}x</math> est une action à gauche relativement au même groupe ''G''. Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'', on préfère placer l'élément (soit ''g'') de ''G'' à droite de l'élément (soit ''x'') de ''X'' et écrire ''xg'' plutôt que ''gx''. La règle ''g(hx) = (hg)x'' prend alors la forme plus élégante ''(xh)g = x(hg)''. Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi <math>x^{g}</math> au lieu de ''gx''; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante. Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble ''X'' le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de ''X''<ref>Voir par exemple P.J. Cameron, ''Permutation groups'', Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of finite groups'', New York, 2004, p. 55.</ref>. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' qui correspondent aux homomorphismes de ''G'' dans le « groupe des permutations » de ''X''. Ces auteurs désignent l'image d'un élément ''x'' par une permutation <math>\alpha</math> en plaçant <math>\alpha</math> à droite de ''x'', c'est-à-dire que là où nous écrivons <math>\alpha(x)</math>, ils écrivent <math>x\alpha</math> ou <math>x^{\alpha}</math>. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) : :<math>x^{\alpha * \beta} = (x^{\alpha})^{\beta}</math>, ce qui rend l'harmonie des notations complète. == Théorème de Cayley == {{Théorème | titre=Théorème de Cayley |contenu={{Wikipédia|Théorème de Cayley}} Soit G un groupe.</br> a) G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Plus précisément, si pour tout élément g de G, on désigne par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G, <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme injectif de G dans <math>S_{G}</math>.</br> b) Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations. }} {{Démonstration | contenu= Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu que <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme de G dans <math>S_{G}</math>. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si ''g'' est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme <math>\ g \mapsto L_{g}</math> est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par <math>\ g \mapsto L_{g}</math>, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première. }} Remarque. Il résulte du théorème de Cayley que si G est un groupe fini d'ordre ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe du groupe <math>S_{n}</math>, ce qu'on exprime encore en disant que G peut être plongé dans <math>S_{n}</math>. Il y a des cas où G peut-être plongé dans un groupe <math>S_{k}</math> où ''k'' est considérablement plus petit que l'ordre de G. Par exemple, si dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Cayley, on prend pour G le groupe symétrique fini <math>S_n</math>, on trouve seulement que <math>S_n</math> peut être plongé dans <math>S_{n!}</math>, alors qu'il peut évidemment être plongé dans lui-même, c'est-à-dire dans <math>S_n</math>, qui est en général considérablement plus petit que <math>S_{n!}</math>. On verra un autre exemple dans le ''théorème de plongement'', qui sera démontré dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]]. {{Théorème |contenu= Soit G un groupe. Pour tout élément ''g'' de G, désignons (comme plus haut) par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu (théorème de Cayley) que les permutations L_g forment un sous-groupe de <math>S_{G}</math> isomorphe à G. Notons L_G ce sous-groupe de <math>S_{G}</math>. Alors tout élément de L_G autre que la permutation identique est une permutation sans point fixe. }} Démonstration. Cela revient à dire que l'action <math>(g, x) \mapsto g x</math> de G sur son ensemble sous-jacent est libre, ce qui est clair.</br> Remarque. Il arrive que, pour démontrer qu'un groupe G possède une certaine propriété transmissible par isomorphisme, il soit plus facile de démontrer que le groupe que nous avons noté L_G possède cette propriété, ce qui entraîne (puisque L_G est isomorphe à G) que G possède lui aussi cette propriété. Remarque. Dans le chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]], nous verrons, dans le cas où G est fini, une autre propriété notable de l'élément L_g pour un élément ''g'' de G - {1}. == Équation aux classes == Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit <math>\Omega</math> l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert </math>,<br /> où <math>\omega </math> parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal. Soit <math>(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite <math>\omega </math>, <math>x_{\omega}</math> appartienne à <math>\omega </math>. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert </math> où <math>orb(x)</math> désigne l'orbite de x.<br /> Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur <math>G_{x}</math> de ce point, donc<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}] </math>. Il revient au même de dire que si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul <math>i \in I</math> tel que <math>x_{i} \in \omega </math>, on a <math>\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}] </math>. En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit <math>(x_{j})_{j \in J}</math> une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}] </math>. L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois<ref>Voir par exemple Jean Delcourt, ''Théorie des groupes'', 2{{e}} éd., Paris, 2007, p. 63.</ref> appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre <math>Z(G)</math> de G et les <math>G_{x_{j}}</math> sont les centralisateurs <math>C_{G}(x_{j})</math> des <math>x_{j}</math>, donc si <math>(x_{j})_{j \in J}</math> est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}] </math>. Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.</ref> ou encore la [[../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|non-trivialité du centre de tout ''p''-groupe fini non trivial]]<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.</ref>. == Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs == Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. Le centralisateur de ''x'', c'est-à-dire le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui commutent avec ''x'', est le stabilisateur de ''x'' pour l'action du groupe ''G'' sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de ''x'' pour cette action est l’ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G''. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. La classe de conjugaison de ''x'' dans G (ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G'') a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du centralisateur de ''x'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de ''x'' dans G divise l'ordre de G. }} Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe ''G'' sur l'ensemble de ses parties {{supra|Exemples}} : <math>G\times\mathcal P(G)\to\mathcal P(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}</math>. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe ''H'' de ''G'' est constituée des sous-groupes de ''G'' de la forme <math>x H x^{-1}</math>, où <math>x</math> parcourt ''G'', appelés les conjugués de ''H'' dans ''G'' (nous les appellerons parfois aussi les ''G''-conjugués de ''H''). Le stabilisateur de ''H'' pour cette action est son normalisateur dans ''G''. Donc, comme précédemment : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. L'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du normalisateur de ''H'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' divise l'ordre de ''G''. }} == Argument de Frattini == {{Théorème | titre = Argument de Frattini (forme générale) | contenu = Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément ''x'' de X, <math>\ G = G_{x} H</math> (où <math>\ G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G). }} {{Démonstration | contenu= Supposons que G opère à droite sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (g, x) \mapsto x^{g}</math>. Soient ''g'' un élément de G et ''x'' un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément ''h'' de H tel que <math>\ x^{g} = x^{h}.</math> Alors <math>\ x^{gh^{-1}} = x</math>, donc <math>\ gh^{-1} \in G_{x}</math>, donc <math>\ g \in G_{x}H.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>\ G = G_{x} H</math>. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA ([[../Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8|Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8]]), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X. }} La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] et [[../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives]]. Dans le chapitre [[../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]], nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} 73wtkhsyku8kkh5ygdywmccis1y01dt 987547 987546 2026-10-21T07:22:43Z Marvoir 1746 /* Vocabulaire */ notation g.Y et équipotence avec Y 987547 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | page_liée = Exercices/Action de groupe }} == Définition d'une action == {{Définition | titre = Définition – action à gauche | contenu = Une '''action à gauche''' d'un groupe ''G'' (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble ''X'' est une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que : * Pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ; * Pour tout élément ''s'' de ''X'', <math>1.s=s</math>. }} '''Remarques''' * Pour un élément ''g'' de G et un élément ''s'' de X, on écrit souvent ''gs'' au lieu de ''g''.''s''. On utilise aussi parfois la notation exponentielle <math>\ ^{g}s</math><ref>Voir par exemple N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.</ref>. La relation <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ci-dessus devient alors <math>\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s</math>. * On rappelle que pour un ensemble ''X'', l'ensemble des permutations de ''X'' (c'est-à-dire l'ensemble des bijections de ''X'' sur lui-même), muni de la composition, forme un groupe noté ''S''(''X'') ou <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math> (groupe des permutations de ''X'') ; il a été introduit au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]. Si ''G'' agit sur ''X'', l’application <math>m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s</math> est une bijection dont l'inverse est <math>m_{g^{-1}}</math>. Les propriétés ci-dessus se traduisent : ** <math>\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h</math> ; ** <math>\ m_e=Id_X</math>. Autrement dit, l’application <math>m : G\rightarrow S(X)</math> est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de ''G'' sur ''X''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle ''loi d'opération'' ce qui est appelé ici ''action''. Il donne un sens plus général au mot ''action'' (ib., § 3, {{numéro}}1, p. 23). D. Perrin, ''Cours d'algèbre'', Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.</ref>. Réciproquement, tout morphisme de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math> définit une action du groupe ''G'' sur ''X'' par : <math>g.x=m_g(x)</math>. En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) : {{début cadre|rouge}} :'''Les actions de groupes de ''G'' sur ''X'' sont exactement les morphismes de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math>.''' {{Fin cadre}} Nous dirons indifféremment : « soit ''G'' un groupe agissant sur un ensemble ''X'' », « soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''X'' » et « soit ''X'' un ''G''-ensemble ». Le noyau de l'opération <math>m : G\rightarrow S(X)</math> sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots ''action'' et ''opération'' l'un pour l'autre. * On pourrait être tenté de penser que les opérations d'un groupe G sur un ensemble sont quelque chose d'extérieur au groupe G et ne peuvent donc pas fournir de renseignements sur la structure interne de G, mais ce serait une erreur. (Voir par exemple, dans la suite du cours, le chapitre [[../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) Le lecteur est donc invité à considérer le présent chapitre comme fondamental et à l'étudier attentivement<ref>Daniel Perrin, Cours d'algèbre, 2008, pp. 13-14, attire l'attention sur l'importance des opérations de groupes pour l'étude de la structure interne des groupes.</ref>. == Exemples == (On notera par juxtaposition aussi bien l'action de ''G'' sur ''X'' que la composition dans ''G''.) * Action triviale de ''G'' sur ''X'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''X'' associée à ''g'' est la permutation identique ; autrement dit, ''g''.''x'' = ''x'' pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'' ; l'homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math> est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de <math>\ S_{X}</math>). * ''G'' agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation associée à ''g'' est la translation à gauche <math>L_g:x \mapsto gx</math>, où ''gx'' désigne le produit de ''g'' et de ''x'' dans le groupe ''G'' ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de <math>G \times G</math> dans <math>\ G</math>, est identique à la loi de composition du groupe ''G''. {{Démonstration déroulante|titre=Détails|contenu= L'associativité de la loi du groupe équivaut à : :<math>(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_g\circ L_h</math>. On en déduit en particulier que ''L{{ind|g}}'' est une permutation (de bijection réciproque ''L''{{ind|''g''{{exp|-1}}}}), ce qui permet de définir une application ''L'' de ''G'' dans S(''G'') par : :<math>\forall g \in G \qquad t(g)=t_g</math>. D'après <math>(\star)</math>, ''L'' est un homomorphisme de groupes. }} * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', ''G'' agit par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''G''/''H'' associée à ''g'' est la permutation <math>X \mapsto gX</math>. (Si ''X'' est une classe à gauche ''xH'', ''gX'' en est une aussi, à savoir la classe (''gx'')H de ''gx''.) * Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément ''g'' du groupe ''G'', la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de ''G'' associée à ''g'' est l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>, autrement dit <math>g.x = gxg^{-1}</math>. Il s'agit bien d'une opération du groupe ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''G'', car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'', l’application <math>g \mapsto \mathrm{Int}(g)</math> définit un homomorphisme de ''G'' dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) ''G''. * Si un groupe ''G'' opère sur un ensemble ''X'', si ''H'' est sous-groupe de ''G'', l'opération de ''G'' sur ''X'' induit de façon évidente une opération de ''H'' sur ''X'' : l’application <math>H \times X \rightarrow X</math> est la restriction de l’application <math>G \times X \rightarrow X</math> et l'homomorphisme <math>H \rightarrow S_{X}</math> est la restriction de l'homomorphisme <math>G \rightarrow S_{X}</math>. *Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''X'' agit aussi sur l'ensemble <math>\mathcal P(X)</math> des parties de ''X'', par <math>G\times\mathcal P(X)\to\mathcal P(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math>. == Actions équivalentes == Si ''G'' agit sur deux ensembles ''X'' et ''Y'', une application <math>f:X\rightarrow Y</math> est appelée<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.</ref> un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout ''x'' dans ''X'' et pour tout ''g'' dans ''G'', on a : <div style="text-align: center;"><math>f(g.x)=g.f(x)</math>.</div> Si un homomorphisme ''f'' de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que ''f'' est un isomorphisme de G-ensembles. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira<ref>M. Aschbacher, ''Finite Group Theory'', Cambridge University Press, 2000, p. 9.</ref> que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme <math>\ \sigma </math> de G sur H et une bijection ''f'' de X sur Y tels que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g.x) = \sigma(g).f(x)</math>.</div> On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes<ref>J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 282.</ref>. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que ''f'' et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via ''f'' et σ). On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G). Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs<ref>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 206.</ref>. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ». == Groupes de permutations == Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de <math>\ S_{X}</math>. G opère sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math>; cette opération est appelée '''l'opération naturelle de G sur X'''. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont '''semblables''' si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes. D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x),</math></div> où les points représentent respectivement l'opération naturelle de ''G'' (sur ''X'') et celle de ''H'' (sur ''Y'').<br /> Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f \circ g \circ f^{-1} = \sigma (g).</math></div> On voit que σ est entièrement déterminé par ''f'', donc ''G'' et ''H'' sont semblables si et seulement s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' telle que ''H'' soit l'image de ''G'' par l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''^-1 de S_''X'' sur S_''Y''.<br /> Nous dirons qu'une telle bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' est '''une similitude''' de G vers H. Deux groupes de permutations d'un même ensemble ''X'' sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X. * Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes <math>S_{X} \rightarrow S_{Y} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math>; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.) == Vocabulaire et notations == * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour une partie Y de X et un élément ''g'' de G, on désigne par ''g.Y'' ou par ''gY'' l'ensemble des élément de X qui sont de la forme g.y avec ''y'' dans Y. L'ensemble ''g.Y'' est équipotent à l'ensemble Y. (En effet, l'application <math>y \mapsto g.y</math> de Y dans g.Y et l'application <math>z \mapsto</math> g{{exp|-1}}.z de g.Y dans Y sont réciproques l'une de l'autre et sont donc des bijections.) * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément ''g'' de G '''agit trivialement''' (sur X) si, pour tout élément ''x'' de X, g x = x. Cela revient à dire que ''g'' appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. * Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre. * Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme <math>\ \varphi</math> de G dans <math>\ S_{X}</math> correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations <math>\ \varphi(G)</math>. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes <math>\ G \rightarrow \varphi(G)</math> constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde. * L<nowiki>'</nowiki>'''orbite''' d'un point ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur l’ensemble ''X'' est l’ensemble G.x des éléments ''g''.''x'' où ''g'' parcourt le groupe ''G''. On parle de ''G''-orbite d'un élément de ''X'' si la mention du groupe ''G'' suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes<ref>Si ''x'' et ''y'' sont des éléments de ''X'' tels que <math>Gx\cap Gy\ne\varnothing</math>, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''y = gx''. Alors ''Gy = G''(''gx'') = (''Gg'')''x = Gx''.</ref> ; les orbites partitionnent ''X''. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 184.</ref>. * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection ''g'' de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.) * Si ''g'' est un élément de ''G'' et ''x'' un élément de ''X'', si ''g''.''x''=''x'', on dit que ''g'' '''fixe''' ''x'' ou que ''x'' est un '''point fixe''' de ''g''. Les points fixes de ''g''⁻¹ sont exactement les points fixes de ''g''. (En effet, on passe de l'égalité ''g''(''x'') = ''x'' à l'égalité ''g''⁻¹(''x'') = ''x'' en multipliant les deux membres à gauche par ''g''{{exp|-1}} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par ''g''.) * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection ''f'' de X sur Y et un isomorphisme de groupes <math>\sigma </math> de G sur H. Alors un élément ''g'' de G fixe un élément ''x'' de X pour la première opération si et seulement <math>\sigma (g)</math> fixe f(x) pour la seconde opération. * On dit qu'un élément ''x'' de ''X'' est '''point fixe pour l'opération''' de ''G'' sur ''X'' si ''x'' est fixé par tout élément de ''G''<ref>N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 73.</ref>, ce qui revient à dire que l'orbite de ''x'' est réduite à ''x''. * Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.) Le stabilisateur d'un élément ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur ''X'' est souvent noté <math>G_x</math><ref>Voir par exemple P. Tauvel, ''Algèbre'', 2de édition, Dunod, 2910, p. 64.</ref>, notation qu'il ne faut pas confondre avec G.x, qui désigne l'orbite du point ''x''. * Dans la terminologie de Bourbaki, le ''stabilisateur'' d'une partie Y de X est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit contenu dans Y, le ''stabilisateur strict'' de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit égal à Y et le fixateur de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que, pour tout élément y de Y, on ait gy = y. On vérifie facilement que le stabilisateur strict et le fixateur de Y sont des sous-groupes de G, et que le stabilisateur de Y est un sous-monoïde de G<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre, Chapitres 1 à 3'', réimpr. Springer, 2007, ch. I, § 5, n° 2, déf. 3, p. I.51, prop. 1 et corollaire, p. I.52.</ref>. Si la partie Y est finie, son stabilisateur et son stabilisateur strict sont égaux; en effet, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que g.Y soit contenu dans Y, alors g.Y et Y sont deux ensembles finis équipotents en relation d'inclusion et sont donc égaux (propriété des ensembles finis). * Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre'''<ref>C'est la terminologie de N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64. J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., Springer, 1994, p. 252, et D.J. Robinson, ''A Course in the Theory of Groups'', 2{{e}} éd., Springer, 1996, pp. 31 et 35, appellent ''regular'' une opération ''transitive'' qui est libre au sens de Bourbaki. Autrement dit, une action ''regular'' dans la terminologie de Rotman et de Robinson est, dans la terminologie de Bourbaki, une application simplement transitive (voir plus loin).</ref> lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''. == Relations entre orbite et stabilisateur == * Si ''x'' est un élément donné d'un G-ensemble ''X'', il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application <math>g\mapsto gx</math> induit un isomorphisme de G-ensembles <math>G/Stab(x)\rightarrow O(x)</math>, où <math>O(x)</math> désigne l'orbite de ''x''. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : <math>\vert G/Stab(x) \vert = \vert O(x) \vert</math>. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que <math>\vert G/K \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, <math>\vert G \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. * On montre facilement (voir exercices) que si deux points ''x'', ''y'' de ''X'' appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans ''G'' sont conjugués dans ''G''. (Plus précisément, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}.) Les orbites de ''x'' et de ''y'' sont dites '''de même type''' lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans ''G'' aux stabilisateurs des éléments de l'autre. == Action à droite == (Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.) Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que : :pour tout élément ''x'' de ''X'', <math>1.x=x</math>, mais supposons maintenant que : :pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', <math>g.(h.x)=(hg).x</math>. Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout <math>g \in G</math>, l’application <math>\sigma_{g} : x \mapsto gx</math> de ''X'' dans lui-même est une bijection et que l’application <math>g \mapsto \sigma_{g}</math> est un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de ''X'' muni de la loi de composition <math>f \star g = g \circ f</math>, de sorte que <math>f \star g (x) = g(f(x))</math>.)<br /> Réciproquement, pour tout homomorphisme <math>\lambda</math> de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de ''X'', il existe une et une seule action à droite de ''G'' sur ''X'' telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit <math>\lambda</math>. Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants : # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de ''G'' ; # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto g^{-1}x</math> est une action à gauche relativement au même groupe ''G''. Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'', on préfère placer l'élément (soit ''g'') de ''G'' à droite de l'élément (soit ''x'') de ''X'' et écrire ''xg'' plutôt que ''gx''. La règle ''g(hx) = (hg)x'' prend alors la forme plus élégante ''(xh)g = x(hg)''. Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi <math>x^{g}</math> au lieu de ''gx''; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante. Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble ''X'' le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de ''X''<ref>Voir par exemple P.J. Cameron, ''Permutation groups'', Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of finite groups'', New York, 2004, p. 55.</ref>. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' qui correspondent aux homomorphismes de ''G'' dans le « groupe des permutations » de ''X''. Ces auteurs désignent l'image d'un élément ''x'' par une permutation <math>\alpha</math> en plaçant <math>\alpha</math> à droite de ''x'', c'est-à-dire que là où nous écrivons <math>\alpha(x)</math>, ils écrivent <math>x\alpha</math> ou <math>x^{\alpha}</math>. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) : :<math>x^{\alpha * \beta} = (x^{\alpha})^{\beta}</math>, ce qui rend l'harmonie des notations complète. == Théorème de Cayley == {{Théorème | titre=Théorème de Cayley |contenu={{Wikipédia|Théorème de Cayley}} Soit G un groupe.</br> a) G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Plus précisément, si pour tout élément g de G, on désigne par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G, <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme injectif de G dans <math>S_{G}</math>.</br> b) Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations. }} {{Démonstration | contenu= Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu que <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme de G dans <math>S_{G}</math>. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si ''g'' est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme <math>\ g \mapsto L_{g}</math> est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par <math>\ g \mapsto L_{g}</math>, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première. }} Remarque. Il résulte du théorème de Cayley que si G est un groupe fini d'ordre ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe du groupe <math>S_{n}</math>, ce qu'on exprime encore en disant que G peut être plongé dans <math>S_{n}</math>. Il y a des cas où G peut-être plongé dans un groupe <math>S_{k}</math> où ''k'' est considérablement plus petit que l'ordre de G. Par exemple, si dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Cayley, on prend pour G le groupe symétrique fini <math>S_n</math>, on trouve seulement que <math>S_n</math> peut être plongé dans <math>S_{n!}</math>, alors qu'il peut évidemment être plongé dans lui-même, c'est-à-dire dans <math>S_n</math>, qui est en général considérablement plus petit que <math>S_{n!}</math>. On verra un autre exemple dans le ''théorème de plongement'', qui sera démontré dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]]. {{Théorème |contenu= Soit G un groupe. Pour tout élément ''g'' de G, désignons (comme plus haut) par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu (théorème de Cayley) que les permutations L_g forment un sous-groupe de <math>S_{G}</math> isomorphe à G. Notons L_G ce sous-groupe de <math>S_{G}</math>. Alors tout élément de L_G autre que la permutation identique est une permutation sans point fixe. }} Démonstration. Cela revient à dire que l'action <math>(g, x) \mapsto g x</math> de G sur son ensemble sous-jacent est libre, ce qui est clair.</br> Remarque. Il arrive que, pour démontrer qu'un groupe G possède une certaine propriété transmissible par isomorphisme, il soit plus facile de démontrer que le groupe que nous avons noté L_G possède cette propriété, ce qui entraîne (puisque L_G est isomorphe à G) que G possède lui aussi cette propriété. Remarque. Dans le chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]], nous verrons, dans le cas où G est fini, une autre propriété notable de l'élément L_g pour un élément ''g'' de G - {1}. == Équation aux classes == Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit <math>\Omega</math> l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert </math>,<br /> où <math>\omega </math> parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal. Soit <math>(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite <math>\omega </math>, <math>x_{\omega}</math> appartienne à <math>\omega </math>. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert </math> où <math>orb(x)</math> désigne l'orbite de x.<br /> Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur <math>G_{x}</math> de ce point, donc<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}] </math>. Il revient au même de dire que si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul <math>i \in I</math> tel que <math>x_{i} \in \omega </math>, on a <math>\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}] </math>. En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit <math>(x_{j})_{j \in J}</math> une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}] </math>. L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois<ref>Voir par exemple Jean Delcourt, ''Théorie des groupes'', 2{{e}} éd., Paris, 2007, p. 63.</ref> appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre <math>Z(G)</math> de G et les <math>G_{x_{j}}</math> sont les centralisateurs <math>C_{G}(x_{j})</math> des <math>x_{j}</math>, donc si <math>(x_{j})_{j \in J}</math> est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}] </math>. Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.</ref> ou encore la [[../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|non-trivialité du centre de tout ''p''-groupe fini non trivial]]<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.</ref>. == Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs == Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. Le centralisateur de ''x'', c'est-à-dire le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui commutent avec ''x'', est le stabilisateur de ''x'' pour l'action du groupe ''G'' sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de ''x'' pour cette action est l’ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G''. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. La classe de conjugaison de ''x'' dans G (ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G'') a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du centralisateur de ''x'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de ''x'' dans G divise l'ordre de G. }} Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe ''G'' sur l'ensemble de ses parties {{supra|Exemples}} : <math>G\times\mathcal P(G)\to\mathcal P(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}</math>. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe ''H'' de ''G'' est constituée des sous-groupes de ''G'' de la forme <math>x H x^{-1}</math>, où <math>x</math> parcourt ''G'', appelés les conjugués de ''H'' dans ''G'' (nous les appellerons parfois aussi les ''G''-conjugués de ''H''). Le stabilisateur de ''H'' pour cette action est son normalisateur dans ''G''. Donc, comme précédemment : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. L'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du normalisateur de ''H'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' divise l'ordre de ''G''. }} == Argument de Frattini == {{Théorème | titre = Argument de Frattini (forme générale) | contenu = Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément ''x'' de X, <math>\ G = G_{x} H</math> (où <math>\ G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G). }} {{Démonstration | contenu= Supposons que G opère à droite sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (g, x) \mapsto x^{g}</math>. Soient ''g'' un élément de G et ''x'' un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément ''h'' de H tel que <math>\ x^{g} = x^{h}.</math> Alors <math>\ x^{gh^{-1}} = x</math>, donc <math>\ gh^{-1} \in G_{x}</math>, donc <math>\ g \in G_{x}H.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>\ G = G_{x} H</math>. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA ([[../Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8|Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8]]), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X. }} La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] et [[../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives]]. Dans le chapitre [[../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]], nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} jusuxhlmilrsscrmh4ufw6npzoboojg 987548 987547 2026-10-21T07:35:36Z Marvoir 1746 /* Vocabulaire et notations */ Autre notation du stabilisateur d'un point (je ne sais pas si cette notation est en usage ailleurs qu'ici...) 987548 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | page_liée = Exercices/Action de groupe }} == Définition d'une action == {{Définition | titre = Définition – action à gauche | contenu = Une '''action à gauche''' d'un groupe ''G'' (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble ''X'' est une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que : * Pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ; * Pour tout élément ''s'' de ''X'', <math>1.s=s</math>. }} '''Remarques''' * Pour un élément ''g'' de G et un élément ''s'' de X, on écrit souvent ''gs'' au lieu de ''g''.''s''. On utilise aussi parfois la notation exponentielle <math>\ ^{g}s</math><ref>Voir par exemple N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.</ref>. La relation <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ci-dessus devient alors <math>\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s</math>. * On rappelle que pour un ensemble ''X'', l'ensemble des permutations de ''X'' (c'est-à-dire l'ensemble des bijections de ''X'' sur lui-même), muni de la composition, forme un groupe noté ''S''(''X'') ou <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math> (groupe des permutations de ''X'') ; il a été introduit au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]. Si ''G'' agit sur ''X'', l’application <math>m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s</math> est une bijection dont l'inverse est <math>m_{g^{-1}}</math>. Les propriétés ci-dessus se traduisent : ** <math>\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h</math> ; ** <math>\ m_e=Id_X</math>. Autrement dit, l’application <math>m : G\rightarrow S(X)</math> est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de ''G'' sur ''X''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle ''loi d'opération'' ce qui est appelé ici ''action''. Il donne un sens plus général au mot ''action'' (ib., § 3, {{numéro}}1, p. 23). D. Perrin, ''Cours d'algèbre'', Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.</ref>. Réciproquement, tout morphisme de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math> définit une action du groupe ''G'' sur ''X'' par : <math>g.x=m_g(x)</math>. En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) : {{début cadre|rouge}} :'''Les actions de groupes de ''G'' sur ''X'' sont exactement les morphismes de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math>.''' {{Fin cadre}} Nous dirons indifféremment : « soit ''G'' un groupe agissant sur un ensemble ''X'' », « soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''X'' » et « soit ''X'' un ''G''-ensemble ». Le noyau de l'opération <math>m : G\rightarrow S(X)</math> sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots ''action'' et ''opération'' l'un pour l'autre. * On pourrait être tenté de penser que les opérations d'un groupe G sur un ensemble sont quelque chose d'extérieur au groupe G et ne peuvent donc pas fournir de renseignements sur la structure interne de G, mais ce serait une erreur. (Voir par exemple, dans la suite du cours, le chapitre [[../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) Le lecteur est donc invité à considérer le présent chapitre comme fondamental et à l'étudier attentivement<ref>Daniel Perrin, Cours d'algèbre, 2008, pp. 13-14, attire l'attention sur l'importance des opérations de groupes pour l'étude de la structure interne des groupes.</ref>. == Exemples == (On notera par juxtaposition aussi bien l'action de ''G'' sur ''X'' que la composition dans ''G''.) * Action triviale de ''G'' sur ''X'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''X'' associée à ''g'' est la permutation identique ; autrement dit, ''g''.''x'' = ''x'' pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'' ; l'homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math> est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de <math>\ S_{X}</math>). * ''G'' agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation associée à ''g'' est la translation à gauche <math>L_g:x \mapsto gx</math>, où ''gx'' désigne le produit de ''g'' et de ''x'' dans le groupe ''G'' ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de <math>G \times G</math> dans <math>\ G</math>, est identique à la loi de composition du groupe ''G''. {{Démonstration déroulante|titre=Détails|contenu= L'associativité de la loi du groupe équivaut à : :<math>(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_g\circ L_h</math>. On en déduit en particulier que ''L{{ind|g}}'' est une permutation (de bijection réciproque ''L''{{ind|''g''{{exp|-1}}}}), ce qui permet de définir une application ''L'' de ''G'' dans S(''G'') par : :<math>\forall g \in G \qquad t(g)=t_g</math>. D'après <math>(\star)</math>, ''L'' est un homomorphisme de groupes. }} * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', ''G'' agit par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''G''/''H'' associée à ''g'' est la permutation <math>X \mapsto gX</math>. (Si ''X'' est une classe à gauche ''xH'', ''gX'' en est une aussi, à savoir la classe (''gx'')H de ''gx''.) * Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément ''g'' du groupe ''G'', la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de ''G'' associée à ''g'' est l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>, autrement dit <math>g.x = gxg^{-1}</math>. Il s'agit bien d'une opération du groupe ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''G'', car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'', l’application <math>g \mapsto \mathrm{Int}(g)</math> définit un homomorphisme de ''G'' dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) ''G''. * Si un groupe ''G'' opère sur un ensemble ''X'', si ''H'' est sous-groupe de ''G'', l'opération de ''G'' sur ''X'' induit de façon évidente une opération de ''H'' sur ''X'' : l’application <math>H \times X \rightarrow X</math> est la restriction de l’application <math>G \times X \rightarrow X</math> et l'homomorphisme <math>H \rightarrow S_{X}</math> est la restriction de l'homomorphisme <math>G \rightarrow S_{X}</math>. *Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''X'' agit aussi sur l'ensemble <math>\mathcal P(X)</math> des parties de ''X'', par <math>G\times\mathcal P(X)\to\mathcal P(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math>. == Actions équivalentes == Si ''G'' agit sur deux ensembles ''X'' et ''Y'', une application <math>f:X\rightarrow Y</math> est appelée<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.</ref> un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout ''x'' dans ''X'' et pour tout ''g'' dans ''G'', on a : <div style="text-align: center;"><math>f(g.x)=g.f(x)</math>.</div> Si un homomorphisme ''f'' de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que ''f'' est un isomorphisme de G-ensembles. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira<ref>M. Aschbacher, ''Finite Group Theory'', Cambridge University Press, 2000, p. 9.</ref> que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme <math>\ \sigma </math> de G sur H et une bijection ''f'' de X sur Y tels que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g.x) = \sigma(g).f(x)</math>.</div> On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes<ref>J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 282.</ref>. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que ''f'' et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via ''f'' et σ). On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G). Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs<ref>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 206.</ref>. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ». == Groupes de permutations == Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de <math>\ S_{X}</math>. G opère sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math>; cette opération est appelée '''l'opération naturelle de G sur X'''. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont '''semblables''' si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes. D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x),</math></div> où les points représentent respectivement l'opération naturelle de ''G'' (sur ''X'') et celle de ''H'' (sur ''Y'').<br /> Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f \circ g \circ f^{-1} = \sigma (g).</math></div> On voit que σ est entièrement déterminé par ''f'', donc ''G'' et ''H'' sont semblables si et seulement s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' telle que ''H'' soit l'image de ''G'' par l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''^-1 de S_''X'' sur S_''Y''.<br /> Nous dirons qu'une telle bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' est '''une similitude''' de G vers H. Deux groupes de permutations d'un même ensemble ''X'' sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X. * Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes <math>S_{X} \rightarrow S_{Y} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math>; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.) == Vocabulaire et notations == * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour une partie Y de X et un élément ''g'' de G, on désigne par ''g.Y'' ou par ''gY'' l'ensemble des élément de X qui sont de la forme g.y avec ''y'' dans Y. L'ensemble ''g.Y'' est équipotent à l'ensemble Y. (En effet, l'application <math>y \mapsto g.y</math> de Y dans g.Y et l'application <math>z \mapsto</math> g{{exp|-1}}.z de g.Y dans Y sont réciproques l'une de l'autre et sont donc des bijections.) * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément ''g'' de G '''agit trivialement''' (sur X) si, pour tout élément ''x'' de X, g x = x. Cela revient à dire que ''g'' appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. * Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre. * Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme <math>\ \varphi</math> de G dans <math>\ S_{X}</math> correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations <math>\ \varphi(G)</math>. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes <math>\ G \rightarrow \varphi(G)</math> constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde. * L<nowiki>'</nowiki>'''orbite''' d'un point ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur l’ensemble ''X'' est l’ensemble G.x des éléments ''g''.''x'' où ''g'' parcourt le groupe ''G''. On parle de ''G''-orbite d'un élément de ''X'' si la mention du groupe ''G'' suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes<ref>Si ''x'' et ''y'' sont des éléments de ''X'' tels que <math>Gx\cap Gy\ne\varnothing</math>, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''y = gx''. Alors ''Gy = G''(''gx'') = (''Gg'')''x = Gx''.</ref> ; les orbites partitionnent ''X''. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 184.</ref>. * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection ''g'' de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.) * Si ''g'' est un élément de ''G'' et ''x'' un élément de ''X'', si ''g''.''x''=''x'', on dit que ''g'' '''fixe''' ''x'' ou que ''x'' est un '''point fixe''' de ''g''. Les points fixes de ''g''⁻¹ sont exactement les points fixes de ''g''. (En effet, on passe de l'égalité ''g''(''x'') = ''x'' à l'égalité ''g''⁻¹(''x'') = ''x'' en multipliant les deux membres à gauche par ''g''{{exp|-1}} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par ''g''.) * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection ''f'' de X sur Y et un isomorphisme de groupes <math>\sigma </math> de G sur H. Alors un élément ''g'' de G fixe un élément ''x'' de X pour la première opération si et seulement <math>\sigma (g)</math> fixe f(x) pour la seconde opération. * On dit qu'un élément ''x'' de ''X'' est '''point fixe pour l'opération''' de ''G'' sur ''X'' si ''x'' est fixé par tout élément de ''G''<ref>N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 73.</ref>, ce qui revient à dire que l'orbite de ''x'' est réduite à ''x''. * Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.) Le stabilisateur d'un élément ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur ''X'' est souvent noté <math>G_x</math><ref>Voir par exemple P. Tauvel, ''Algèbre'', 2de édition, Dunod, 2910, p. 64.</ref>, notation qu'il ne faut pas confondre avec G.x, qui désigne l'orbite du point ''x''. Il nous arrivera aussi de désigner le stabilisateur de ''x'' par Stab(x). * Dans la terminologie de Bourbaki, le ''stabilisateur'' d'une partie Y de X est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit contenu dans Y, le ''stabilisateur strict'' de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit égal à Y et le fixateur de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que, pour tout élément y de Y, on ait gy = y. On vérifie facilement que le stabilisateur strict et le fixateur de Y sont des sous-groupes de G, et que le stabilisateur de Y est un sous-monoïde de G<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre, Chapitres 1 à 3'', réimpr. Springer, 2007, ch. I, § 5, n° 2, déf. 3, p. I.51, prop. 1 et corollaire, p. I.52.</ref>. Si la partie Y est finie, son stabilisateur et son stabilisateur strict sont égaux; en effet, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que g.Y soit contenu dans Y, alors g.Y et Y sont deux ensembles finis équipotents en relation d'inclusion et sont donc égaux (propriété des ensembles finis). * Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre'''<ref>C'est la terminologie de N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64. J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., Springer, 1994, p. 252, et D.J. Robinson, ''A Course in the Theory of Groups'', 2{{e}} éd., Springer, 1996, pp. 31 et 35, appellent ''regular'' une opération ''transitive'' qui est libre au sens de Bourbaki. Autrement dit, une action ''regular'' dans la terminologie de Rotman et de Robinson est, dans la terminologie de Bourbaki, une application simplement transitive (voir plus loin).</ref> lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''. == Relations entre orbite et stabilisateur == * Si ''x'' est un élément donné d'un G-ensemble ''X'', il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application <math>g\mapsto gx</math> induit un isomorphisme de G-ensembles <math>G/Stab(x)\rightarrow O(x)</math>, où <math>O(x)</math> désigne l'orbite de ''x''. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : <math>\vert G/Stab(x) \vert = \vert O(x) \vert</math>. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que <math>\vert G/K \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, <math>\vert G \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. * On montre facilement (voir exercices) que si deux points ''x'', ''y'' de ''X'' appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans ''G'' sont conjugués dans ''G''. (Plus précisément, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}.) Les orbites de ''x'' et de ''y'' sont dites '''de même type''' lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans ''G'' aux stabilisateurs des éléments de l'autre. == Action à droite == (Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.) Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que : :pour tout élément ''x'' de ''X'', <math>1.x=x</math>, mais supposons maintenant que : :pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', <math>g.(h.x)=(hg).x</math>. Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout <math>g \in G</math>, l’application <math>\sigma_{g} : x \mapsto gx</math> de ''X'' dans lui-même est une bijection et que l’application <math>g \mapsto \sigma_{g}</math> est un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de ''X'' muni de la loi de composition <math>f \star g = g \circ f</math>, de sorte que <math>f \star g (x) = g(f(x))</math>.)<br /> Réciproquement, pour tout homomorphisme <math>\lambda</math> de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de ''X'', il existe une et une seule action à droite de ''G'' sur ''X'' telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit <math>\lambda</math>. Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants : # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de ''G'' ; # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto g^{-1}x</math> est une action à gauche relativement au même groupe ''G''. Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'', on préfère placer l'élément (soit ''g'') de ''G'' à droite de l'élément (soit ''x'') de ''X'' et écrire ''xg'' plutôt que ''gx''. La règle ''g(hx) = (hg)x'' prend alors la forme plus élégante ''(xh)g = x(hg)''. Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi <math>x^{g}</math> au lieu de ''gx''; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante. Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble ''X'' le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de ''X''<ref>Voir par exemple P.J. Cameron, ''Permutation groups'', Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of finite groups'', New York, 2004, p. 55.</ref>. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' qui correspondent aux homomorphismes de ''G'' dans le « groupe des permutations » de ''X''. Ces auteurs désignent l'image d'un élément ''x'' par une permutation <math>\alpha</math> en plaçant <math>\alpha</math> à droite de ''x'', c'est-à-dire que là où nous écrivons <math>\alpha(x)</math>, ils écrivent <math>x\alpha</math> ou <math>x^{\alpha}</math>. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) : :<math>x^{\alpha * \beta} = (x^{\alpha})^{\beta}</math>, ce qui rend l'harmonie des notations complète. == Théorème de Cayley == {{Théorème | titre=Théorème de Cayley |contenu={{Wikipédia|Théorème de Cayley}} Soit G un groupe.</br> a) G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Plus précisément, si pour tout élément g de G, on désigne par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G, <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme injectif de G dans <math>S_{G}</math>.</br> b) Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations. }} {{Démonstration | contenu= Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu que <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme de G dans <math>S_{G}</math>. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si ''g'' est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme <math>\ g \mapsto L_{g}</math> est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par <math>\ g \mapsto L_{g}</math>, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première. }} Remarque. Il résulte du théorème de Cayley que si G est un groupe fini d'ordre ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe du groupe <math>S_{n}</math>, ce qu'on exprime encore en disant que G peut être plongé dans <math>S_{n}</math>. Il y a des cas où G peut-être plongé dans un groupe <math>S_{k}</math> où ''k'' est considérablement plus petit que l'ordre de G. Par exemple, si dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Cayley, on prend pour G le groupe symétrique fini <math>S_n</math>, on trouve seulement que <math>S_n</math> peut être plongé dans <math>S_{n!}</math>, alors qu'il peut évidemment être plongé dans lui-même, c'est-à-dire dans <math>S_n</math>, qui est en général considérablement plus petit que <math>S_{n!}</math>. On verra un autre exemple dans le ''théorème de plongement'', qui sera démontré dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]]. {{Théorème |contenu= Soit G un groupe. Pour tout élément ''g'' de G, désignons (comme plus haut) par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu (théorème de Cayley) que les permutations L_g forment un sous-groupe de <math>S_{G}</math> isomorphe à G. Notons L_G ce sous-groupe de <math>S_{G}</math>. Alors tout élément de L_G autre que la permutation identique est une permutation sans point fixe. }} Démonstration. Cela revient à dire que l'action <math>(g, x) \mapsto g x</math> de G sur son ensemble sous-jacent est libre, ce qui est clair.</br> Remarque. Il arrive que, pour démontrer qu'un groupe G possède une certaine propriété transmissible par isomorphisme, il soit plus facile de démontrer que le groupe que nous avons noté L_G possède cette propriété, ce qui entraîne (puisque L_G est isomorphe à G) que G possède lui aussi cette propriété. Remarque. Dans le chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]], nous verrons, dans le cas où G est fini, une autre propriété notable de l'élément L_g pour un élément ''g'' de G - {1}. == Équation aux classes == Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit <math>\Omega</math> l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert </math>,<br /> où <math>\omega </math> parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal. Soit <math>(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite <math>\omega </math>, <math>x_{\omega}</math> appartienne à <math>\omega </math>. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert </math> où <math>orb(x)</math> désigne l'orbite de x.<br /> Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur <math>G_{x}</math> de ce point, donc<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}] </math>. Il revient au même de dire que si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul <math>i \in I</math> tel que <math>x_{i} \in \omega </math>, on a <math>\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}] </math>. En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit <math>(x_{j})_{j \in J}</math> une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}] </math>. L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois<ref>Voir par exemple Jean Delcourt, ''Théorie des groupes'', 2{{e}} éd., Paris, 2007, p. 63.</ref> appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre <math>Z(G)</math> de G et les <math>G_{x_{j}}</math> sont les centralisateurs <math>C_{G}(x_{j})</math> des <math>x_{j}</math>, donc si <math>(x_{j})_{j \in J}</math> est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}] </math>. Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.</ref> ou encore la [[../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|non-trivialité du centre de tout ''p''-groupe fini non trivial]]<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.</ref>. == Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs == Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. Le centralisateur de ''x'', c'est-à-dire le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui commutent avec ''x'', est le stabilisateur de ''x'' pour l'action du groupe ''G'' sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de ''x'' pour cette action est l’ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G''. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. La classe de conjugaison de ''x'' dans G (ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G'') a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du centralisateur de ''x'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de ''x'' dans G divise l'ordre de G. }} Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe ''G'' sur l'ensemble de ses parties {{supra|Exemples}} : <math>G\times\mathcal P(G)\to\mathcal P(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}</math>. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe ''H'' de ''G'' est constituée des sous-groupes de ''G'' de la forme <math>x H x^{-1}</math>, où <math>x</math> parcourt ''G'', appelés les conjugués de ''H'' dans ''G'' (nous les appellerons parfois aussi les ''G''-conjugués de ''H''). Le stabilisateur de ''H'' pour cette action est son normalisateur dans ''G''. Donc, comme précédemment : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. L'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du normalisateur de ''H'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' divise l'ordre de ''G''. }} == Argument de Frattini == {{Théorème | titre = Argument de Frattini (forme générale) | contenu = Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément ''x'' de X, <math>\ G = G_{x} H</math> (où <math>\ G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G). }} {{Démonstration | contenu= Supposons que G opère à droite sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (g, x) \mapsto x^{g}</math>. Soient ''g'' un élément de G et ''x'' un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément ''h'' de H tel que <math>\ x^{g} = x^{h}.</math> Alors <math>\ x^{gh^{-1}} = x</math>, donc <math>\ gh^{-1} \in G_{x}</math>, donc <math>\ g \in G_{x}H.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>\ G = G_{x} H</math>. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA ([[../Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8|Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8]]), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X. }} La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] et [[../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives]]. Dans le chapitre [[../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]], nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} l4uilh5plvla9z3ams363mis22mdlz0 0 17821 987549 982286 2026-10-21T07:54:51Z Marvoir 1746 enregistrement provisoire 987549 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | chapitre = [[../../Action de groupe/]] | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | niveau = 13 }} == Problème 0 (facile) == Soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''E'', soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de ''G'' tels que G.x = H.x. Prouver que <math>H G_{x} = G</math> (où <math>G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x''). {{clr}} {{Solution | contenu = }} == Problème 1 == Soit ''G'' un groupe opérant transitivement et fidèlement sur un ensemble ''X''. Prouver que si ''G'' est commutatif, cette opération est simplement transitive<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, exemple 2; Paris, 1970, {{p.|58}}.</ref>. (Cet énoncé nous fournira une démonstration alternative d'un théorème sur les permutations cycliques.) {{clr}} {{Solution | contenu = Il s'agit de prouver que l'opération de ''G'' sur ''X'' est libre. Soient ''x'' un élément de ''X'' et ''g'' un élément de ''G'' tels que ''gx = x''; il s'agit de prouver que ''g'' = 1.<br /> Soit ''y'' un élément de ''X''. Puisque l'opération de ''G'' sur ''X'' est supposée transitive, il existe un élément ''h'' de ''G'' tel que ''y'' = ''hx''. Alors ''gy'' = ''ghx'', d'où, puisque ''G'' est supposé commutatif, ''gy'' = ''hgx'', ce qui, d’après notre hypothèse ''gx = x'', peut s'écrire ''gy'' = ''hx''. Le second membre est égal à ''y'', donc ''gy'' = ''y''.<br /> Ceci est démontré pour tout élément ''y'' de ''X''. Comme l'opération de ''G'' sur ''X'' est supposée fidèle, nous avons donc ''g'' = 1, ce qu’il fallait démontrer.}} == Problème 2. (Lemme dit de Burnside) == Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour tout élément ''g'' de G, désignons par ''F''(''g'') le nombre des éléments de X fixés par ''g'', c'est-à-dire le nombre des éléments ''x'' de X tels que ''gx = x''. a) Prouver le lemme dit de Burnside<ref>Le lemme dit de Burnside fut en fait démontré en 1887 par Frobenius. Voir J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, {{p.|58}}, n. 1.</ref> : :<math> \qquad\sum_{g\in G}F(g)=|\Omega||G|</math>, où Ω désigne l’ensemble des orbites. (Indication : combien de fois un élément ''x'' de X est-il compté dans la somme ?) {{Solution | contenu = L'idée essentielle est que dans <math>\sum_{g\in G}F(g)</math>, chaque élément de X est compté <math>\left|G_x\right|</math> fois, où G_x désigne le stabilisateur de ''x''. Voici une mise en forme rigoureuse. Pour tout <math>\omega\in\Omega</math>, les stabilisateurs des éléments de cette orbite étant conjugués (cf. problème suivant), ils ont même ordre. Notons <math>c_\omega</math> cet ordre commun. En utilisant un élément ''x'' de l'orbite, on a :<math>\left|\omega\right|c_\omega=\left[G:G_x\right]\left|G_x\right|=|G|</math>. Par conséquent : :<math>\begin{align}\sum_{g\in G}F(g)&=\left|\{(g,x) \in G \times X\mid gx=x\}\right|\\ &=\sum_{x \in X}\left|G_x\right|\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}\sum_{x\in\omega}\left|G_x\right|\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}\left|\omega\right|c_\omega\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}|G|\\ &=|\Omega||G|.\end{align}</math> }} b) Soit G un groupe fini opérant transitivement sur un ensemble X d'au moins deux éléments. Déduire du point a) qu’il existe au moins un élément de G qui ne fixe aucun élément de X. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque l'opération de G sur X est transitive, il n'y a qu'une orbite donc, d’après le point a), :<math> \qquad \sum_{g\in G}F(g)=|G|</math>. Cela peut encore s'écrire :<math> \qquad F(1) + \sum_{g\in G\setminus\{1\}} F(g) = \vert G \vert </math> ou encore, puisque F(1) = <nowiki>|X|</nowiki>, :<math> \qquad \vert X \vert + \sum_{g\in G\setminus\{1\}} F(g)=|G|</math>. Si tout élément de G avait au moins un point fixe, c'est-à-dire si l'on avait F(''g'') ≥ 1 pour tout élément ''g'' de G, le premier membre serait ≥ {{!}}X{{!}} + {{!}}G{{!}} – 1, donc on aurait {{!}}G{{!}} ≥ {{!}}X{{!}} + {{!}}G{{!}} – 1, d'où {{!}}X{{!}} ≤ 1, ce qui contredit les hypothèses. }} == Problème 3 == a) Soit G un groupe opérant à gauche sur un ensemble X, soient ''x'' et ''y'' deux points de X et ''g'' un élément de G tels que gx = y. Prouver que Stab(y) = g Stab(x) g{{exp|-1}}. (Ceci montre que si deux éléments de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs sont conjugués dans G.) {{clr}} {{Solution | contenu = Pour tout élément ''h'' de G, :<math>\qquad h \in \mathrm{Stab}(y) \Leftrightarrow hy = y</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow hgx = gx</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow g^{-1}hgx = x</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow g^{-1}hg \in \mathrm{Stab}(x)</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow h \in g \mathrm{Stab}(x)\ g^{-1},</math> d'où l'énoncé. }} b) Soient G un groupe, ''x'' et ''a'' des éléments de G et H un sous-groupe de G. Déduire de a) une nouvelle démonstration des relations <math>\ C_{G}(a^{-1}xa) = a^{-1}C_{G}(x)\ a</math> et <math>\ N_{G}(a^{-1}Ha) = a^{-1}N_{G}(H)\ a</math> (démontrées dans les exercices de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). {{clr}} {{Solution | contenu = Dans a), prendre X égal à (l'ensemble sous-jacent de) G, faire opérer G à gauche sur X par conjugaison : <math>(g, x) \mapsto gxg^{-1}.</math> On trouve que <math>\ C_{G}(gxg^{-1}) = gC_{G}(x)g^{-1}</math> pour tout élément ''g'' de G, d'où le premier énoncé à démontrer.<br /> Pour obtenir à partir de a) le second énoncé à démontrer, faire opérer G à gauche par conjugaison sur l’ensemble des parties de G. }} == Problème 4 == Soient ''G'' un groupe fini non trivial et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Prouver que si ''H'' est un sous-groupe d'indice ''p'' de ''G'', c’est un sous-groupe normal de ''G''. (Indication : faire opérer ''G'' par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' de ses classes à gauche modulo ''H''.) {{clr}} {{Solution | contenu = Considérons l'ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H''. Sur cet ensemble à ''p'' éléments, ''H'' agit par translations, avec au moins un point fixe (la classe ''eH = H''). Si une classe n'est pas fixe, son orbite a pour cardinal un diviseur de l'ordre de ''H'' strictement supérieur à 1 donc supérieur ou égal à ''p'', ce qui est incompatible avec ce qui précède. Ainsi, toutes les classes sont fixes, c'est-à-dire que pour tous éléments ''g'' de ''G'' et ''h'' de ''H'' on a ''hgH = gH'', i.e. ''g''{{exp|–1}}''hg∈H'', donc ''H'' est normal<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom=Anthony W.|nom1=Knapp|titre=Basic Algebra|éditeur=Springer|année=2006|passage=163|lire en ligne={{Google Livres|Dau7fX44ZywC|page=163}}|volume=1}}.</ref>. }} Remarque. On a vu une démonstration différente dans [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient |les exercices sur le chapitre ''Sous-groupe distingué et groupe quotient'']]. == Problème 5 == Soit <math>G</math> un groupe agissant (par exemple à gauche) sur un ensemble <math>E</math> par <math>G \times E \to E : (g, x) \mapsto g \ x .</math> Soit <math>H</math> un sous-groupe de <math>G</math>; notons <math>E^{H}</math> l'ensemble des points fixes de <math>H</math>, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de <math>E</math> fixés par tout élément de <math>H .</math> Prouver que pour tout élément <math>g</math> de <math>N_{G}(H)</math> et tout élément <math>y</math> de <math>E^{H}</math>, <math>g \ y</math> appartient à <math>E^{H}</math> (de sorte que l'action <math>G \times E \to E : (g, x) \mapsto gx </math> induit par restriction une action <math>N_{G}(H) \times E^{H} \to E^{H}</math> de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math>). {{Solution|contenu= Soit donc <math>g</math> un élément de <math>N_{G}(H)</math> et <math>y</math> un élément de <math>E^{H}</math>; il s'agit de prouver que :<math>g \ y</math> appartient à <math>E^{H}</math>, autrement dit que :<math>g \ y</math> est un point fixe de <math>H .</math> Soit donc <math>h</math> un élément de H; il s'agit de prouver que :<math>h \ g \ y = g \ y .</math> Cela revient à dire que :<math>g^{-1} h g \ y = y</math>, ce qui est bien vrai, puisque, <math>g</math> appartenant à <math>N_{G}(H)</math>, <math>g^{-1} h g</math> appartient à H et fixe donc <math>y .</math> }} Remarque. Nous reviendrons à cette action de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math> dans un [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|exercice sur le chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside]]. == Problème 6 == Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour résoudre les deux questions suivantes. #Un groupe d'ordre 35 opère sur un ensemble de 19 éléments en ne laissant fixe aucun d'eux. Combien y a-t-il d'orbites ? #Un groupe d'ordre 143 = 11×13 opère sur un ensemble de 108 éléments. Montrer qu'il existe un point fixe. {{Solution|contenu= #Il y a ''a'' orbites à 7 éléments et ''b'' orbites à 5 éléments, avec 7''a'' + 5''b'' = 19. La seule solution est ''a'' = 2, ''b'' = 1. Il y a donc 3 orbites. (Remarque : sur 18 éléments, il n'y aurait pas de solution ; sur 17 éléments, la solution serait ''a'' = 1, ''b'' = 2.) #S'il n'y avait pas de point fixe, il y aurait ''a'' orbites à 13 éléments et ''b'' orbites à 11 éléments avec 13''a'' + 11''b'' = 108 donc ''a'' ≡ -1 mod 11, donc ''a'' ≥ 10, ce qui est impossible car 13×10 > 108. (Remarque : sur 109 éléments, il y aurait une solution : ''a'' = 5 et ''b'' = 4.) }} == Problème 7 == Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour déterminer les ordres du groupe des rotations du cube et de celui du tétraèdre régulier. Même question pour leurs groupes d'isométries. {{Solution|contenu= Notons Isom{{exp|+}}(C), Isom{{exp|+}}(T), Isom(C) et Isom(T) ces quatre groupes, vus comme agissant sur l'ensemble des sommets du cube C ou du tétraèdre T. On montre facilement (en exhibant des rotations biens choisies) que les deux premières actions sont transitives. A fortiori, les deux dernières le sont aussi. Soit A un sommet de C. Le stabilisateur de A dans Isom{{exp|+}}(C) est constitué des rotations d'axe OA (O étant le centre du cube) qui permutent les 8 sommets de C. Elles permutent donc les trois sommets les plus proches de A, si bien qu'il y a exactement 3 telles rotations. On a donc {{!}}Isom{{exp|+}}(C){{!}} = 3×8 = 24. Par le même raisonnement, {{!}}Isom{{exp|+}}(T){{!}} = 3×4 = 12. Lorsqu'on considère les groupes d'isométries, l'ordre du stabilisateur (et donc celui du groupe) est doublé, puisqu'il existe un plan de symétrie contenant A. }} == Problème 8 == #Faire l'inventaire des rotations du cube, sachant qu'il y en a 24 (en comptant l'identité). #En déduire que ce groupe est isomorphe à S{{ind|4}}. #À l'aide du lemme « de Burnside » {{supra|Problème 2. (Lemme dit de Burnside)}}, déterminer le nombre de façons de colorer les faces d'un cube à rotation près, avec au plus 3 couleurs à sa disposition. {{Solution|contenu= #Outre l'identité, il y a : #*pour chacune des 4 diagonales, deux tiers de tours ; #*pour chacun des 3 axes joignant les centres de deux faces opposées, deux quarts de tour et un demi-tour ; #*pour chacun des 6 axes joignant les centres de deux arêtes opposées, un demi-tour. #:C'est tout, puisque 1 + 4×2 + 3×3 + 6 = 24. #Ce groupe agit sur les quatre diagonales, fidèlement d'après l'inventaire. #Faisons agir le groupe de ces 24 rotations sur l'ensemble des 3{{exp|6}} cubes colorés et dénombrons, pour chaque rotation r, les cubes colorés « fixes » (en apparence). Le lemme de Burnside permettra d'en déduire le nombre N d'orbites, qui est le nombre cherché de « façons de colorer le cube, à rotation près ». Il faut pour cela faire agir r (et ses puissances) sur les 6 faces du cube et compter les orbites en lesquelles ces faces sont partitionnées : s'il y a k orbites, pour que le cube coloré soit fixe, chacune des k orbites doit être monochrome donc (puisqu'on dispose de 3 couleurs) il y a 3{{exp|k}} cubes colorés fixes par r. #*pour l'identité, k = 6 ; #*pour chacun des 8 tiers de tours, k = 2 ; #*pour chacun des 6 quarts de tours, k = 3 ; #*pour chacun des 3 demi-tours carrés des quarts de tours précédents, k = 4 ; #*pour chacun des 6 autres demi-tours, k = 3. #:D'après le lemme de Burnside, 24×N = 3{{exp|6}} + 8×3{{exp|2}} + 6×3{{exp|3}} + 3×3{{exp|4}} + 6×3{{exp|3}} donc N = 3×n avec 8×n = 3{{exp|4}} + 8 + 6×3 + 3×3{{exp|2}} + 6×3 = 152, donc n = 19 et N = 57. }} ==Problème 9== Soient G un groupe, H un sous-groupe et A un ensemble muni d'une action à droite de H. On considère l'action à droite de H sur A×G définie par :<math>(a,g)h=(ah,h^{-1}g)</math> et l'on note <math>A\otimes_HG</math> l'ensemble des orbites de cette action. #Expliciter l'action naturelle (à droite) de G sur <math>A\otimes_HG</math>. #Soit T une [[../../Classes modulo un sous-groupe#Indice d'un sous-groupe|transversale à droite]] de H dans G. Pour tout <math>g\in G</math>, on note <math>\bar g</math> le représentant de H''g'' dans T. Démontrer que l'application #::<math>\varphi:A\times(G/H)\to A\otimes_HG,\;(a,Hg)\mapsto a\otimes\bar g</math> #:est bijective (on explicitera la bijection réciproque). #Déterminer l'action de G sur A×(G/H) transportée (par cette bijection) de l'action sur <math>A\otimes_HG</math>. #En supposant T contient l'élément neutre 1 de G, quelle est l'action de H sur A×{H} obtenue par restriction ? {{Solution|contenu= #<math>(a\otimes g)g'=a\otimes(gg')</math> (cette action est bien définie car <math>(ah)\otimes((h^{-1}g)g')=(ah)\otimes(h^{-1}(gg'))=a\otimes(gg')</math>). #<math>a\otimes g=a\otimes(g\bar g^{-1}\bar g)=(ag\bar g^{-1})\otimes\bar g</math> (car <math>g\bar g^{-1}\in H</math>) donc l'application <math>A\otimes_HG\to A\times(G/H),\;a\otimes g\mapsto (ag\bar g^{-1},Hg)</math> (dont on vérifie qu'elle est bien définie) est réciproque de <math>\varphi</math>. #<math>(a,Hg)g'=(a\bar gg'\left(\overline{gg'}\right)^{-1},Hgg')</math>. #<math>(a,H)h=(ah,H)</math> : cette action est donc équivalente à celle de H sur A. }} ==Problème 10== Soit G un groupe d'ordre 60 qui a pour équation aux classes (pour l'action par conjugaison de G sur lui-même) :<math>60=1+15+20+12+12</math>. Montrer que G est simple, en considérant les équations aux classes possibles pour ses sous-groupes normaux. {{Solution|contenu= Un sous-groupe est normal dans G si et seulement s'il est réunion de classes de conjugaison. Son ordre doit donc être égal à 1 (pour la classe du neutre) plus une somme de certains des nombres 15, 20, 12 et 12. Mais cet ordre doit de plus diviser 60 donc être égal à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ou 60. Le seul ordre possible est donc 1 ou 60. }} Remarque : [[../Premiers résultats sur les groupes simples|le groupe alterné A{{ind|5}} est donc le seul]] groupe d'ordre 60 ayant cette équation aux classes. ==Problème 11== Décomposer l'ensemble <math>\mathrm M_n(K)</math> des [[matrice]]s carrées d'ordre <math>n</math> à coefficients dans un corps <math>K</math> en orbites pour les opérations suivantes de <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> : #multiplication à gauche ; #multiplication à droite ; #conjugaison. {{Solution|contenu= Deux matrices sont sur la même orbite si et seulement si (respectivement) : #elles ont même [[Application linéaire/Définitions#Image, noyau|noyau]] ; #elles ont même image ; #elles sont [[Matrice/Relations entre matrices#Matrices semblables|semblables]]. }} ==Problème 12== En méditant sur le théorème de Cayley, démontrer que tout groupe fini G se plonge dans un groupe où tous les éléments de G de même ordre deviennent conjugués. {{Solution|contenu= Soit G un groupe d'ordre n. Considérons le plongement de Cayley : <math>G\to S_G,\;g\mapsto L_g\,(G\to G,\;x\mapsto gx)</math>. Pour tout élément g de G d'ordre m (diviseur de n), la permutation <math>L_g</math> est un produit de n/m cycles disjoints de longueur m donc la classe de conjugaison de cette permutation ne dépend que de m. }} == Problème 13 == Ce problème porte sur les groupes symétriques finis, qui seront étudiés au chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]]. # Dénombrer le nombre de <math>n</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math> en utilisant une action de groupe. # Utiliser le même raisonnement pour dénombrer le nombre de <math>k</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math>. {{clr}} {{Solution | contenu = # Notons <math>X_n</math> l'ensemble des <math>n</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math>. Faisons agir <math>\mathfrak{S}_n</math> sur <math>X_n</math> via l'action par conjugaison <math>(\sigma,(a_1,\dots,a_n))\mapsto \sigma(a_1,\dots,a_n)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_n))</math>. C'est une action bien définie qui est transitive (deux <math>n</math> cycles sont conjugués dans <math>\mathfrak{S}_n</math>). L'équation aux classes permet donc d'obtenir : <math>|X_n| = \dfrac{|\mathfrak{S}_n|}{|\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))|}</math> où <math>(a_1,\dots,a_n)</math> est un <math>n</math>-cycle quelconque de <math>\mathfrak{S}_n</math>. Soit à présent <math>\sigma\in\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))</math> alors <math>\sigma (a_1,\dots,a_n)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_n)) = (a_1,\dots,a_n)</math>, comme deux <math>n</math>-cycles sont égaux à permutation circulaire des éléments près. (Ici <math>n</math> permutations) on a donc <math>|\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))| = n</math> d'où finalement : <math>|X_n| = \frac{n!}{n} = (n-1)!</math>. # Nous refaisons le même raisonnement en notant cette fois-ci <math>X_k</math> le nombre de <math>k</math>-cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math> et on fait agir de la même manière par conjugaison <math>\mathfrak{S}_n</math> sur <math>X_k</math>. Cette action reste transitive puisque les <math>k</math>-cycles sont tous conjugués dans <math>\mathfrak{S}_n</math>. L'équation au classe permet alors d'écrire : <math>|X_k| = \dfrac{|\mathfrak{S}_n|}{|\text{Stab}((a_1,\dots,a_k))|}</math> où <math>(a_1,\dots,a_k)</math> est un <math>k</math>-cycle quelconque. Soit <math>\sigma\in\text{Stab}((a_1,\dots,a_k))</math> alors de même que précédemment <math>\sigma(a_1,\dots,a_k)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_k)) = (a_1,\dots,a_k)</math>. Or deux <math>k</math>-cycles sont égaux à permutation circulaire des éléments près donc <math>\sigma</math> permute circulairement les éléments <math>a_1,\dots a_k</math> et permute comme il le souhaite les <math>n-k</math> autres éléments on a donc finalement : <math>|X_k| = \frac{n!}{k(n-k)!}</math>.}} == Problème 14 == Soit G un groupe '''fini''' ayant exactement deux classes de conjugaison. Prouver que G est d'ordre 2. {{clr}} {{Solution | contenu = Les deux classes de conjugaison de G sont {1} et G \ {1}. D'après le chapitre théorique, le cardinal d'une classe de conjugaison divise l'ordre du groupe, donc <math>\vert G\vert -1</math> divise <math>\vert G\vert</math>. Comme <math>\vert G\vert -1</math> se divise lui-même, il divise donc à la fois <math>\vert G\vert -1</math> et <math>\vert G\vert</math>, donc il divise leur différence 1, donc il est égal à 1, ce qui revient à dire que <math>\vert G\vert = 2</math>. (Cette démonstration ne serait pas valable si G était infini, car on ne peut pas parler de la différence de deux cardinaux infinis égaux.) }} Remarques. 1° Définissons par récurrence sur ''n'' une suite de nombres naturels <math>k_n</math> telle que <math>k_1 = 1</math> et <math>k_{n+1} = k_n (1 + k_n)</math>. Donc <math>k_2 = 2</math>, <math>k_3 = 6</math>, <math>k_4 = 42</math>, <math>k_5 = 1806</math> etc. On démontre que si ''g'' est un nombre naturel non nul qui peut s'écrire comme somme de ''n'' de ses diviseurs naturels, un au moins de ces diviseurs étant égal à 1 (on ne suppose pas que les diviseurs en question sont deux à deux distincts), alors ''g'' est au plus égal à <math>k_n</math><ref>Voir D.R. Curtiss, « On Kellogg's Diophantine problem », ''The American Monthly'', vol. 29, n° 10, nov. - déc. 1922, pp. 38à-387, consultable sur [https://www.jstor.org/stable/2299023?seq=1 JSTOR]</ref>. Il résulte de ce théorème (purement arithmétique) que si un groupe ''fini'' admet exactement ''n'' classes de conjugaison, l'ordre de ce groupe est au plus égal à <math>k_n</math>. Par exemple, si un groupe ''fini'' a exactement cinq classes de conjugaison, son ordre est au plus 1806.</br> 2° Il existe des groupes infinis ayant exactement deux classes de conjugaison. Voir un exemple dans J. J. Rotman, ''An Introduction the Theory of Groups'', 4-ième édition, exerc. 11.78, p. 406. == Notes et références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} rvyf6o813la58a5rblrsqi57j921a8g 987550 987549 2026-10-21T08:19:47Z Marvoir 1746 /* Problème 0 (facile) */ terminé solution 987550 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | chapitre = [[../../Action de groupe/]] | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | niveau = 13 }} == Problème 0 (facile) == Soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''E'', soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de ''G'' tels que G.x = H.x. Prouver que <math>H G_{x} = G</math> (où <math>G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x''). {{clr}} {{Solution | contenu = Soit ''g'' un élément de G.</br> D'après l'hypothèse G.x = H.x de l'énoncé, il existe un élément ''h'' de H tel que g.x = h.x, autrement dit tel que h^-1g.x = x, autrement dit tel que h^-1g <math>\in G_{x}</math>, autrement dit tel que <math>g \in h G_{x}</math>. Cela étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>G \leq H G_{x}</math>, ce qui revient à <math>H G_{x} = G</math>. }} == Problème 1 == Soit ''G'' un groupe opérant transitivement et fidèlement sur un ensemble ''X''. Prouver que si ''G'' est commutatif, cette opération est simplement transitive<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, exemple 2; Paris, 1970, {{p.|58}}.</ref>. (Cet énoncé nous fournira une démonstration alternative d'un théorème sur les permutations cycliques.) {{clr}} {{Solution | contenu = Il s'agit de prouver que l'opération de ''G'' sur ''X'' est libre. Soient ''x'' un élément de ''X'' et ''g'' un élément de ''G'' tels que ''gx = x''; il s'agit de prouver que ''g'' = 1.<br /> Soit ''y'' un élément de ''X''. Puisque l'opération de ''G'' sur ''X'' est supposée transitive, il existe un élément ''h'' de ''G'' tel que ''y'' = ''hx''. Alors ''gy'' = ''ghx'', d'où, puisque ''G'' est supposé commutatif, ''gy'' = ''hgx'', ce qui, d’après notre hypothèse ''gx = x'', peut s'écrire ''gy'' = ''hx''. Le second membre est égal à ''y'', donc ''gy'' = ''y''.<br /> Ceci est démontré pour tout élément ''y'' de ''X''. Comme l'opération de ''G'' sur ''X'' est supposée fidèle, nous avons donc ''g'' = 1, ce qu’il fallait démontrer.}} == Problème 2. (Lemme dit de Burnside) == Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour tout élément ''g'' de G, désignons par ''F''(''g'') le nombre des éléments de X fixés par ''g'', c'est-à-dire le nombre des éléments ''x'' de X tels que ''gx = x''. a) Prouver le lemme dit de Burnside<ref>Le lemme dit de Burnside fut en fait démontré en 1887 par Frobenius. Voir J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, {{p.|58}}, n. 1.</ref> : :<math> \qquad\sum_{g\in G}F(g)=|\Omega||G|</math>, où Ω désigne l’ensemble des orbites. (Indication : combien de fois un élément ''x'' de X est-il compté dans la somme ?) {{Solution | contenu = L'idée essentielle est que dans <math>\sum_{g\in G}F(g)</math>, chaque élément de X est compté <math>\left|G_x\right|</math> fois, où G_x désigne le stabilisateur de ''x''. Voici une mise en forme rigoureuse. Pour tout <math>\omega\in\Omega</math>, les stabilisateurs des éléments de cette orbite étant conjugués (cf. problème suivant), ils ont même ordre. Notons <math>c_\omega</math> cet ordre commun. En utilisant un élément ''x'' de l'orbite, on a :<math>\left|\omega\right|c_\omega=\left[G:G_x\right]\left|G_x\right|=|G|</math>. Par conséquent : :<math>\begin{align}\sum_{g\in G}F(g)&=\left|\{(g,x) \in G \times X\mid gx=x\}\right|\\ &=\sum_{x \in X}\left|G_x\right|\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}\sum_{x\in\omega}\left|G_x\right|\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}\left|\omega\right|c_\omega\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}|G|\\ &=|\Omega||G|.\end{align}</math> }} b) Soit G un groupe fini opérant transitivement sur un ensemble X d'au moins deux éléments. Déduire du point a) qu’il existe au moins un élément de G qui ne fixe aucun élément de X. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque l'opération de G sur X est transitive, il n'y a qu'une orbite donc, d’après le point a), :<math> \qquad \sum_{g\in G}F(g)=|G|</math>. Cela peut encore s'écrire :<math> \qquad F(1) + \sum_{g\in G\setminus\{1\}} F(g) = \vert G \vert </math> ou encore, puisque F(1) = <nowiki>|X|</nowiki>, :<math> \qquad \vert X \vert + \sum_{g\in G\setminus\{1\}} F(g)=|G|</math>. Si tout élément de G avait au moins un point fixe, c'est-à-dire si l'on avait F(''g'') ≥ 1 pour tout élément ''g'' de G, le premier membre serait ≥ {{!}}X{{!}} + {{!}}G{{!}} – 1, donc on aurait {{!}}G{{!}} ≥ {{!}}X{{!}} + {{!}}G{{!}} – 1, d'où {{!}}X{{!}} ≤ 1, ce qui contredit les hypothèses. }} == Problème 3 == a) Soit G un groupe opérant à gauche sur un ensemble X, soient ''x'' et ''y'' deux points de X et ''g'' un élément de G tels que gx = y. Prouver que Stab(y) = g Stab(x) g{{exp|-1}}. (Ceci montre que si deux éléments de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs sont conjugués dans G.) {{clr}} {{Solution | contenu = Pour tout élément ''h'' de G, :<math>\qquad h \in \mathrm{Stab}(y) \Leftrightarrow hy = y</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow hgx = gx</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow g^{-1}hgx = x</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow g^{-1}hg \in \mathrm{Stab}(x)</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow h \in g \mathrm{Stab}(x)\ g^{-1},</math> d'où l'énoncé. }} b) Soient G un groupe, ''x'' et ''a'' des éléments de G et H un sous-groupe de G. Déduire de a) une nouvelle démonstration des relations <math>\ C_{G}(a^{-1}xa) = a^{-1}C_{G}(x)\ a</math> et <math>\ N_{G}(a^{-1}Ha) = a^{-1}N_{G}(H)\ a</math> (démontrées dans les exercices de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). {{clr}} {{Solution | contenu = Dans a), prendre X égal à (l'ensemble sous-jacent de) G, faire opérer G à gauche sur X par conjugaison : <math>(g, x) \mapsto gxg^{-1}.</math> On trouve que <math>\ C_{G}(gxg^{-1}) = gC_{G}(x)g^{-1}</math> pour tout élément ''g'' de G, d'où le premier énoncé à démontrer.<br /> Pour obtenir à partir de a) le second énoncé à démontrer, faire opérer G à gauche par conjugaison sur l’ensemble des parties de G. }} == Problème 4 == Soient ''G'' un groupe fini non trivial et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Prouver que si ''H'' est un sous-groupe d'indice ''p'' de ''G'', c’est un sous-groupe normal de ''G''. (Indication : faire opérer ''G'' par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' de ses classes à gauche modulo ''H''.) {{clr}} {{Solution | contenu = Considérons l'ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H''. Sur cet ensemble à ''p'' éléments, ''H'' agit par translations, avec au moins un point fixe (la classe ''eH = H''). Si une classe n'est pas fixe, son orbite a pour cardinal un diviseur de l'ordre de ''H'' strictement supérieur à 1 donc supérieur ou égal à ''p'', ce qui est incompatible avec ce qui précède. Ainsi, toutes les classes sont fixes, c'est-à-dire que pour tous éléments ''g'' de ''G'' et ''h'' de ''H'' on a ''hgH = gH'', i.e. ''g''{{exp|–1}}''hg∈H'', donc ''H'' est normal<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom=Anthony W.|nom1=Knapp|titre=Basic Algebra|éditeur=Springer|année=2006|passage=163|lire en ligne={{Google Livres|Dau7fX44ZywC|page=163}}|volume=1}}.</ref>. }} Remarque. On a vu une démonstration différente dans [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient |les exercices sur le chapitre ''Sous-groupe distingué et groupe quotient'']]. == Problème 5 == Soit <math>G</math> un groupe agissant (par exemple à gauche) sur un ensemble <math>E</math> par <math>G \times E \to E : (g, x) \mapsto g \ x .</math> Soit <math>H</math> un sous-groupe de <math>G</math>; notons <math>E^{H}</math> l'ensemble des points fixes de <math>H</math>, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de <math>E</math> fixés par tout élément de <math>H .</math> Prouver que pour tout élément <math>g</math> de <math>N_{G}(H)</math> et tout élément <math>y</math> de <math>E^{H}</math>, <math>g \ y</math> appartient à <math>E^{H}</math> (de sorte que l'action <math>G \times E \to E : (g, x) \mapsto gx </math> induit par restriction une action <math>N_{G}(H) \times E^{H} \to E^{H}</math> de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math>). {{Solution|contenu= Soit donc <math>g</math> un élément de <math>N_{G}(H)</math> et <math>y</math> un élément de <math>E^{H}</math>; il s'agit de prouver que :<math>g \ y</math> appartient à <math>E^{H}</math>, autrement dit que :<math>g \ y</math> est un point fixe de <math>H .</math> Soit donc <math>h</math> un élément de H; il s'agit de prouver que :<math>h \ g \ y = g \ y .</math> Cela revient à dire que :<math>g^{-1} h g \ y = y</math>, ce qui est bien vrai, puisque, <math>g</math> appartenant à <math>N_{G}(H)</math>, <math>g^{-1} h g</math> appartient à H et fixe donc <math>y .</math> }} Remarque. Nous reviendrons à cette action de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math> dans un [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|exercice sur le chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside]]. == Problème 6 == Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour résoudre les deux questions suivantes. #Un groupe d'ordre 35 opère sur un ensemble de 19 éléments en ne laissant fixe aucun d'eux. Combien y a-t-il d'orbites ? #Un groupe d'ordre 143 = 11×13 opère sur un ensemble de 108 éléments. Montrer qu'il existe un point fixe. {{Solution|contenu= #Il y a ''a'' orbites à 7 éléments et ''b'' orbites à 5 éléments, avec 7''a'' + 5''b'' = 19. La seule solution est ''a'' = 2, ''b'' = 1. Il y a donc 3 orbites. (Remarque : sur 18 éléments, il n'y aurait pas de solution ; sur 17 éléments, la solution serait ''a'' = 1, ''b'' = 2.) #S'il n'y avait pas de point fixe, il y aurait ''a'' orbites à 13 éléments et ''b'' orbites à 11 éléments avec 13''a'' + 11''b'' = 108 donc ''a'' ≡ -1 mod 11, donc ''a'' ≥ 10, ce qui est impossible car 13×10 > 108. (Remarque : sur 109 éléments, il y aurait une solution : ''a'' = 5 et ''b'' = 4.) }} == Problème 7 == Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour déterminer les ordres du groupe des rotations du cube et de celui du tétraèdre régulier. Même question pour leurs groupes d'isométries. {{Solution|contenu= Notons Isom{{exp|+}}(C), Isom{{exp|+}}(T), Isom(C) et Isom(T) ces quatre groupes, vus comme agissant sur l'ensemble des sommets du cube C ou du tétraèdre T. On montre facilement (en exhibant des rotations biens choisies) que les deux premières actions sont transitives. A fortiori, les deux dernières le sont aussi. Soit A un sommet de C. Le stabilisateur de A dans Isom{{exp|+}}(C) est constitué des rotations d'axe OA (O étant le centre du cube) qui permutent les 8 sommets de C. Elles permutent donc les trois sommets les plus proches de A, si bien qu'il y a exactement 3 telles rotations. On a donc {{!}}Isom{{exp|+}}(C){{!}} = 3×8 = 24. Par le même raisonnement, {{!}}Isom{{exp|+}}(T){{!}} = 3×4 = 12. Lorsqu'on considère les groupes d'isométries, l'ordre du stabilisateur (et donc celui du groupe) est doublé, puisqu'il existe un plan de symétrie contenant A. }} == Problème 8 == #Faire l'inventaire des rotations du cube, sachant qu'il y en a 24 (en comptant l'identité). #En déduire que ce groupe est isomorphe à S{{ind|4}}. #À l'aide du lemme « de Burnside » {{supra|Problème 2. (Lemme dit de Burnside)}}, déterminer le nombre de façons de colorer les faces d'un cube à rotation près, avec au plus 3 couleurs à sa disposition. {{Solution|contenu= #Outre l'identité, il y a : #*pour chacune des 4 diagonales, deux tiers de tours ; #*pour chacun des 3 axes joignant les centres de deux faces opposées, deux quarts de tour et un demi-tour ; #*pour chacun des 6 axes joignant les centres de deux arêtes opposées, un demi-tour. #:C'est tout, puisque 1 + 4×2 + 3×3 + 6 = 24. #Ce groupe agit sur les quatre diagonales, fidèlement d'après l'inventaire. #Faisons agir le groupe de ces 24 rotations sur l'ensemble des 3{{exp|6}} cubes colorés et dénombrons, pour chaque rotation r, les cubes colorés « fixes » (en apparence). Le lemme de Burnside permettra d'en déduire le nombre N d'orbites, qui est le nombre cherché de « façons de colorer le cube, à rotation près ». Il faut pour cela faire agir r (et ses puissances) sur les 6 faces du cube et compter les orbites en lesquelles ces faces sont partitionnées : s'il y a k orbites, pour que le cube coloré soit fixe, chacune des k orbites doit être monochrome donc (puisqu'on dispose de 3 couleurs) il y a 3{{exp|k}} cubes colorés fixes par r. #*pour l'identité, k = 6 ; #*pour chacun des 8 tiers de tours, k = 2 ; #*pour chacun des 6 quarts de tours, k = 3 ; #*pour chacun des 3 demi-tours carrés des quarts de tours précédents, k = 4 ; #*pour chacun des 6 autres demi-tours, k = 3. #:D'après le lemme de Burnside, 24×N = 3{{exp|6}} + 8×3{{exp|2}} + 6×3{{exp|3}} + 3×3{{exp|4}} + 6×3{{exp|3}} donc N = 3×n avec 8×n = 3{{exp|4}} + 8 + 6×3 + 3×3{{exp|2}} + 6×3 = 152, donc n = 19 et N = 57. }} ==Problème 9== Soient G un groupe, H un sous-groupe et A un ensemble muni d'une action à droite de H. On considère l'action à droite de H sur A×G définie par :<math>(a,g)h=(ah,h^{-1}g)</math> et l'on note <math>A\otimes_HG</math> l'ensemble des orbites de cette action. #Expliciter l'action naturelle (à droite) de G sur <math>A\otimes_HG</math>. #Soit T une [[../../Classes modulo un sous-groupe#Indice d'un sous-groupe|transversale à droite]] de H dans G. Pour tout <math>g\in G</math>, on note <math>\bar g</math> le représentant de H''g'' dans T. Démontrer que l'application #::<math>\varphi:A\times(G/H)\to A\otimes_HG,\;(a,Hg)\mapsto a\otimes\bar g</math> #:est bijective (on explicitera la bijection réciproque). #Déterminer l'action de G sur A×(G/H) transportée (par cette bijection) de l'action sur <math>A\otimes_HG</math>. #En supposant T contient l'élément neutre 1 de G, quelle est l'action de H sur A×{H} obtenue par restriction ? {{Solution|contenu= #<math>(a\otimes g)g'=a\otimes(gg')</math> (cette action est bien définie car <math>(ah)\otimes((h^{-1}g)g')=(ah)\otimes(h^{-1}(gg'))=a\otimes(gg')</math>). #<math>a\otimes g=a\otimes(g\bar g^{-1}\bar g)=(ag\bar g^{-1})\otimes\bar g</math> (car <math>g\bar g^{-1}\in H</math>) donc l'application <math>A\otimes_HG\to A\times(G/H),\;a\otimes g\mapsto (ag\bar g^{-1},Hg)</math> (dont on vérifie qu'elle est bien définie) est réciproque de <math>\varphi</math>. #<math>(a,Hg)g'=(a\bar gg'\left(\overline{gg'}\right)^{-1},Hgg')</math>. #<math>(a,H)h=(ah,H)</math> : cette action est donc équivalente à celle de H sur A. }} ==Problème 10== Soit G un groupe d'ordre 60 qui a pour équation aux classes (pour l'action par conjugaison de G sur lui-même) :<math>60=1+15+20+12+12</math>. Montrer que G est simple, en considérant les équations aux classes possibles pour ses sous-groupes normaux. {{Solution|contenu= Un sous-groupe est normal dans G si et seulement s'il est réunion de classes de conjugaison. Son ordre doit donc être égal à 1 (pour la classe du neutre) plus une somme de certains des nombres 15, 20, 12 et 12. Mais cet ordre doit de plus diviser 60 donc être égal à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ou 60. Le seul ordre possible est donc 1 ou 60. }} Remarque : [[../Premiers résultats sur les groupes simples|le groupe alterné A{{ind|5}} est donc le seul]] groupe d'ordre 60 ayant cette équation aux classes. ==Problème 11== Décomposer l'ensemble <math>\mathrm M_n(K)</math> des [[matrice]]s carrées d'ordre <math>n</math> à coefficients dans un corps <math>K</math> en orbites pour les opérations suivantes de <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> : #multiplication à gauche ; #multiplication à droite ; #conjugaison. {{Solution|contenu= Deux matrices sont sur la même orbite si et seulement si (respectivement) : #elles ont même [[Application linéaire/Définitions#Image, noyau|noyau]] ; #elles ont même image ; #elles sont [[Matrice/Relations entre matrices#Matrices semblables|semblables]]. }} ==Problème 12== En méditant sur le théorème de Cayley, démontrer que tout groupe fini G se plonge dans un groupe où tous les éléments de G de même ordre deviennent conjugués. {{Solution|contenu= Soit G un groupe d'ordre n. Considérons le plongement de Cayley : <math>G\to S_G,\;g\mapsto L_g\,(G\to G,\;x\mapsto gx)</math>. Pour tout élément g de G d'ordre m (diviseur de n), la permutation <math>L_g</math> est un produit de n/m cycles disjoints de longueur m donc la classe de conjugaison de cette permutation ne dépend que de m. }} == Problème 13 == Ce problème porte sur les groupes symétriques finis, qui seront étudiés au chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]]. # Dénombrer le nombre de <math>n</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math> en utilisant une action de groupe. # Utiliser le même raisonnement pour dénombrer le nombre de <math>k</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math>. {{clr}} {{Solution | contenu = # Notons <math>X_n</math> l'ensemble des <math>n</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math>. Faisons agir <math>\mathfrak{S}_n</math> sur <math>X_n</math> via l'action par conjugaison <math>(\sigma,(a_1,\dots,a_n))\mapsto \sigma(a_1,\dots,a_n)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_n))</math>. C'est une action bien définie qui est transitive (deux <math>n</math> cycles sont conjugués dans <math>\mathfrak{S}_n</math>). L'équation aux classes permet donc d'obtenir : <math>|X_n| = \dfrac{|\mathfrak{S}_n|}{|\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))|}</math> où <math>(a_1,\dots,a_n)</math> est un <math>n</math>-cycle quelconque de <math>\mathfrak{S}_n</math>. Soit à présent <math>\sigma\in\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))</math> alors <math>\sigma (a_1,\dots,a_n)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_n)) = (a_1,\dots,a_n)</math>, comme deux <math>n</math>-cycles sont égaux à permutation circulaire des éléments près. (Ici <math>n</math> permutations) on a donc <math>|\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))| = n</math> d'où finalement : <math>|X_n| = \frac{n!}{n} = (n-1)!</math>. # Nous refaisons le même raisonnement en notant cette fois-ci <math>X_k</math> le nombre de <math>k</math>-cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math> et on fait agir de la même manière par conjugaison <math>\mathfrak{S}_n</math> sur <math>X_k</math>. Cette action reste transitive puisque les <math>k</math>-cycles sont tous conjugués dans <math>\mathfrak{S}_n</math>. L'équation au classe permet alors d'écrire : <math>|X_k| = \dfrac{|\mathfrak{S}_n|}{|\text{Stab}((a_1,\dots,a_k))|}</math> où <math>(a_1,\dots,a_k)</math> est un <math>k</math>-cycle quelconque. Soit <math>\sigma\in\text{Stab}((a_1,\dots,a_k))</math> alors de même que précédemment <math>\sigma(a_1,\dots,a_k)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_k)) = (a_1,\dots,a_k)</math>. Or deux <math>k</math>-cycles sont égaux à permutation circulaire des éléments près donc <math>\sigma</math> permute circulairement les éléments <math>a_1,\dots a_k</math> et permute comme il le souhaite les <math>n-k</math> autres éléments on a donc finalement : <math>|X_k| = \frac{n!}{k(n-k)!}</math>.}} == Problème 14 == Soit G un groupe '''fini''' ayant exactement deux classes de conjugaison. Prouver que G est d'ordre 2. {{clr}} {{Solution | contenu = Les deux classes de conjugaison de G sont {1} et G \ {1}. D'après le chapitre théorique, le cardinal d'une classe de conjugaison divise l'ordre du groupe, donc <math>\vert G\vert -1</math> divise <math>\vert G\vert</math>. Comme <math>\vert G\vert -1</math> se divise lui-même, il divise donc à la fois <math>\vert G\vert -1</math> et <math>\vert G\vert</math>, donc il divise leur différence 1, donc il est égal à 1, ce qui revient à dire que <math>\vert G\vert = 2</math>. (Cette démonstration ne serait pas valable si G était infini, car on ne peut pas parler de la différence de deux cardinaux infinis égaux.) }} Remarques. 1° Définissons par récurrence sur ''n'' une suite de nombres naturels <math>k_n</math> telle que <math>k_1 = 1</math> et <math>k_{n+1} = k_n (1 + k_n)</math>. Donc <math>k_2 = 2</math>, <math>k_3 = 6</math>, <math>k_4 = 42</math>, <math>k_5 = 1806</math> etc. On démontre que si ''g'' est un nombre naturel non nul qui peut s'écrire comme somme de ''n'' de ses diviseurs naturels, un au moins de ces diviseurs étant égal à 1 (on ne suppose pas que les diviseurs en question sont deux à deux distincts), alors ''g'' est au plus égal à <math>k_n</math><ref>Voir D.R. Curtiss, « On Kellogg's Diophantine problem », ''The American Monthly'', vol. 29, n° 10, nov. - déc. 1922, pp. 38à-387, consultable sur [https://www.jstor.org/stable/2299023?seq=1 JSTOR]</ref>. Il résulte de ce théorème (purement arithmétique) que si un groupe ''fini'' admet exactement ''n'' classes de conjugaison, l'ordre de ce groupe est au plus égal à <math>k_n</math>. Par exemple, si un groupe ''fini'' a exactement cinq classes de conjugaison, son ordre est au plus 1806.</br> 2° Il existe des groupes infinis ayant exactement deux classes de conjugaison. Voir un exemple dans J. J. Rotman, ''An Introduction the Theory of Groups'', 4-ième édition, exerc. 11.78, p. 406. == Notes et références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} rs4ncbk9n4innj4dqzt1ds5rk1zcvtd 0 35951 987540 969720 2026-10-20T17:25:20Z Crochet.david 317 . 987540 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = médecine | numéro = 4 | niveau = 0 | précédent = [[../Soutien/]] | suivant = [[../Au travail/]] }} == Service de secours == '''Le SSSM a pour mission de participer à l'aide médicale d'urgence.''' Ainsi il s'engage sur des urgences individuelles mais aussi sur des incidents avec nombreuses victimes ou sur des opérations impliquant des animaux ou des chaînes alimentaires. === Urgences individuelles === Les différentes prises en charge (PEC) décrites par la suite se restreignent au pré-hospitalier et s'inscrivent par convention sur deux niveaux de soins : * Niveau paramédical : PEC par un infirmier sapeur-pompier ''protocolé'' et sous l'autorité d'un médecin sapeur-pompier ou régulateur. * Niveau médical : PEC par un médecin sapeur-pompier. Ces PEC répondent donc à des tableaux prédéfinis. L’identification de ces tableaux repose sur l’évaluation circonstancielle et sur l’évaluation clinique. ==== Évaluation circonstancielle ==== Elle doit débuter sur le trajet avec le motif de départ. En effet, l’analyse des motifs d’engagement permet de nombreuses anticipations et donc un gain de temps. Une fois sur place, l’officier santé (OS) doit se présenter au COS pour prendre connaissance de l’ordre initial et se voir investir de la responsabilité du secteur SAP. L’idéal est d’entendre le COS tout en commençant l’évaluation clinique de la victime. Cette double tâche est tout à fait réalisable puisque l’examen essentiel repose quasi uniquement sur une analyse visuelle. Sur le trajet vers le COS et/ou la victime, l’OS peut également examiner sans perdre de temps le site d’intervention : *Problèmes d’insécurité liés au trafic *Problèmes d’insécurité liés au trafic aux conditions météorologiques *Problèmes d’insécurité liés aux personnes *Problèmes d’insécurité liés à l’accès à la victime *Problèmes d’insécurité liés à l’exposition aux liquides biologiques *Problèmes d’insécurité liés à l’exposition à des matières dangereuses *Problèmes de pénétration sur une scène de crime *Analyse des cinétiques Ces interrogations sont pour la plupart du ressort du COS, mais il faut rappeler le rôle de conseiller technique de l’OS d’une part et d’autre part qu’en matière de SAP, le COS n’est souvent que le chef d’agrès du VSAV. ==== Évaluation clinique ==== L'évaluation clinique est une étape primordiale. Pour être efficace et rapide, elle doit être systématique et rigoureuse. Le premier objectif est d’identifier rapidement une détresse vitale qui nécessiterait des gestes prioritaires avant le relevage (examen dit ''essentiel''). Lorsque l'officier santé (OS) est expérimenté, cette étape ne prend que quelques dizaines de secondes. L'examen essentiel doit toujours être réalisé dans le même ordre : # Existe-t-il une détresse neurologique ? # Existe-t-il une détresse ventilatoire ? # Existe-t-il une détresse circulatoire ? # Existe-t-il un traumatisme menaçant ? # Existe-t-il une urgence antalgique ? '''En cas de détresse vitale, si l'OS est un infirmier''', il doit : # ''Demander le concours d'un médecin'' (VLM ou SMUR). Sur ce point il est important qu’il existe une relation de confiance entre le CODIS (ou le SAMU) et le SSSM. En pratique, l'opérateur CODIS (ou le PARM) doit être en mesure d'engager le VLM (ou le SMUR) sur la simple demande de l'OS sans justification de l'OS auprès du chef de salle (ou du régulateur). La perte de temps pour se justifier peut constituer une perte de chance pour la victime. Idéalement, l'OS doit déléguer cette demande au COS (qui confirmera par ailleurs la présence de l'OS sur les lieux) et ainsi poursuivre ses objectifs sans perdre de temps. Mais les réalités sont parfois toutes autres et l'OS doit aussi savoir transmettre un pré-bilan court et décisif. # ''Mettre en œuvres les mesures conservatoires appropriées.'' # ''Attendre la présentation du médecin'' sur les lieux avant le relevage. '''En cas de détresse vitale, si l'OS est un médecin''', il doit : # ''Demander le concours d'un second OS'' (VLI, VLM ou SMUR) à moins qu’il soit déjà sur place. En effet, l'orgueil n'a pas sa place en cas de détresse. Le binôme médecin-infirmier n'a plus à faire ses preuves et il vaut mieux engager prématurément un renfort que de le demander trop tardivement. # ''Mettre en œuvres les mesures conservatoires appropriées.'' # ''Mettre en œuvre le relevage'' sans attendre la présentation des renforts si les mesures conservatoires ont pu être prises. Dans ce cas, il est judicieux de faire "annuler" les concours devenus inutiles. Après le relevage, l'OS doit compléter son évaluation clinique (''examen complémentaire'') puis transmettre un bilan définitif au régulateur : * En l'absence de détresse, l'examen complémentaire peut être réalisé par un infirmier. * En cas de détresse, l'examen complémentaire doit être réalisé par un médecin. ===== Examen essentiel ===== ====== Identification et mesures conservatoires d'une détresse neurologique ====== Les éléments signifiant une détresse neurologique sont : * Des troubles de conscience ; * Une para- ou tétraplégie post-traumatique. '''Troubles de conscience''' Les troubles de conscience vont de la simple agitation au coma profond en passant par l'obnubilation et le coma « réveillable ». ====== Identification et mesures conservatoires d'une détresse ventilatoire ====== Les éléments signifiant une détresse ventilatoire sont : * une polypnée ou pire une bradypnée ; * une cyanose ; * des sueurs ; * un tirage ; * une désaturation ; * des troubles de conscience. ====== Identification et mesures conservatoires d'une détresse circulatoire ====== Les éléments signifiant une détresse circulatoire sont : * une tachycardie (signe précoce de baisse du retour veineux) ou pire une bradycardie (réduction de la volémie supérieure à 50%) ; * une pâleur ; * des sueurs ; * un temps de recoloration cutané allongé (très peu utilisé en pratique) ; * une hypotension ; * des troubles de conscience. ====== Identification et mesures conservatoires d'un traumatisme menaçant ====== Il faut entendre par traumatismes menaçants, ceux qui nécessitent un geste essentiel avant relevage ou désincarcération. Les éléments signifiant un traumatisme menaçant sont : * une hémorragie massive externe ; * une plaie thoracique soufflante ; * un corps étranger pénétrant ; * une défense abdominale ; * une douleur ou une instabilité rachidienne ; * une douleur ou une instabilité du bassin ; * un déficit sensitivo-moteur post-traumatique ; * une compression. ====== Identification et mesures conservatoires d'une urgence antalgique ====== L'urgence antalgique n’est pas une urgence vitale à proprement parler. Mais une douleur intense justifie d’être prise en charge sans délai et avant le relevage. Elle ne doit pas cependant retarder la prise en charge des détresses véritablement vitales. ====== Transmission d'un pré-bilan ====== ===== Examen complémentaire ===== Il est réalisé : * après ou en même temps que l'interrogatoire ; * en fonction des circonstances et de la plainte ; * sur un patient coopérant ; * à l'abri et au chaud ; * de la tête aux pieds en cas de traumatisme (bilan traumatologique). ====== Bilan traumatologique ====== Liste non exhaustive des lésions à identifier : * Cuir chevelu : **Plaies du scalpe : Elles sont sources d'hémorragies abondantes. Elles impressionnent toujours les non expérimentés qui s'affolent pour "rien" mais ces plaies sont parfois négligées par les secouristes. Les plaies du cuir chevelu peuvent engager le pronostic vital et le médecin sapeur-pompier doit savoir suturer (même grossièrement) ces plaies sur les lieux mêmes. Attention, elles ne sont pas identifiables facilement de par leur nombre (savoir contrôler post-hémostatique), leur localisation (savoir rechercher une plaie occipitale sans mettre en péril l'axe rachidien), ou une chevelure abondante (savoir tondre si besoin). **Embarrures et enfoncements de la boîte crânienne : ils doivent être recherchés par la palpation méthodique du crâne. Ils n'engagent pas à eux seuls le pronostic vital mais témoignent toujours d'une énergie suffisante pour entraîner une lésion cérébrale et doivent être considérés comme un signe de gravité. Il n’est pas rare que des hématomes sous-cutanés, de par leur inhomogénéité à la palpation, fassent croire à un enfoncement mais le doute doit bénéficier à la victime. * Oreille : **Otorragie : l'officier santé ne doit pas passer à côté de celle-ci, car elle témoigne d'une fracture du rocher. Cet os massif, d'où son nom, porte en son sein l'oreille moyenne et l'oreille interne, d'où l'engagement du pronostic fonctionnel de l'audition, de l'équilibre et de la motricité de la face. Mais le rocher est surtout un pilier de la voûte crânienne et sa fracture témoigne toujours d'une énergie suffisante pour entraîner une lésion cérébrale et doit être considérée comme un signe de gravité. L'OS peut rencontrer une difficulté pour différencier un saignement provenant de conduit auditif interne (otorragie vraie) d'une hémorragie de pavillon de l'oreille. Il faut savoir essuyer le pavillon pour démasquer l'origine exacte du saignement. * Œil : **corps étranger ; **hématome orbitaire ; **anisocorie ; **diplopie. * Nez : **épistaxis. * Cavité buccale : **embarrure de la voute palatine ; **rupture de l'articulé dentaire. * Joue * Cou * Thorax * Abdomen * Bassin * Membres supérieurs * Membres inférieurs * Rachis dorso-lombaire ====== Transmission d'un pré-bilan ====== ==== Relevage-brancardage ==== ====Transport==== ==== Arrêt cardio-respiratoire ==== ====Détresses neurologiques==== ==== Détresses ventilatoires ==== ====Détresses circulatoires==== Les détresses circulatoires sont aussi appelées ''états de choc'' ce qui porte parfois à confusion les non-initiés qui l'assimilent à des troubles anxieux. Il faut distinguer plusieurs détresses circulatoires : * Les '''états de choc hypovolémiques''' qui correspondent schématiquement à une problématique de "contenu" de la circulation. Il s'agit des hémorragies massives et des déshydratations sévères. * Les '''états de choc cardiogéniques''' correspondant à des problèmes de « pompe » cardiaque. Ce sont les insuffisances cardiaques avec répercutions hémodynamiques. * Les '''états de choc vasoplégiques''' qui représentent des troubles du "contenant" suite à une défaillance cérébrale, une intoxication ou une inflammation. On y trouve : **l'anaphylaxie grave ; **le sepsis avec complications hémodynamiques ; **le collapsus de reventilation ; **le choc médullaire. ===== Choc hémorragique ===== L'état de choc hémorragique est consécutif à une spoliation sanguine. Une perfusion tissulaire efficace dépend de la pression artérielle mais aussi du transport effectif des molécules d'oxygène. Autrement dit, le traitement de choix est la réalisation d'une hémostase dans les meilleurs délais associé le cas échéant à un remplissage vasculaire par des produits dérivés du sang. Mais en pratique l'accès conditionné à {{Pas clair|cette thérapeudique}} oblige l'OS à un rétablissement hémodynamique par le remplissage par des solutés non dérivés du sang et des vasopresseurs. La crainte de l'OS est d'aggraver le saignement suite une coagulopathie par hémodilution et hypothermie induite ou suite à une élévation excessive de la pression artérielle. * '''Objectifs tensionnels''' : ** ''Choc hémorragique sans traumatisme crânien grave'' : 80<PAS<90 mmHg ou 60<PAM<65 mmHg ; ** ''Choc hémorragique associé à un traumatisme crânien grave :'' PAS>120 mmHg. * '''Choix du soluté de remplissage''' : ** ''Cristalloïdes'' : pouvoir expansif de 0.25 ; innocuité ; faible coût. ** ''Gélatines'' : pouvoir expansif de 0.8 pendant {{unité|4|{{abréviation|h|heure}}}} ; assez allergénique. ** ''Hydroxyéthylamidons'' : pouvoir expansif de 1.3 pendant {{unité|24|{{abréviation|h|heure}}}}, peu allergénique ; antiagrégant plaquettaire ; utilisation limitée à {{unité|33|{{abréviation|ml/kg/{{unité|24|{{abréviation|h|heure}}}}|millilitre par kilogramme et par 24 heures}}}}. En pratique : ** ''Tachycardie sans hypotension'' (pertes <20%) : remplissage par cristalloïdes. ** ''Hypotension'' (pertes >20%) : remplissage par colloïdes. Il est admis qu'au-delà de {{Unité|3|litres}} d'apport de solutés, la victime a 9 risques sur 10 de présenter des troubles de coagulation. * '''Usage des vasopresseurs''' : si les objectifs tensionnels ne sont pas atteints rapidement par l'unique remplissage, le médecin sapeur-pompier peut introduire de petites doses de noradrénaline. Débuter à 0.5 mg/h. Par ailleurs, l'OS ne doit pas minimiser l'importance de réchauffer la victime, pour limiter les troubles de coagulation. * '''Mesures adjuvantes''' : en cas de victimes sous AVK, avec ou sans INR disponible, certains proposent 25 UI/kg de facteur IX systématiques. L'oxygénothérapie est systématique. Si la plaie vasculaire est accessible, il est indispensable de la suturer, de la clamper ou de la comprimer. '''En cas de choc hémorragique post-traumatique, l'urgence est l'évacuation sur un bloc opératoire.''' ==== Traumatismes crâniens ==== ====Traumatismes rachidiens==== ==== Traumatismes thoraciques ==== ====Traumatismes abdominaux==== ==== Traumatismes du bassin ==== ==== Traumatismes de membre ==== ==== Polytraumatismes ==== ==== Traumatismes de l’enfant ==== ====Traumatismes de la personne âgée==== ==== Traumatismes lié à un incendie ==== ====Coup de chaleur d’exercice==== Le coup de chaleur d’exercice (CCE) est un risque bien mal connu des sapeurs-pompiers qui l’assimilent à tort à l’affection ayant touché en 2003 des centaines de personnes et que l’on doit nommer coup de chaleur « classique ». À l’instar de ce dernier, le CCE touche le plus souvent des personnes jeunes sans aucun antécédent au cours d’un effort intense. Ainsi les soldats du feu sont régulièrement touchés par ce phénomène aux mécanismes imprécis mais bien connu des services de santé et de secours médicaux (SSSM). Le plus souvent, le CCE survient durant un effort soutenu mais dans des circonstances des plus banales (lutte contre un incendie, mise en sécurité, déblai…). La victime présente brutalement un malaise, autrement dit des troubles de conscience, et souvent au péril de sa vie ou de celle d’autrui. De plus les symptômes sont parfois plus fourbes et il faut toute l’expérience de l’officier santé au soutien sanitaire pour identifier le CEE et prodiguer des premiers soins adaptés. En effet, la victime peut ne présenter que des troubles du comportement à type de confusion, désorientation voir simplement des troubles de l’humeur. Enfin ces symptômes peuvent apparaître avec un certain délai après l’effort. Le diagnostic sera établi sur le constat d’une peau très chaude et sèche, d’une tachycardie, d’une température supérieure à {{Unité|40|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et fréquemment de vomissements. Sans traitement et surtout si l’effort a été violent et bref (moins d’une heure) l’évolution peut être dramatique avec la constitution d’un coma, d’une détresse respiratoire et d’une chute de la tension artérielle et ''in fine'' la mort. On trouve ici l’essence même du soutien sanitaire. Car la prise en charge des victimes d’un CCE est une urgence absolue et repose, en autre, sur un refroidissement actif. Celui doit être mise en œuvre sur le terrain même, afin de normaliser, le plus précocement possible la température interne. Les objectifs du SSSM sont de favoriser les pertes thermiques de la victime et de limiter le gain de chaleur. Il s’agit de consommer de la chaleur par évaporation d’une eau préalablement mise au contact de la peau. Ceci est habituellement le rôle de la sueur. La vaporisation d’eau sur le corps, la pose de packs de glace où cheminent de gros vaisseaux sanguins (pli de l’aine, cou…) et la perfusion de liquide froid n’ont pas fait preuve d’efficacité. Aujourd’hui, la technique la plus efficace est l’immersion de la victime dans l’eau froide même si le procédé peut paraître difficile à mettre en œuvre sur le terrain. Cependant, le soutien sanitaire ne cesse de progresser et certains SSSM comme celui du SDIS des Yvelines possède des « fauteuils de réhabilitation » (Rehabchair®) qui permettent une assise confortable avec l’immersion des avant-bras dans des accoudoirs creux remplis d’eaux glacées. Ce refroidissement actif est optimisé par l’immersion des pieds dans une bassine et l’établissement de ces fauteuils à l’ombre et dans un courant d’air qui peut être entretenu par un ventilateur d’extraction de fumées. Ces fauteuils apparaissent comme des dispositifs incontournables dans la prise en charge des soldats du feu victimes d’un coup de chaleur d’exercice. ==== Traumatismes liés au froid ==== ====Traumatismes d'immersion==== ==== Traumatismes lié à la plongée subaquatique ==== ====Traumatismes lié à l'altitude==== ==== Traumatismes lié aux accidents de circulation routière ==== ==== Traumatismes lié à une chute de grande hauteur ==== ====Traumatismes pénétrants==== ==== Traumatismes lié à une explosion ==== ====Traumatismes lié à un ensevelissement==== ==== Traumatismes lié à l'électrisation et le foudroiement ==== ===== Accidents liés à l'usage d'appareils de défense incapacitants neuromusculaires ===== Le plus connu est le ''TASER''. Il existe deux modes de fonctionnement. Le premier créé une paralysie musculaire, le second entraine une stimulation douloureuse sans paralysie. Ces deux modes peuvent être à l'origine d'effets secondaires graves : des troubles du rythme graves comme la TV ou la FV. Un cas de conversion de FA a été rapporté. ===== Foudroiement ===== Les accidents liés à la foudre (fulgurations) sont responsables en France d'une quinzaine de décès par an, des chiffres probablement sous-estimés mais qui attestent du caractère rarissime du phénomène. Cependant, les SP pourraient y être de plus en plus confrontés avec l'émergence des nouveaux loisirs de plein air. '''Physiopathologie :''' Les courants produits ont une intensité qui varie entre {{formatnum:12000}} et {{formatnum:200000}} ampères et une différence de potentiel de 1 million de volts. Le flash produit peut atteindre une température de {{Unité|30000|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Le courant de foudre peut soit traverser le corps de la victime, soit parcourir la surface de la peau par la formation d'un arc de contournement. Le trajet du courant passe de la partie la plus culminante (tête ou membre supérieur) aux pieds ou d'un pied à l'autre par propagation horizontale d'une foudre tombée à proximité (tension de pas). Les fulgurations collectives par propagation d'une personne à l'autre restent anecdotiques. Par contre le foudroiement par la ligne téléphonique n’est pas rare. On distingue donc classiquement les lésions directes d'électrisation des lésions indirectes liées à la libération thermique, lumineuse et sonore, au blast toujours associé ou à l'éventuelle chute occasionnée. '''Signes cliniques :''' L'absence de détresse ne doit pas à elle seule remettre en question le mécanisme lésionnel. Signes cardio-vasculaires : * troubles du rythme communs à toute électrisation cardiaque dont la fibrillation ventriculaire ; * asystolie ; * SCA ; * thromboses vasculaires. Signes respiratoires : * apnée transitoire ou définitive d'origine centrale ; * blasts broncho-pulmonaires et pleuraux. Signes neurologiques et psychiatriques : ''Symptomatologie immédiate :'' * troubles de conscience de profondeur variables : du trouble du comportement au coma (suffusions hémorragiques, nécroses gliales…) ; * amnésie antérograde ; * déficits moteurs généralement temporaires ; * déficits sensoriels : amaurose, surdité, anosmie souvent résolutifs ; * spasmophilie. ''Symptomatologie retardée :'' * stress post-traumatique, syndrome dépressif, insomnie, phobie... ; * myopathie, SLA, Parkinson, démence... Signes cutanés : * brûlures dites de Lichtenberg (brûlures superficielle en feuille de fougère) ; * brûlures profondes souvent circulaires et prédominant aux extrémités ; * brûlures par arc électrique et fusion métallique. Lésions ophtalmiques : * kératite, ulcérations cornéennes, conjonctivites, cataracte ; * choriorétinite, hémorragies vitrées. Lésions auditives : * destruction tympanique et de l'oreille moyenne ; * atteinte du nerf auditif, lésion vasculaire vestibulaire ; * brûlure du conduit auditif externe par foudroiement "téléphonique". Autres lésions : * lésions traumatiques de chutes et de blast ; * mort fœtale in utero ; * insuffisance rénale de nécrose tissulaire massive. '''Prise en charge''' : Elle est aspécifique et le traitement symptomatique. Il est indispensable de se rappeler que : '''Le foudroyé est polytraumatisé jusqu'à preuve du contraire.''' ==== Traumatismes lié à aux piqûres et aux morsures ==== ====Traumatismes lié à l'irradiation==== ==== Traumatismes lié à une agression chimique ==== ====Urgences cardiologiques==== Diagnostic différentiel de douleur thoracique : * ''Le syndrome de Boerhaave'' : rupture spontanée de l'œsophage survenant à la suite de manœuvres de réanimation cardio-vasculaires, d'intubation, de pose de sonde gastrique ou de d'IDM. Le risque est une médiastinite grave. Le diagnostic doit être évoqué sur le triade de Mackler (DT rétrosternale basse, vomissement et emphysème sous-cutané) pouvant être associé à une dyspnée, une hématémèse voire un état de choc. La sanction est chirurgicale. ==== Urgences infectieuses ==== L'unique urgence infectieuse justifiant une prise en charge spécifique préhospitalière est la méningo-encéphalite bactérienne. Les signes évocateurs sont : * détresse neurologique : troubles de conscience, convulsion, signes focaux, fontanelle bombée ; * syndrome méningé : céphalées, raideur de nuque, nausées, vomissement, photo-phonophobie, Kerning, Brudzinski ; * détresse circulatoire ; * signes infectieux : fièvre, purpura. '''Antibiothérapie préhospitalière''' : céfotaxime 50 mg/kg IV sur {{unité|1|{{abréviation|h|heure}}}} ou ceftriaxone 75 mg/kg IVL. '''Corticothérapie préhospitalière''' : 10 mg chez l'adulte ou 0,15 mg/kg chez l'enfant. ==== Intoxications ==== ===== Intoxication aux organophosphorés ===== Elles représentent {{formatnum:40000}} décès par an. Il s'agit d'autolyse par pesticides agricoles ou de victimes de neurotoxiques de guerre comme le gaz sarin. '''Signes cliniques :''' * ''Symptomatologie neurologique'' : myosis, troubles de l'accommodation, fasciculations, parésies, paralysies, crampes, mouvements involontaires, convulsions, troubles de conscience et dépression respiratoire ; * ''Symptomatologie respiratoire'' : bronchospasme avec hypersécrétion et oppression thoracique évoquant un OAP ; * ''Symptomatologie cardio-vasculaire'' : hypotension, bradycardie, tous troubles du rythme et état de choc ; * ''Symptomatologie digestive'' : vomissements, spasmes gastro-intestinaux, incontinence urinaire et fécale. '''Thérapeutique :''' * ''Décontamination cutanéo-muqueuse'' par déshabillage et lavage de la peau à l'eau javellisée et des muqueuses au Dakin dès que possible ; * ''Traitement symptomatique'' : la kétamine est recommandée et l'IOT doit se faire la main forcée. ==== Accouchement inopiné ==== En France, 5 accouchements sur {{formatnum:1000}} sont inopinés. On entend par accouchement inopiné, un accouchement réalisé en dehors de la maternité, ce qui est devenu hors norme dans les pays occidentaux. Cependant de nombreuses "petites" maternités ferment… Dans ces cas-là, les secouristes sont engagés initialement sur un accouchement en cours, un accouchement imminent, une douleur abdominale chez une femme enceinte ou une perte des eaux… En pratique, la problématique des sapeurs-pompiers, OS ou non, confrontés à une douleur abdominale d'une parturiente se résume à 3 questions : # ''Les douleurs abdominales sont-elles des contractions utérines ?'' # ''La parturiente est-elle en travail ?'' # ''L'accouchement est-il imminent ?'' Avant d'y répondre, le chef d'agrès doit établir un bilan circonstanciel qui doit être complet mais relativement rapide. '''Les antécédents de la parturiente''' à rechercher sont : * ''Parité ? Nombre de geste ?'' La parité est le nombre d'enfants nés vivants. Les gestes sont les grossesses menées au-delà de 6 mois. Plus le nombre de geste est grand, plus le travail est efficace et rapide. * ''Déroulement des grossesses antérieures ?'' Nombreuses pathologies de grossesse sont récidivantes * ''Antécédents cardiaques ou hématologiques ?'' L'accouchement constitue une épreuve d'effort et est souvent compliqué d'hémorragie. * ''Séropositivité ?'' Cette question est délicate mais peut faire prendre quelques mesures spécifiques. * ''Traitement en cours ?'' Il peut mettre en évidence des pathologies non énoncées précédemment. '''L'histoire de la grossesse en cours''' est à préciser : * ''Suivi ?'' Le lieu de suivi est toujours riche d'enseignement pour le régulateur médical. * ''Terme théorique ?'' Une naissance durant les 3 dernières semaines n’est pas prématurée. * ''Gémellité éventuelle ?'' Les moyens seront à adapter aux nombres de "victimes" * ''Grossesse pathologique ?'' La destination peut en être affectée. * ''Derniers mouvements fœtaux ?'' Cette question peut être anxiogène et ne doit pas être posée. Mais si la parturiante les mentionne ils sont à relever. * ''Dernières échographies ? Présentation ? Insertion placentaire ?'' Les résultats peuvent entraîner quelques nécessités. * ''Perte du bouchon muqueux ? Perte des eaux ? Liquide méconial ?'' Ces éléments donnent une certaine idée de l'évolution du travail même s'il n'existe pas de chronologie exacte entre la rupture de la poche des eaux et l'expulsion. Le bouchon muqueux est une glaire épaisse plus ou moins souillée de sang qui ferle le col utérin et qui tombe avec les modifications du col. Cette chute peut faire croire à la primipare à la perte des eaux. Un aspect de "vase" du liquide amniotique (l.méconial) permet d'anticiper une certaine souffrance fœtale. '''1- Les douleurs sont-elles des contractions utérines ?''' Toutes les douleurs abdominales de la parturiente ne sont pas des contractions utérines. Elles peuvent être consécutives à un étirement ligamentaire, des troubles digestifs, une colique néphrétique, un mouvement fœtal... La contraction utérine est ressentie comme une crampe abdominale mais aussi parfois dorsale. Elle apparaît et s'estompe progressivement et surtout elle est associée à un durcissement du ventre. Notons que les contractions peuvent être ressenties différemment d'une grossesse à l'autre et qu’il n'y a pas toujours de conviction maternelle. Elles ne sont parfois pas ressenties comme une douleur. '''2- La parturiente est-elle en travail ?''' Les contractions sont fréquentes durant la grossesse et ne reflète pas toujours un travail. En pratique : * Plus les contractions sont longues (> 1min) et plus il semble que ce soit un vrai travail ; * Plus les contractions sont douloureuses et plus il semble que ce soit un vrai travail ; * Plus l'intervalle entre deux contractions est court (< 5min) et plus il semble que ce soit un vrai travail ; * Plus la période douloureuse est longue (> {{unité|3|{{abréviation|h|heure}}}}) et plus il semble que ce soit un vrai travail. Ces grands principes ne sont pas des règles absolues et le médecin sapeur-pompier peut évaluer la dilatation du col ({{Unité|10|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} = dilatation complète) et la présentation par un toucher délicat avec un doigtier stérile. On rappelle qu'en cas de saignement, le TV est contre-indiqué. '''3- L'accouchement est-il imminent ?''' En cas de travail, le score de Malinas peut aider à la décision d'un transport ou à une préparation à l'accouchement in situ. {| class="wikitable" |- !Score de Malinas |- | Cotation || O || 1 || 2 |- | Gestité || 1 || 2 || >2 |- | Durée du travail || <{{unité|3|{{abréviation|h|heure}}}} || 3 à {{unité|5|{{abréviation|h|heure}}}} || >{{unité|5|{{abréviation|h|heure}}}} |- | Durée des contractions || <1 min || 1 min || > 1min |- | Intervalle entre contractions || >5 min ||3 à 5 min || >5 min |- | Perte des eaux || non || <{{unité|1|{{abréviation|h|heure}}}} || >{{unité|1|{{abréviation|h|heure}}}} |} Un score inférieur à 5 indiquerait plutôt un accouchement imminent et un score supérieur à 5 serait favorable un transport. Cela dépend évidemment du temps de transport. Quoiqu’il en soit une envie impérieuse d'aller à la selle ou une tête visible contre-indique un transport. '''En cas de transport :''' Le temps du brancardage est minimisé par une présentation initiale auprès de la parturiente avec la ''chaise''. De même, il revient à l'officier santé de faire le choix entre une pose de voie veineuse pendant l’interrogatoire ou pendant le transport. L'idéal est une voie de gros calibre (14 ou 16G) mais l'essentiel est une voie perméable même de calibre moindre. Le soluté peut être du sérum physiologique ou du ringer lactate. La parturiente doit être installée pieds en avant dans le VSAV et dans une cellule préchauffée à {{Unité|25|°C}}. Le transport est réalisé sous 6L/min d'oxygène. '''La destination est une décision médicale multifactorielle après consensus entre le régulateur et le médecin SP''' '''En cas d'accouchement imminent''' ==== Assistance ventilatoire ==== L'officier santé doit connaitre l'essentiel de l'assistance ventilatoire que son exercice amène à mettre en œuvre (MSP, IASP) ou à surveiller (IDE). La ventilation spontanée est l'alternance d'une dépression thoracique résultante de la contraction du diaphragme (inspiration par pression négative) et d'une surpression occasionnée par le retour "élastique" de l'appareil thoraco-pulmonaire à une position initiale (expiration) parfois aidé du travail de muscles accessoires. Le principe de la ventilation artificielle (assistance ventilatoire) est une ventilation en pression positive par un respirateur (mieux nommé "ventilateur"). En effet, l'inspiration est assurée par une surpression du respirateur vers la victime via le tuyau inspiratoire du "circuit patient". L'expiration reste passive et identique à l'expiration de la ventilation spontanée, permise par l'ouverture d'une valve du tuyau expiratoire et indépendante du respirateur. La ventilation artificielle est donc antiphysiologique, expose la victime à une pression moyenne plus importante (avec un risque barotraumatique), et est hémodynamiquement contraignante. Les paramètres ventilatoires : * '''le volume courant (Vt)''' est le volume insufflé. Le volume standard doit être de 8-{{unité|10|{{abréviation|mL/kg|millilitre par kilogramme}}}} ; * '''la fréquence (Fc)''' de la répétition des cycles machines doit être comprise entre 12 et 15 cycles en moyenne chez l'adulte ; * '''la ventilation minute (VM) est le produit du volume courant par la fréquence : VM = Vt * Fc ;''' * '''le temps inspiratoire ;''' * '''le rapport I/E''' est le rapport du temps inspiratoire sur le temps expiratoire. === Urgences collectives === ==== Risques et menaces ==== =====Risques d’ACEL ===== =====Risques et Menaces NRBC===== ==== Stratégie ==== ===== Organisations des secours : de l’état au département ===== =====Organisation des secours sur ACEL===== =====Organisation des secours===== ===== Gestion opérationnelle et commandement d'un secteur SAP ===== Le développement considérable des SSSM de ces dernières années ne cantonne plus l’Officier Santé (OS) en opération, à l’unique rôle de conseiller technique du Commandent des Opérations de Secours (COS). Ainsi, l’infirmier ou le médecin sapeur pompier se voient confier de plus en plus souvent la responsabilité du secteur « secours à personne » (SAP). Il est donc devenu indispensable que ces derniers sachent prendre un commandement, suivre un raisonnement tactique, donner un ordre et rendre compte. Or le cursus habituel des personnels du SSSM est bien loin de ces considérations et l’acquisition de cette capacité, qui doit d’ailleurs être reconnue par l’ensemble de la chaîne de commandement pour être efficiente, est bien souvent une étape difficile pour ne pas dire douloureuse. En ce sens, l’école nationale supérieure des officiers Sapeurs Pompiers forment les OS à cette nouvelle dimension du métier. Nous proposons ici de revenir sur quelques notions essentielles. Nos propos s’inscrivent dans l’algorithme suivant : Ordre de départ et transit sur les lieux ↓ Arrivée sur les lieux ↓ Présentation au PC ↓ Ordre initial du COS aux chefs de secteur ↓ Raisonnement tactique ↓ Ordre initial du chef de secteur SAP aux chefs de sous-secteur ↓ Compte rendu du chef de secteur SAP au COS ↓ Contrôle de l’exécution ↓ Ordre de conduite ↓ Compte rendu du chef de secteur SAP au COS ↓ …/… ↓ Fin de l’opération Ordre de départ et transit sur les lieux : l’OS recevant son ordre de départ doit non seulement considérer le motif et le sinistre en cours mais aussi le point de rassemblement et les moyens engagés pour connaitre entre autres le dimensionnement des secours et l’activation éventuelle d’un poste de commandement. L’évolution dans le temps de ces données nécessite la veille des transmissions radios pendant le transit. Arrivée sur les lieux : l’OS à son arrivée ne doit pas chercher une proximité avec le sinistre mais s’orienter vers le Poste de commandement si celui-ci est déjà activé. De la même manière, la priorité n’est pas dans l’approche d’éventuelle(s) victime(s) mais dans la prise de contact avec le COS. Rappelons que celui-ci est identifiable par une chasuble jaune et que le personnel le plus gradé sur les lieux n’a pas forcément pris le COS. Notons aussi que le COS peut être en reconnaissance du sinistre et n’est pas forcément au PC. Dans ce cas vous devez alors vous présenter d’abord au PC. Présentation au PC : l’OS, non seulement signal son arrivée mais prend connaissance du nombre de personnels engagés et de l’horaire de début des opérations pour définir les besoins en soutien sanitaire. Ordre initial du COS aux chefs de secteur : le COS énonce l’ordre initial en s’appuyant sur la célèbre anagramme SOLIEC et vous nomme chef de secteur SAP. Raisonnement tactique : sur la très grande majorité des sinistres, votre raisonnement tactique s’articule autour de deux grands axes : la prise en charge des victimes et le soutien sanitaire des personnels engagés. Ordre initial du chef de secteur SAP aux chefs de sous-secteur ↓ Compte rendu du chef de secteur SAP au COS ↓ Contrôle de l’exécution ↓ Ordre de conduite ↓ Compte rendu du chef de secteur SAP au COS ↓ …/… ↓ Fin de l’opération La prise en charge des victimes Nous n’envisagerons ici la prise en charge des victimes que sur le plan de l’organisation des secours et ne nous ne considérerons pas les soins portés aux victimes. En ce sens, sauf cas de force majeure, l’OS ne dispensera aucun soin mais devra tout mettre en œuvre pour que ces soins soient délivrés par les équipes SAP (VSAV, SMUR, VLI, Associatifs…). Nous n’envisagerons pas non plus l’organisation de ce secteur dans le cas d’un nombre conséquent de victimes graves car ce cas de figure relève du Plan rouge. L’OS doit connaître l’avancement des reconnaissances et des mises en sécurité afin de quantifier autant que possible le nombre d’impliqués susceptibles de devoir être triés. L’OS doit identifier les risques encourus et persistants pour prévoir les lésions plausibles et anticiper leur traitement. L’OS doit établir un point de rassemblement des victimes (PRV) et deux zones « UA » et « UR ». Le PRV se veut être un lieu de passage obligatoire des victimes. Il a pour rôle l’accueil, l’abri, le regroupement et le recensement de celles-ci mais surtout le triage et les premiers soins essentiels des blessés et leur mise en condition pour leur évacuation sur les hôpitaux d’accueil. Les impliqués sont transportés du sinistre au PRV par les moyens de reconnaissance. Au PRV se tient un recensement et un poste de triage. L’écueil de l’OS est souvent de vouloir jouer ces rôles. Il doit apprendre à déléguer. Le recensement est le point clef du recueil des informations destinées au COS. Il vérifie l’attribution à chaque victime d’une fiche de renseignement (véritable dossier médical) qui la suivra jusqu’à la fin des opérations. Une traçabilité informatique en temps réel avec attribution d’un code bar à chaque victime est possible. Après le triage réalisé par un deuxième OS, les victimes sont catégorisées en Urgences Relatives (UR), Urgences Absolues (UA) ou en Impliqués. Les UR sont conservées au PRV, les UA doivent être confiés au SMUR (Une UA par équipe médicale) qui les prend en charge dans l’ambulance, les impliqués doivent impérativement être « écartés » du PRV. Quoique très souvent complexe, ce dernier point est essentiel à une bonne gestion opérationnelle du PRV. La complexité réside dans la séparation des familles. Comment séparer les enfants de leurs parents ou les incapables majeur de leur « tuteur » ? C’est parce que cette séparation n’est pas toujours réalisable que l’attribution d’une fiche de l’avant est impérative. La réalisation d’un élément identificatif des accompagnants doit être étudiée. Le choix de l’emplacement du PRV ne doit pas relever du hasard mais d’une concertation entre L’OS et le COS avisés si besoin par des techniciens et sous autorisations éventuelles des autorités locales. En effet, ce choix doit répondre à de nombreux critères, idéalement anticipé par les premiers intervenants. L’installation doit à la fois se faire à proximité du sinistre pour limiter les distances de brancardage mais aussi en sécurité hors d’atteinte de tout risque évolutif, de menace persistante ou d’intempéries. Le PRV doit être accessible aux moyens d’évacuation. Le PRV est avant tout un abri. Si des structures en dure sont disponibles, il faut préférer l’ergonomie et le confort de grandes surfaces non cloisonnées offrant autant que possible éclairage, chauffage ou climatisation, prises de courant électrique, points d’eau et sanitaires. Elles doivent offrir si possible un seul accès et assurer un isolement efficace contre les « nuisances extérieures » : familles, média, curieux…Ainsi font souvent office de PRV les salles des fêtes, les écoles, les gymnases, les commerces, les gares et halls d’aéroport… Mais le bon sens doit prévaloir. Si les conditions climatiques sont favorables et que les évacuations s’annoncent relativement rapides, il faut savoir se « contenter » d’un PRV répondant à l’essentiel. Ainsi le PRV n’est parfois qu’une simple étendue de pelouse, une cour d’immeuble, un quai de gare… Si le sinistre a lieu en « rase campagne », les secours peuvent faire le choix d’un système modulaire. Système modulaire : C’est généralement une tente en toile plastifiée avec un sol étanche. Les contraintes des systèmes modulaires sont liées à leur conditionnement et leur acheminement sur le site. Le poids et le volume des tentes, même démontées, sont considérables et il faut faire appel à des moyens de transport conséquents. Les délais d’édification de ces modules (éclairage, chauffage, annexes et balisage compris) sont une autre contrainte mais sont de nos jours inférieurs à 30 minutes par des personnels entraînés (hors temps d’acheminement sur site). La capacité des tentes les plus courantes permet la prise en charge de 20 UR simultanément. Si la sectorisation des impliqués est une tâche complexe, le maintien de l’ordre du PRV puis de la zone « UR » n’en est pas moins difficile. En effet, contrairement aux victimes de la zone « UA », les « UR » restent dans la capacité de déstabiliser par plusieurs moyens l’ordre en zone UR. En effet, le « UR » restent mobiles et ne restent pas forcément à la place que vous leur avez désigné, les UR se font rejoindre par des proches non impliqués par le sinistre mais résignés à rester ensemble, les UR sont des cibles recherchées des journalistes, les UR sont parfois l’objet d’enquête de police précoce, les UR sont non seulement demandeur de soins mais exige un certain service public et refuse souvent d’attendre, les UR sont souvent des fumeurs qui ne peuvent attendre de fumer, les UR sont souvent des malades qui ne peuvent se dispenser de leur traitement courant, les UR sont des personnes stressées et inquiètes pour leurs proches et leurs biens, les UR finiront par avoir soif et fain, les UR sont susceptibles de devenir des UA. Sans une bonne organisation, la zone des « UR » peut vite devenir une zone ingérable. Il faut donc suivre quelques règles simples, la zone UR doit au mieux être fermée, équipée de WC et de moyens d’assise, climatisée,… Il est inenvisageable de choisir ces lieux au moment de l’arrivée des victimes, ce choix doit être anticipé et accepter souvent de prévoir pour rien. Le recours aux forces de l’ordre est souvent insuffisant. Le rassemblement des « simples » impliqués, souvent confiée aux secours associatifs, permet un décompte précis des personnes et d’aboutir soit à la poursuite des reconnaissances en cas de personne(s) portée(s) manquante(s) soit au contraire au désengagement des personnels de reconnaissance et limiter les risques de « sur-accident ». Ce rassemblement participe aussi au « désamorçage » de mouvements de panique et facilite la surveillance des impliqués et le « reclassement » éventuellement de certains éclopés en UR. Les zones de trie et d’UR sont souvent confondues, et il est primordiale de différencier à tout instant les « triés » des « à trier », l’emploi des fiches de l’avant est lui aussi insuffisant. Un registre doit être scrupuleusement tenu pour renseigner le COS et ''in fine'' les autorités. ===== Alerte des populations ===== Alerter la population d'une menace imminente est une préoccupation de toujours des pouvoirs publics. Depuis la Seconde Guerre mondiale, le cléron et le tocsin ont fait place aux sirènes composant le Réseau National d'Alerte (RNA) et avertissant les habitants de se rendre aux abris à l'approche de bombardiers. Aujourd'hui, il nous est rappelé chaque premier mercredi du mois à midi que le système n'a guère évolué. Il est fort à parier que la grande majorité des citoyens n'en connaissent pas la signification. On estime que, sur les {{formatnum:4300}} sirènes du RNA, seules {{formatnum:3800}} sont en état de fonctionner et que bon nombre d'entre elles sont promises au démantèlement. L'expansion des zones urbaines n'a pas été suivie d'un redéploiement du RNA. Ce réseau est directement dépendant de l'électricité et du réseau filaire de France Télécom et peut donc être inutilisable dans certaines circonstances. Devant la multitude des risques et des menaces pesant sur les populations, ce système "binaire" ne peut préciser les conduites spécifiques à tenir. Une modernisation s'imposait. Depuis 2009, le bureau de l'alerte, de la planification et de la préparation aux crises de la direction de la sécurité civile met en œuvre un nouveau '''Système d'Alerte et d'Information aux Populations (SAIP)'''. Son déploiement, estimé à 80 milions d'euros, est prévu pour 2013 et devrait être accompagné d'une campagne de sensibilisation. Les centres opérationnels (CODIS, COZ, COGIC) transmettront l'alerte et l'information via le ''système ANTARES'' bien connu des SP mais ''les médias'' seront eux aussi des partenaires incontournables. Les matériels, instalés en réseau, pourront être mis en œuvre simultanément et devront permettre une grande modularité d'alerte et d'information. Les autres technologies étudiées sont : * ''La diffusion cellulaire'' : envoie de messages textuels (SMS) sur les portables d'une même zone géographique ; * ''Les automates d'appels'' : envoie de messages préenregistrés à vers une liste de numéro de téléphone prédéfinie ; * ''Les panneaux à message variable'' du réseau routier ; * ''Le système d'alerte de secours'' intégré au RDS (radio data system) des autoradios ; * ''Le système Ecall'' : composition automatique du 112 avec transmission des coordonnées GPS. Les Allemands envisagent d’utiliser le mode "réception" de ce système par le déclenchement des klaxons de tous les véhicules d'une zone géographique choisie ; * ''L'alertbox'' : boîtier domestique en réseau filaire optique pouvant diffuser des messages vocaux, textuels et/ou lumineux. Le SAIP sera vraisemblablement composé de plusieurs de ces systèmes. L'enjeu n'est plus d'alerter mais d'informer en urgence et en situation de crise. ===== Brûlés en nombre ===== ==== Tactiques ==== ===== Chaîne médicale des secours ===== ====== PMA (Hors risques NRBC) ====== Lors d’un accident collectif, les secours doivent dès la confirmation d’un nombre conséquent de victimes (ou de très haut risque de survenue), adopter une configuration exceptionnelle. Sur le site même du sinistre sont établis deux organisations complémentaires : une chaîne incendie sauvetage et une chaine médicale. Le Poste Médical Avancé (PMA) est le maillon central de cette dernière. Le PMA se veut être un lieu de passage obligatoire des victimes. Il a pour rôle l’accueil, l’abri, le regroupement et le recensement de celles-ci mais surtout le triage et les premiers soins essentiels des blessés et leur mise en condition pour leur évacuation sur les hôpitaux d’accueil. Si l’établissement du PMA peut précéder l’arrivée des blessés, il fait le plus souvent suite à la réorganisation d’un Point de Rassemblement initial des Victimes (PRV). Les blessés sont transportés du sinistre au PMA par des moyens de ramassage qui constituent la petite noria. À l’entrée de ce PMA se tient un secrétariat et un poste de triage. Le secrétariat est le point clef du recueil des informations destinées au directeur des secours médicaux et ''in fine'' aux autorités. Il vérifie l’attribution à chaque victime d’une fiche de renseignement (véritable dossier médical) qui la suivra jusqu’à l’hôpital d’accueil. Une traçabilité informatique en temps réel avec attribution d’un code bar à chaque victime est actuellement à l’étude au sein de la Brigade. Après le triage réalisé par un médecin, les victimes sont dirigées vers un lieu de soins sectorisé en fonction de leur catégorisation en Urgences Relatives (UR) ou Urgences Absolues (UA). Le secteur des UA, doté en matériel et en personnels de réanimation est un lieu de soins intensifs. Les UR dont les soins ne sont pas prioritaires sont soumises à une surveillance stricte en prévision d’éventuelles complications. La sortie du PMA donne sur le secteur évacuations. Celles-ci doivent se faire vers des établissements hospitaliers adaptés aux traumatismes de chacun en veillant à ne pas « saturer » ces services. Cette régulation est le plus souvent la mission du SAMU. Ces transferts sont réalisés généralement par ambulances et par moyens héliportés et constituent la grande noria. '''Annexes du PMA''' : Les secours doivent pouvoir disposer les cas échéants, d’un dépôt mortuaire, d’un lieu de rassemblement des impliqués et d’un magasin de distribution. Le dépôt mortuaire est un lieu de recensement et d’identification des dépouilles. Cette mission est dévolue aux autorités judiciaires. Le rassemblement des « simples » impliqués, souvent confiée aux secours associatifs, permet un décompte précis des personnes et d’aboutir soit à la poursuite des reconnaissances en cas de personne(s) portée(s) manquante(s) soit au contraire au désengagement des personnels de reconnaissance et limiter les risques de « sur-accident ». Ce rassemblement participe aussi au « désamorçage » de mouvements de panique et facilite la surveillance des impliqués et le « reclassement » éventuellement de certains éclopés en UR. Enfin, c’est un lieu où les psychologues peuvent « initier » une prise en charge des sinistrés. Le magasin est un comptoir de distribution de petits matériels et de médicaments, pour le PMA et pour les équipes de l’avant. La direction opérationnelle du PMA comprend un officier de sapeurs pompiers, un officier PMA, désigné par le Commandant des opérations de secours (COS), et un médecin chef PMA désigné par le Directeur des secours médicaux (DSM). Au sein de la brigade, les personnels dédiés au PMA portent chasubles et brassard blancs. Le choix de l’emplacement du PMA ne doit pas relever du hasard mais d’une concertation entre le DSM et le COS avisés si besoin par des techniciens et sous autorisations éventuelles des autorités locales. En effet, ce choix doit répondre à de nombreux critères, idéalement anticipé par les premiers intervenants. L’installation doit à la fois se faire à proximité du sinistre par soucis « d’économie de noria » mais aussi en sécurité hors d’atteinte de tout risque évolutif, de menace persistante ou d’intempéries. Le PMA doit être accessible, positionné au mieux près des axes routiers usuels et d’une aire de posée d’hélicoptères. Le PMA est avant tout un abri. Si des structures en dure sont disponibles, il faut préférer l’ergonomie et le confort de grandes surfaces non cloisonnées offrant autant que possible éclairage, chauffage ou climatisation, prises de courant électrique, points d’eau et sanitaires. Elles doivent offrir si possible deux accès (entrée et sortie du PMA) mais assurer un isolement efficace contre les « nuisances extérieures » : familles, média, curieux… Ainsi font souvent office de PMA les salles des fêtes, les écoles, les gymnases, les commerces, les gares et halls d’aéroport… Mais le bon sens doit prévaloir. Si les conditions climatiques sont favorables et que les évacuations s’annoncent relativement rapides, il faut savoir se « contenter » d’un PRV répondant à l’essentiel. Ainsi le PMA n’est parfois qu’une simple étendue de pelouse, une cour d’immeuble, un quai de métro… Si le sinistre a lieu en « rase campagne », les secours peuvent faire le choix de systèmes modulaires. '''Système modulaire :''' Ce sont des tentes sont en toile plastifiée avec un sol étanche. L’identification de ce PMA doit être possible à tout moment, par chacun et depuis les airs. Les contraintes des systèmes modulaires sont liées à leur conditionnement et leur acheminement sur le site. Le poids et le volume des tentes, même démontées, sont considérables et il faut faire appel à des moyens de transport conséquents. Les délais d’édification de ces modules (éclairage, chauffage, annexes et balisage compris) sont une autre contrainte mais sont de nos jours inférieurs à 30 minutes par des personnels entraînés (hors temps d’acheminement sur site). La capacité des tentes les plus courantes permet la prise en charge de 10 UA ou 20 UR simultanément et les retours d’expérience font état de « débit » de 120 victimes dont 40 UA en {{unité|8|{{abréviation|h|heure}}}}. L’autonomie des PMA est généralement calibrée pour une durée de fonctionnement de {{unité|24|{{abréviation|h|heure}}}} même si en pratique les interventions excèdent rarement quelques heures. Les « lots PMA » comprennent des groupes électrogènes pour assurer notamment l’éclairage d’ambiance et de chaque poste de travail, la climatisation et l’alimentation des appareils médicaux. L’oxygène est l’autre facteur limitant l’autonomie. En effet, les besoins en oxygène peuvent être considérables, notamment quand il s’agit de victimes d’incendie. Ces lots proposent également de l’eau pour les boissons et les lavages (environ {{Unité|1000|litres}} par PMA), des caisses isothermes pour les médicaments thermolabiles et pour le sang destiné à être transfusé. Cette installation provisoire et de mise en œuvre relativement rapide permet donc de couvrir « la montée en puissance » des secours et des établissements d’accueil et de « réguler » les victimes. À ce titre, nos aînés ont qualifié le PMA de structure « tampon ». Le PMA, plus qu’un lieu, est avant tout une centralisation des moyens médicaux et un concept : le triage. ===== Triage ===== =====Fiche médicale de l’avant et SINUS===== ===== Rôles et moyens du SSSM ===== ====== L’Officier Santé, chef de secteur SAP ====== ==== Logistique ==== a) PSM b) Oxygène c) Hébergement et ravitaillement 5. Techniques a) Ramassage b) Mise en condition, relevage, immobilisation et brancardage c) Transmissions 6. Circonstances spécifiques a) Feux et brûlés en nombre b) Explosions c) Accidents de transport d) Accidents sous tunnel e) Accidents naturels f) Accidents industriels g) Attentats et malveillances h) Pandémies i) Psychologie des foules j) Troubles psychiques au décours des catastrophes === OPÉRATIONS IMPLIQUANT LES ANIMAUX ET LES CHAÎNES ALIMENTAIRES === ==== Besoins==== ====Moyens==== ==== Mise en pratique==== {{Bas de page | idfaculté = médecine | précédent = [[../Soutien/]] | suivant = [[../Au travail/]] }} 8akvmhrikt64kbw8g5i6qpii00n2kgg 0 47792 987542 965763 2026-10-20T17:33:26Z Crochet.david 317 987542 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = informatique | numéro = 17 | niveau = 16 | précédent = [[../Le NIOS d'Altera/]] | suivant = [[../Commande de robot mobile et périphériques associés/]] }} Nous appellerons un '''coprocesseur''' dans la suite de ce cours tout périphérique suffisamment sophistiqué pour : * faire des calculs arithmétiques au sens large * nécessiter un processeur pour être testé * éventuellement être capable d'exécuter un programme Les [[w:GPU|GPU]] (des cartes graphiques) se rangent dans cette catégorie mais aussi les processeurs mathématiques ([[w:Unité_de_calcul_en_virgule_flottante|Unités de calcul en virgule flottante (ou FPU)]]) capables de calculer des fonctions simples ou compliquées comme les fonctions trigonométriques ou les fonctions hyperboliques. == Introduction à CORDIC == L'algorithme [[w:CORDIC|CORDIC]] est un algorithme itératif permettant de faire des calculs de fonctions trigonométriques, de fonctions hyperboliques ou de fonctions linéaires. Cet algorithme est difficile à appréhender lors d'une première approche. Heureusement, utiliser un algorithme ne nécessite pas de comprendre comment il fonctionne dans les détails. Mais sa modification ou son adaptation par contre le nécessite. {{Propriété|contenu=L'algorithme CORDIC est un algorithme capable de calculer un sinus et un cosinus '''sans aucune multiplication''' ! C'est ce qui lui donne toute son importance. Avant cet algorithme on ne connaissait que les [[w:Développement_limité|développements limités]] qui eux nécessitent des multiplications et des divisions. Il faudra cependant sauvegarder quelques valeurs en mémoire pour réaliser cet algorithme. }} === Domaines d'utilisation de l'algorithme CORDIC === L'algorithme CORDIC peut naturellement être simplement utilisé pour des calculs. Pourtant, dans un livre sur les processeurs enfouis, nous ne resterons pas dans le domaine de l'abstraction. Nous allons donc lui consacrer au moins deux domaines d’applications : * robotique mobile : calcul des coordonnées x et y d'un robot se déplaçant à l'aide de deux moteurs à courant continu. Lisez [[Micro contrôleurs AVR/AVR et robotique : ASURO|AVR et robotique : ASURO]] dans un autre projet et particulièrement la section "Marier l'électronique et la cinématique" vous y trouverez des formules faisant intervenir des sinus et cosinus. * commande de moteur synchrone === Propriétés des fonctions trigonométriques === Les calculs se font avec des nombres. Puisqu'ici nous désirons étudier des "sinus" et "cosinus" et que ces nombres sont entre 0 et 1 il nous faudra réfléchir sur la façon de représenter ces nombres. C'est l’objet de la prochaine section. == Représentation des nombres à virgule == Il existe au moins deux méthodes pour faire cela : * la représentation [[w:Nombre_flottant|virgule flottante]] * la représentation [[w:Virgule_fixe|virgule fixe]] Nous allons présenter les deux méthodes même si nous avons l'intention de nous attarder beaucoup plus sur la virgule fixe. === La représentation virgule flottante === L'article [[w:Virgule_flottante|Virgule_flottante]] de wikipédia est suffisamment complet pour ne pas être repris ici. Il peut d'ailleurs être complété par la lecture de l’article détaillé sur la norme [[w:IEEE_754|IEEE 754]] correspondante. Voici en figure récapitulative le codage des nombres flottants. [[Fichier:IEEE754_Format_General.png|center|Format général de représentation des flottants]] Il existe essentiellement deux formats : {| class="wikitable" |- | || Encodage || '''S'''igne || '''E'''xposant | '''M'''antisse || Valeur d'un nombre || Précision || Chiffres significatifs |- | Simple précision || 32 bits || 1 bit || 8 bits || 23 bits || <math>(-1)^S \times M \times 2^{(E-127)}</math> || 24 bits || environ 7 |- | Double précision || 64 bits || 1 bit || 11 bits || 52 bits || <math>(-1)^S \times M \times 2^{(E-1023)}</math> || 53 bits || environ 16 |} Sur ces deux formats, seul le format simple précision sur 32 bits nous intéresse. Il peut se résumer avec la figure : [[Fichier:IEEE754_simple_precision.png|center|Format de représentation des flottants en simple précision]] Pour un nombre normalisé, le bit de poids fort de la mantisse est toujours à 1 et il n'est alors pas représenté. Il est alors qualifié de bit implicite. La conséquence est que l'expression du tableau pour la représentation 32 bits doit être comprise comme : * une différence entre le M de la formule et la Mantisse : M = 1,Mantisse * la valeur du nombre est donnée par <math>(-1)^S \times 1,Mantisse \times 2^{(E-127)}</math> Si le bit de poids fort de la mantisse (ici bit 23 implicite) est nul (en général pour un exposant décalé nul) alors le nombre est dit dénormalisé. === La représentation virgule fixe === Le format [[w:Virgule_fixe|Virgule fixe]] n’est pas normalisé contrairement au format [[w:irgule_flottante|virgule flottante]]. Le seul point commun que l’on retrouve dans tous les formats virgule fixe est qu’il est signé. Il peut donc représenter des nombres positifs ou négatifs en complément à 2. La virgule étant placée par défaut à un endroit fixe on utilise en général une notation du genre Qm.n pour le désigner où m représente le nombre de bits avant la virgule et n le nombre de bit après la virgule et donc m+n est la taille de la représentation. Par exemple nous allons utiliser un format Q3.13 dans la suite de ce chapitre. {| class="wikitable" |- ! <math>b_{15}</math> !! <math>b_{14}</math> !! <math>b_{13}</math> !! <math>b_{12}</math> !! <math>b_{11}</math> !! <math>b_{10}</math> !! <math>b_9</math> !! <math>b_8</math> !! <math>b_7</math> !! <math>b_6</math> !! <math>b_5</math> !! <math>b_4</math> !! <math>b_3</math> !! <math>b_2</math> !! <math>b_1</math> !! <math>b_0</math> |- | S || <math>2^1</math> || <math>2^0</math>|| <math>2^{-1}</math> || <math>2^{-2}</math> || <math>2^{-3}</math> || <math>2^{-4}</math> || <math>2^{-5}</math> || <math>2^{-6}</math> || <math>2^{-7}</math> || <math>2^{-8}</math> || <math>2^{-9}</math> || <math>2^{-10}</math> || <math>2^{-11}</math> || <math>2^{-12}</math> || <math>2^{-13}</math> |} Il s'agit d'un format 16 bits (3+13) et adapté à la trigonométrie en radian. {{remarque|contenu= La notation Q3.13 utilisée ici n’est pas universelle. Elle utilise donc le nombre de bits avant et après la virgule. On peut trouver dans la littérature spécialisée une notation qui utilise le nombre de bits total et le nombre de bits après la virgule. Ainsi notre notation Q3.13 devrait être remplacé par Q16.13 (nous avons trouvé aussi <16,13> dans '''Patrick R. Schaumont "A Practical Introduction to Hardware Software Codesign" Springer (2010)'''). Nous utiliserons systématiquement la première notation dans ce chapitre. }} Pour manipuler ce format nous proposons quelques utilitaires en C. Ils sont basés sur le fait que la librairie standard du compilateur C sait manipuler les nombres à virgule à partir du moment où ils sont en virgule flottante. La lecture à partir du clavier ainsi que l’affichage sur un écran de ces nombres est aussi dans la librairie standard. {{principe|contenu= Une fois le format virgule fixe choisi, il vous faut commencer par mettre au point des routines de conversions. Il vous faudra en effet tester votre travail et elle pourront servir. Le format virgule fixe n'étant pas standard dans le c, nous vous proposons des routines de conversions vers les nombres flottant que le C sait afficher. Si vous changez de format virgule fixe il vous faut commencer par modifier ces routines. }} Nous proposons donc deux routines permettant les transformations de notre format virgule fixe Q3.13 vers le format flottant. ==== Format Q3.13 vers flottant ==== Nous vous proposons deux sous-programmes destinés à une conversion du format Q3.13 vers le format float du C. Nous avons écrit ces sous-programme avec l'intention un jour de les implanter en matériel. C'est pour cela qu'ils peuvent vous paraître obscurs. En effet une simple division flottante peut naturellement faire l'affaire. Sans entrer dans les détails, nous vous proposons des sous-programmes réservés aux architectures de type PC : <syntaxhighlight lang=c> // Serge MOUTOU Avril 2013 // destiné à une architecture 32 bits et non aux AVRs ciblés // Sur un PC cela fonctionne normalement float HexQ3_13ToFloat(int val){ //conversion Q3.13 vers float float temp; int i_temp; char i; if (val < 0) i_temp = -val; else i_temp = val; temp = ((i_temp & 0x6000)>>13); for (i=0;i<13;i++) if (i_temp & (1<<i)) temp += pow(2,(i-13)); if (val < 0) return -temp; else return temp; } //******* version sans pow /************************************************** /* Ne peut pas fonctionner avec AVR car /* int et float n'ont pas la même taille !!!! /**************************************************/ float HexQ3_13ToFloat2(int val){ union { float temp; int f_temp; } u; int i_temp; unsigned char exposant=129;//,*p; signed char i; if (val < 0) i_temp = -val; else i_temp = val; for (i=15;i>=0;i--) { if (i_temp & (1<<i)) { // on efface le '1' trouvé : i_temp= i_temp & ~(1<<i); break;// on sort de la boucle } exposant--; } u.f_temp = exposant; u.f_temp <<=23; u.f_temp = u.f_temp|(i_temp << (23-i)); if (val < 0) return -(u.temp); else return u.temp; } //******* version sans pow /************************************************** /* Version pour AVR : Arduino OK et SOC OK /* Serge MOUTOU Fevrier 2019 /**************************************************/ float HexQ3_13ToFloat_AVR(int16_t val){ union { float f_temp; int32_t li_temp; } u; uint32_t i_temp; unsigned char exposant=129;//,*p; signed char i; u.li_temp = 0; if (val < 0) i_temp = -val; else i_temp = val; for (i=15;i>=0;i--) { if (i_temp & (1<<i)) { // on efface le '1' trouvé : i_temp= i_temp & ~(1<<i); break;// on sort de la boucle } exposant--; } u.li_temp = exposant; u.li_temp <<=23; u.li_temp = u.li_temp|(i_temp << (23-i)); if (val < 0) return -(u.f_temp); else return u.f_temp; } </syntaxhighlight> {{remarque| *Le type "int" du c n’est pas défini de manière standard. Il peut être sur 16, 32 ou 64 bits. Il est de 16 bits sur AVR et de 32 bits sur un PC. *Une simple division suffit à faire cette conversion : il suffit de diviser par 1 (soit 0x2000 en Q3.13). Nous avons choisi ces méthodes un peu complexe avec l'idée derrière la tête, de les matérialiser un jour }} La deuxième routine n'utilisant pas "pow" n'a pas beaucoup d'intérêt pour un PC. Mais elle a été développée en vue d'un portage sur AVR, ce qui a été fait quelques années après (2019). Comme nous l'avons énoncé au tout début de cette section, une simple routine universelle pourrait donc être réalisée par : <syntaxhighlight lang=c> // Serge MOUTOU Juin 2018 // destiné à une architecture quelconque float HexQ3_13ToFloat3(int val){ //conversion Q3.13 vers float return (val * 1.0 / (0x2000)); // 0x2000 = 1 en Q3.13 } </syntaxhighlight> Attachons-nous maintenant à la transformation inverse. ==== Format flottant vers Q3.13 ==== La transformation du format flottant vers le Q3.13 se fait par : <syntaxhighlight lang=c> // Serge MOUTOU Avril 2013 // destiné à une architecture 32 bits et non aux AVRs ciblés // Sur un PC cela fonctionne normalement int float2HexQ3_13(float val){ //conversion float vers Q3.13 int temp; char i; float f_temp; if (val < 0) f_temp = -val; else f_temp = val; temp = ((int) floor(f_temp)<<13); f_temp = f_temp - floor(f_temp); for (i=0;i<13;i++) { temp|=((int)floor(2*f_temp)<<(12-i)); f_temp = 2*f_temp - floor(2*f_temp); } if (val < 0) return -temp; else return temp; } //************************************************************************ // function float2HexQ3_13_2() // purpose: transformation of a 32-bit float number into 16-bit Q3.13 number // arguments: // corresponding float number // return: 16-bit int // note: This function works on Linux but not with AVR //************************************************************************ typedef union { float f_temp; //taille : {{unité|4|octets}} int li_temp; //taille : {{unité|4|octets}} } t_u; // version sans calcul float int float2HexQ3_13_2(float val){ //conversion float vers Q3.13 t_u u,v; unsigned char exposant; int mantisse; int result=0; u.f_temp = val; if (val < 0) u.f_temp = - u.f_temp; v = u; // recupération de l'exposant v.li_temp >>= 23; exposant = v.li_temp; // recuperation mantisse if (exposant < 129) { mantisse = (u.li_temp & 0X007FFFFF); // mise à 1 du bit manquant result |= (1 << (exposant-114)); // (15-129+exposant)); semble OK mantisse >>= (137-exposant); //(22-(14-129+exposant)); result |= mantisse; if (val < 0) return -result; else return result; } else {printf("Erreur conversion : nombre trop grand\n"); return 0x7FFF; // le plus qu'on puisse faire pour 16 bits } } //************************************************************************ // function float2HexQ3_13_AVR() // purpose: transformation of a 32-bit float number into Q3.13 for AVR // arguments: // corresponding float number // return: integer in Q3.13 format // note: idem to float2HexQ3_13 but without float library // Juin 2018 //************************************************************************ int float2HexQ3_13_AVR(float val){ //conversion float vers Q3.13 union { float f_temp; //taille : 4 octets long int li_temp; //taille : 4 octets } u,v; unsigned char exposant; long int mantisse; int result=0; u.f_temp = val; if (val < 0) u.f_temp = - u.f_temp; v = u; // recupération de l'exposant v.li_temp >>= 23; exposant = v.li_temp; // recuperation mantisse if (exposant < 129) { mantisse = (u.li_temp & 0X007FFFFF); // mise à 1 du bit manquant result |= (1 << (exposant-114)); // (15-129+exposant)); semble OK mantisse >>= (137-exposant); //(22-(14-129+exposant)); result |= mantisse; if (val < 0) return -result; else return result; } else { //**** "Erreur conversion"***** return 0; } } </syntaxhighlight> Cette première routine ne contient pas de vérification d'erreur tandis que la deuxième affiche une erreur mais retourne quand même un nombre. Le format "float" du c étant plus précis que notre format Q3.13, cette routine peut échouer. Elle reste cependant utile dans le cadre de CORDIC. ==== Tests des deux routines précédentes avec un Arduino ==== Pour tester le bon fonctionnement des transformations de formats, rien de tel qu'un programme qui transforme dans les deux sens pour constater si oui ou non on retrouve le même résultat. Voici donc un exemple sous Arduino. {{Boîte déroulante|titre=Programme de vérification sous Arduino|contenu= <syntaxhighlight lang=Arduino> void setup() { Serial.begin(9600); } int nb=0x1000; //0.5 en Q3.13 float fnb; void loop() { // put your main code here, to run repeatedly: nb++; fnb = HexQ3_13ToFloat_AVR(nb); nb = float2HexQ3_13_AVR(fnb); Serial.println(fnb,4); delay(500); } //************************************************************************ // function float2HexQ3_13_AVR() // purpose: transformation of a 32-bit float number into Q3.13 // arguments: // corresponding float number // return: integer in Q3.13 format // note: idem to float2HexQ3_13 but without float library // utilise 500 octets de moins que la précédente //************************************************************************ int float2HexQ3_13_AVR(float val){ //conversion float vers Q3.13 union { float f_temp; //taille : 4 octets long int li_temp; //taille : 4 octets } u,v; unsigned char exposant; long int mantisse; int result=0; u.f_temp = val; if (val < 0) u.f_temp = - u.f_temp; v = u; // recupération de l'exposant v.li_temp >>= 23; exposant = v.li_temp; // recuperation mantisse if (exposant < 129) { mantisse = (u.li_temp & 0X007FFFFF); // mise à 1 du bit manquant result |= (1 << (exposant-114)); // (15-129+exposant)); semble OK mantisse >>= (137-exposant); //(22-(14-129+exposant)); result |= mantisse; if (val < 0) return -result; else return result; } else { //**** "Erreur conversion"***** return 0; } } float HexQ3_13ToFloat_AVR(int16_t val){ union { float f_temp; int32_t li_temp; } u; uint32_t i_temp; unsigned char exposant=129;//,*p; signed char i; u.li_temp = 0; if (val < 0) i_temp = -val; else i_temp = val; for (i=15;i>=0;i--) { if (i_temp & (1<<i)) { // on efface le '1' trouvé : i_temp= i_temp & ~(1<<i); break;// on sort de la boucle } exposant--; } u.li_temp = exposant; u.li_temp <<=23; u.li_temp = u.li_temp|(i_temp << (23-i)); if (val < 0) return -(u.f_temp); else return u.f_temp; } </syntaxhighlight> }} == Un peu de théorie sur CORDIC == [[Fichier:CORDIC Block.svg|thumb|right|Bloc de calcul CORDIC]] Dans cette section, nous allons détailler l'algorithme [[w:CORDIC|CORDIC]]. Nous présentons un schéma simplifié de principe de calcul où vous voyez apparaître trois entrées <math>(x_0,y_0,z_0)</math> et trois sorties <math>(x_n,y_n,z_n)</math>. Ce schéma est simplifié dans le sens où l’on a omis l'horloge en entrée (il faut bien une horloge pour faire avancer un calcul). Les données à gauche représentent l'initialisation de l'algorithme. La donnée essentielle est <math>z_0</math> qui représente un angle qui pour nous sera exprimé en radians. Les autres données seront prises comme <math>x_0=1</math> et <math>y_0=0</math> dans un premier temps pour expliquer l'algorithme. Les sorties à droites représenteront le sinus et le cosinus ainsi que l'erreur réalisée sur l'angle. Qu'y a-t-il dans le bloc ? Un ensemble de trois équations de récurrences que nous allons examiner maintenant. === Des équations de récurrences simples === [[Fichier:CORDIC Pseudo-rotation Example.svg|thumb|right|Début des itérations CORDIC]] Nous avons au départ trois équations de récurrences simples : <math>\left\{\begin{matrix} x_{i+1} = x_i - \sigma_i y_i \delta_i \\ y_{i+1} = y_i + \sigma_i x_i \delta_i \\ z_{i+1} = z_i - \sigma_i \alpha_i \end{matrix}\right.</math> avec <math>\sigma_i \in \{-1; 1\}</math>. On expliquera plus tard les relations <math>\delta_i=2^{-i}</math> et <math>\alpha_i=atan(2^{-i})</math> (constantes prédéfinies). Ce que font ces trois équations est représenté sur la figure ci-contre où les variables <math>z_i</math> ont été remplacées par une notation plus conventionnelle <math>\alpha_i</math> pour des angles. Nous allons expliciter cette figure maintenant. Dans cette figure vous voyez apparaître un ensemble de rotations qui aboutissent à l'angle dont on cherche le sinus et le cosinus (vecteur rouge de la figure). Vous avez certainement remarqué que les rotations ne sont pas des vraies rotations (qui conservent les longueur) puisqu'elles sont systématiquement associées à une dilatation. La dilatation dépend de l'angle mais : {{propriété|contenu= * Pour trouver la longueur de dilatation par un certain angle il suffit de remarquer les angles droits de la figure. * Si l’on appelle R, K et H (pour hypoténuse) les côtés du triangle, on a les relations : ** <math>K=R \cdot tan(\alpha)</math> donc <math>H^2 = R^2+ R^2 \cdot tan(\alpha)</math> et ainsi ** <math>H = {{R} \over {cos(\alpha)}}</math> (relation importante qui sera retrouvée autrement plus tard). }} Ce qui n’apparaît pas sur la figure est que les angles sont déterminés à l'avance (on reviendra sur cette propriété plus tard). {{propriété|contenu= *Quelle que soit la position du vecteur rouge (notre objectif), on peut trouver une séquence de rotations (positives et négatives) pour y parvenir. *Quelle que soit la séquence de rotations exécutées, si elles sont assez nombreuses la dilatation finale sera toujours la même. }} Ces trois propriétés justifient la méthode CORDIC. Mais regardons d'un peu de plus près les équations de récurrence et donnons-en quelques caractéristiques à travers des remarques. {{remarque|contenu= Nous avons commencé ce chapitre en promettant aucune multiplication. Or les équations de récurrences font apparaître les termes <math> \sigma_i y_i \delta_i </math>. Nous espérons que le lecteur ayant suivi jusqu'à ce point se demande s'il a été dupé ? Examinons cela en détail. La multiplication par <math>\sigma_i</math> n’est pas une multiplication car cette valeur est soit +1 (rien à faire) soit -1 (un complément à deux à réaliser). Or le complément à deux se réalise avec des inverseurs et une addition de 1 ! donc pas de multiplication. Il nous reste donc les multiplications par <math>\delta _i</math>à faire disparaître... }} Maintenant que tous les lecteurs ont entraperçu une relation entre CORDIC et les rotations, nous allons examiner cela de manière un peu plus formelle. === Relation avec les rotations === Cette partie s'inspire un peu d'un sugjet d'agrégation Génie électrique (2006) : [http://sitelec.org/sujets/sujets.htm sujets agrégation]. Les sujets d'agrégation ne sont pas soumis au copyright. De toute façon ce sujet d'agrégation a été fortement remanié pour le rendre plus accessible. Il en résulte un ensemble de questions avec ses solutions. ==== Écriture matricielle de CORDIC ==== Écrire les deux premières équations sous la forme matricielle en calculant la matrice Ci : <math>v_{i+1} = C_i \cdot v_i</math> avec <math>v_{i} = (x_i,y_i)^T</math> et <math>v_{i+1} = (x_{i+1},y_{i+1})^T</math>. (On note donc tout simplement l'entrée et la sortie sous forme de deux composantes vectorielles pour pouvoir introduire cette matrice). {{Solution|contenu= <math> C_i = \begin{pmatrix} 1 & -\sigma_i \delta_i \\[3pt] \sigma_i \delta_i & 1 \\ \end{pmatrix} </math> }} ==== Comment introduire les matrices de rotation ==== La figure montre clairement un ensemble de rotations. Rappelons que les rotations dans un plan sont décrites par des [[w:Matrice_de_rotation|matrices de rotation]] rappelées ci-après : <math> R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\[3pt] \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{pmatrix} </math> (rotation d'angle α) Cette matrice fait tourner le plan d'un angle ''α''. Elle peut être généralisée sous la forme indicée : <math> R(\alpha_i) = \begin{pmatrix} \cos \alpha_i & -\sigma_i \sin \alpha_i \\[3pt] \sigma_i \sin \alpha_i & \cos \alpha_i \\ \end{pmatrix} </math> où le paramètre <math>\sigma_i</math> pour décrire le sens de rotation (<math>\sigma_i=+1</math> rotation dans le sens trigonométrique). L'idée qui vient à l'esprit est donc de tenter d'écrire la matrice <math>C_i</math> de la section précédente à l'aide d'une matrice de rotation Écrire la matrice <math>C_i</math> sous la forme <math>C_i = K_i(\alpha_i) \cdot R_i(\alpha_i)</math> en prenant soin d'expliciter <math>K_i(\alpha_i)</math> et finalement <math>\delta_i</math>. {{solution|contenu= <math> C_i = \begin{pmatrix} 1 & -\sigma_i \delta_i \\[3pt] \sigma_i \delta_i & 1\\ \end{pmatrix} = {1 \over cos(\alpha_i)} \cdot \begin{pmatrix} \cos \alpha_i & -\sigma_i \sin \alpha_i \\[3pt] \sigma_i \sin \alpha_i & \cos \alpha_i \\ \end{pmatrix} </math> qui donne immédiatement <math>k_i(\alpha_i)={1 \over cos(\alpha_i)}</math> et <math>\delta_i</math> devient : <math>\delta_i= {sin(\alpha_i) \over cos(\alpha_i)}</math> Prenons du recul par rapport aux équations : en clair les relations de récurrences CORDIC réalisées par la matrice <math>C_i</math> sont équivalentes à une rotation <math>R(\alpha_i)</math> multipliée par <math>1 \over cos(\alpha_i)</math> qui est plus grand que 1. C'est donc équivalent à une rotation et une dilatation. Tiens tiens, n'a-t-on pas déjà évoqué cette propriété dans ce chapitre d'une dilatation par <math>{1 \over cos(\alpha_i)}</math> ? }} Arrivé à ce point, nous espérons que le lecteur a compris (ou au moins entrevu) la relation entre les équations de récurrences CORDIC et les rotations. Rappelons que l’on cherche à calculer un cosinus et un sinus. Il reste cependant des détails à régler pour faire fonctionner CORDIC. ==== Calculer les équations de récurrences ==== Soit <math>v_0</math> la valeur initiale de <math>v_i</math>, exprimer <math>v_i</math> en fonction de <math>v_0</math>, <math>C_{i-1}</math>, <math>C_{i-2}</math>, ... puis en fonction de <math>v_0</math>, <math>R_{i-1}</math>, <math>R_{i-2}</math>, <math>K_{i-1}</math>, <math>K_{i-1}</math> ... {{solution|contenu= <math>v_i=C_{i-1} \cdot C_{i-2} \cdot ... \cdot C_0 \cdot v_0</math> <math>v_i=K_{i-1} \cdot R_{i-1} \cdot K_{i-2} \cdot R_{i-2} \cdot ... \cdot K_0 \cdot R_0 \cdot v_0</math> }} Il est temps de travailler sur la troisième équation de récurrence que nous avons laissé tombé jusqu'à présent. ==== Travail sur les angles ==== '''Premier détail : ''' nous allons prendre à partir de maintenant <math>\delta_i=2^{-i}</math>. C'est cette subtilité qui fait toute la valeur de l'algorithme [[w:CORDIC|CORDIC]]. Pourquoi ? Parce que ce terme <math>\delta_i</math> apparaît toujours comme terme multiplicatif dans les équations de récurrences : <math>\left\{\begin{matrix} x_{i+1} = x_i - \sigma_i y_i \delta_i \\ y_{i+1} = y_i + \sigma_i x_i \delta_i \\ z_{i+1} = z_i - \sigma_i \alpha_i \end{matrix}\right.</math> et qu'une propriété intéressante d'une multiplication par une puissance de 2 est qu'elle peut être remplacée par un simple décalage. Autrement dit choisir <math>\delta_i=2^{-i}</math> va permettre d'économiser des multiplications (qui est un opérateur arithmétique considéré comme complexe, lent et cher). {{remarque|contenu= La relation entre une multiplication par une puissance de deux et un décalage n’est pas universelle. Elle dépend de la représentation du nombre. Par exemple elle n’est pas vraie pour un nombre en virgule flottante... où cette opération doit être remplacée par une addition sur l'exposant. Ceux qui ont suivi nous rétorquerons que les multiplications ont été remplacées par <math>\alpha_i=atan(2^{-i})</math> dans la troisième équation de récurrence. Remplacer des multiplications par des calculs de tangente inverse est-ce un progrès ? Certes non, mais ces valeurs peuvent être pré-calculées et sauvées dans une mémoire. }} Calculer <math>\alpha_i</math> pour i=0, 1, 2, ..., 13 si, comme on le rappelle, <math>\delta_i= {sin(\alpha_i) \over cos(\alpha_i)}</math> (question précédente). '''Réponse''' : On donne les valeurs précalculées : {| class=wikitable style="text-align:center; margin: 1em auto 1em auto" |- !width=40 rowspan=2|i !colspan=2|''α''_i = tan⁻¹ (2⁻ⁱ) |- !width=60|Degrees!!width=60|Radians |- |0|| 45.00 || 0.7854 |- |1|| 26.57 || 0.4636 |- |2|| 14.04 || 0.2450 |- |3|| 7.13 || 0.1244 |- |4|| 3.58 || 0.0624 |- |5|| 1.79 || 0.0312 |- |6|| 0.90 || 0.0160 |- |7|| 0.45 || 0.0080 |- |8|| 0.2238 || 0.0039 |- |9|| 0.1119 || 0.0019 |- |10|| 0.05595 || 0.00098 |- |11|| 0.02798 || 0.00049 |- |12|| 0.01399 || 0.00024 |- |13|| 0.00699 || 0.00012 |} '''Deuxième détail : ''' nous avons laissé de côté <math>\sigma_i</math> qui est un signe + ou -. Il est grand temps de voir comment il est calculé. C'est tout simplement le signe de l'angle calculé : <math>\sigma_i=signe(z_i)</math>. Ce signe <math>\sigma_i</math> est connu (puisque <math>z_i</math> l'est) lors du calcul. Le calcul précédent peut être réalisé tel quel dans du matériel (qui peut calculer en parallèle). {{remarque|contenu=Les deux premières équations de récurrences dépendent de la troisième qui gère l'angle par le signe. Cependant, la troisième équation de récurrence est complètement indépendante des deux autres. Une des conséquences est que vous n'êtes pas obligé d’utiliser la même représentation virgule fixe (ou autre) pour cette troisième équation. Vous pouvez par exemple la faire fonctionner en degré (avec un format Q10.6 par exemple) alors que vos sinus et cosinus continueront d’être en Q3.13 }} ==== Le problème du gain ==== Depuis le début de ce chapitre nous savons qu'un problème de gain était à prendre en compte. En effet, nous avons montré très tôt que l'algorithme réalisait en fait une rotation <math>R_z(\alpha_i)</math> mais multiplié par <math>K_i={1 \over {cos(\alpha_i)}}</math>. Pour avoir un cosinus et un sinus il nous faudra donc calculer <math>K=\prod_{i=0}^{n-1} K_i={\prod_{i=0}^{n-1} {1 \over {cos(\alpha_i)}}}</math> et multiplier le résultat final par cette valeur. On peut éviter cependant cette multiplication si au lieu d'initialiser <math>x_0</math> à 1, on réalise : <math>x_0 = {1 \over {\prod_{i=0}^{n-1} {1 \over {cos(\alpha_i)}}}}={1 \over K}</math>. Les valeurs numériques correspondantes sont facilement évaluées avec un tableur (<math>K=\prod_{i=0}^{n-1} K_i=1,64676</math> d'inverse 0,60725). Voila. Maintenant tous les détails de calculs sont en place. Pour mettre cela en œuvre dans un premier temps, nous allons utiliser un tableur et regarder CORDIC fonctionner puis nous ferons la même chose en langage C pur. == Utiliser un tableur pour faire fonctionner CORDIC == Nous nous proposons dans cette section d’utiliser le tableur LibreOffice pour examiner comment fonctionne CORDIC. Nous pensons, même si nous n'avons pas essayé, qu'EXEL utiliserait les mêmes primitives. Nous allons décomposer le travail en deux parties. === Faire fonctionner la troisième équation de récurrence === La troisième équation de récurrence est un calcul d'angle <math>z_{i+1}</math> en fonction de <math>z_i</math>. Comme nous l'avons déjà affirmé, cette équation peut fonctionner seule. Voici comment on peut procéder avec un tableur (pour lequel les colonnes sont des lettres et les lignes des chiffres, format par défaut de LibreOffice): {| class="wikitable" |- ! ! A !! B !! C !! D !! E !! F |- ! 1 | i || delta_i || alpha_i || K_i || z_i || sigma_i |- ! 2 | 0 || =PUISSANCE(2;-A2) || =ATAN(B2) || =1/COS(C2) ||style="background:yellow"| =PI()/3 || =SI(E2<0;-1;1) |- ! 3 | 1 || =PUISSANCE(2;-A3) || =ATAN(B3) || =1/COS(C3) || =E2-C2*F2 || =SI(E3<0;-1;1) |} que l’on peut étendre vers le bas. Le point essentiel du tableau est la case E2 (qui contient =PI()/3) qui est l'angle duquel on cherche le sinus et le cosinus. C'est la seule case à changer pour faire le calcul sur un autre angle. L'intérêt d’utiliser un tableur est de voir comment varie cette variable z_i avec les itérations : elle converge toujours vers 0 ! Voici le résultat complet : [[Fichier:Cordic tableur1.png|thumb|center|500px|CORDIC : équation des angles]] Ce graphe montre une convergence vers 0 qu’il n’est pas inutile de retenir pour comprendre les différentes utilisations de CORDIC évoquées plus loin. === Faire fonctionner l'ensemble === On complète le tableau par les deux colonnes représentant les deux équations manquantes (colonnes G et H) : {| class="wikitable" |- ! ! A !! B !! C !! D !! E !! F !! G !! H !! I |- ! 1 | i || delta_i || alpha_i || K_i || z_i || sigma_i || x_i || y_i || angle_i |- ! 2 | 0 || =PUISSANCE(2;-A2) || =ATAN(B2) || =1/COS(C2) ||style="background:yellow"| =PI()/3 || =SI(E2<0;-1;1) || 0,6073 || 0 || 0 |- ! 3 | 1 || =PUISSANCE(2;-A3) || =ATAN(B3) || =1/COS(C3) || =E2-C2*F2 || =SI(E3<0;-1;1) || =G2-F2*H2*B2 || = H2+G2*F2*B2 || =I2+F2*C2 |} On a ajouté pour information une colonne à droite qui calcule la somme des rotations pour montrer qu'elle converge bien vers l'angle souhaité. Voici le résultat complet : [[Fichier:Cordic tableur2.png|thumb|center|500px|CORDIC complet]] Encore une fois, seule la case E2 est à changer pour réaliser un autre calcul. {{remarque| *Pour vos essais rappelez-vous que l'angle demandé en case E2 sur lequel vous calculez doit être en radian et entre <math>-\pi \over 2</math> et <math>+\pi \over 2</math> *La troisième équation de récurrence peut être indistinctement celle sur <math>z_i</math> ou celle sur <math>angle_i</math>. Mais alors le calcul du signe <math>sigma_i</math> se fait différemment. Les dessins d'introduction montraient plutôt un angle qui convergeait vers l'angle final alors que notre premier algorithme CORDIC dans le tableur utilise <math>z_i</math>.}} == Utiliser et adapter l'algorithme de Wikipédia == L'article [[w:CORDIC|CORDIC dans wikipédia]] propose un algorithme en C (enfin proposait : voir remarque ci-dessous). Prenez-le avec un copier-coller et, à l'aide d'un éditeur, faites-en un fichier que l’on peut appeler "cordicWiki.c" par exemple. Sa compilation sous Linux ainsi que son exécution peut se faire par : <pre> gcc -o cordic cordicWiki.c -lm ./cordic Veuillez entrer beta 0.785 Veuillez entrer le nombre d'iterations voulues 16 cos(beta) = 0.707431 , sin(beta) = 0.706892 </pre> {{remarque|Pour vos essais, rappelez-vous que l'angle demandé sur lequel vous calculez doit être en radian et entre <math>-\pi \over 2</math> et <math>+\pi \over 2</math>. Nous savons très bien que nous nous répétons, mais c’est pour la bonne cause. }} L'utilisation en cours de wikipédia nous amène à faire la remarque suivante : {{remarque|Le programme en C qui était donné dans Wikipédia a disparu pour une raison qui nous échappe ! C'est dommage pour les enseignants qui l'utilisent dans leur cours !!! (Juin 2015) Pour pallier cet inconvénient, nous le remettons ici : <syntaxhighlight lang=C> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> int main() { int nb_iter; // Nombre d'itérations double K = 0.6073; // Valeur de K double x = K, y = 0; // Valeur approchante de cos(beta) et sin(beta) double x_Nouveau; // Variable temporaire double z_i = 0; // Angle à chercher double Pow2; // Valeur de la puissance de deux printf("Calcul par la méthode CORDIC de sinus : \n\n\n Veuillez entrer beta\n"); scanf("%lf",&z_i); // entrer la valeur de beta printf("Veuillez entrer le nombre d'iterations voulues\n"); scanf("%d",&nb_iter); // Entrer le nombre d'itération int i = 0; // declaration de l'indice d'iteration for(i = 0; i < nb_iter; i++) { Pow2 = pow(2,-i); // Si beta<0 rotation dans le sens trigo if(z_i < 0) { x_Nouveau = x + y*Pow2; y -= x*Pow2; z_i += atan(Pow2); } // sinon dans l'autre sens else { x_Nouveau = x - y*Pow2; y += x*Pow2; z_i -= atan(Pow2); } x = x_Nouveau; } printf("cos(beta) = %lf , sin(beta) = %lf \n", x,y); // Affichage du résultat return 0; } </syntaxhighlight> }} Le fonctionnement de cet algorithme semble parfait. Pourtant, nous allons essayer de l'améliorer pour un fonctionnement dans une architecture bien plus petite qu'un PC. En effet, compilé tel quel avec le compilateur avr-gcc, il faut plus de 8 ko de mémoire, ce qui n’est pas toujours possible pour certains processeurs (ATMega8 et ATTiny861) que nous utilisons dans ce cours. === Analyse des ressources calculs nécessaires === Une lecture de ce programme montre qu’il utilise le type "double" qui est le type flottant sur 64 bits. C'est un type peu adapté aux architectures 8 bits que nous désirons cibler. Ce programme fonctionne avec les bibliothèques de calcul en double (bibliothèque mathématique qu'utilisent pow(2,-i) et atan(Pow2)) et nous désirons à tout prix l'éviter. === Simplifier le programme === La technique habituelle pour faire cette simplification est de choisir un format virgule fixe en lieu et place des variables de type "double". Nous allons utiliser le format Q3.13 qui veut dire que trois bits de poids forts sont la partie entière et les treize bits restants sont la partie fractionnaire. D'autre part, les multiplications par pow(2,-i) (soit avec des notations plus habituelles <math>\delta_i=2^{-i}</math>) sont remplacées par de simples décalages comme cela a déjà été évoqué. Enfin, le calcul atan(Pow2) (soit avec des notations plus habituelles <math>arctan(\delta_i)=arctan(2^{-i})</math>) sera remplacé par un tableau de valeurs pré-calculées. Ce travail a déjà été fait dans [[Micro contrôleurs AVR/AVR et robotique : ASURO#Marier l.27électronique et la cinématique|ICI (dans un autre livre)]] où vous avez un programme complet sans aucune multiplication. === Problème d'arrondi === Sans entrer dans les détails, notons que cet algorithme peut être amélioré. Toute représentation des nombres présente des imperfections. Ici, supposons que l’on ait 0xFFFF en format Q3.13. Un décalage vers la droite le transformerait en 0xFFFF alors qu’il faudrait le transformer en 0x0000 ! === Voir aussi === * [[Micro contrôleurs AVR/AVR et robotique : ASURO#Marier l.27électronique et la cinématique|CORDIC en C AVR]] * [[Micro contrôleurs AVR/Arduino#CORDIC sur Arduino|CORDIC dans un Arduino]] Après avoir examiné CORDIC d'une manière logicielle, nous allons nous intéresser maintenant à sa réalisation matérielle. Autre manière de dire les choses, le calcul devra donc être réalisé par une partie matérielle adaptée. == Implantation matérielle de l'algorithme CORDIC == Il y a typiquement deux façons de réaliser un coprocesseur [[w:CORDIC|CORDIC]] : * utilisation d'un [[w:Pipeline_(informatique)|pipeline]] * utilisation d'un séquenceur En effet, un algorithme récursif représente une boucle et il y a deux moyens pour la réaliser : la séquencer (avec un compteur) comme on le ferait en programmation, ou la développer. Nous allons présenter les deux façons maintenant. === Réalisation avec pipeline === La réalisation avec [[w:Pipeline_(informatique)|pipeline]] se fait de la manière suivante : [[Fichier:CORDIC (Bit-Parallel, Unrolled, Circular Rotation).svg|thumb|center|250px|Pipeline complet pour calcul CODIC]] {{attention|Dans cette figure le signe se propage sur les trois additionneur soustracteur de l'étage !}} Nous avons réalisé ce cœur sans utiliser les boucles du VHDL ce qui allonge un peu le code de ce coprocesseur CORDIC, c’est pourquoi nous le mettons dans une boite déroulante. {{Boîte déroulante|titre=Notre coprocesseur CORDIC pipeline|contenu= <syntaxhighlight lang="vhdl"> -- Serge Moutou avril 2013 -- CORDIC en format virgule fixe Q3.13 et 13 étages pipelinés library ieee; use ieee.std_logic_1164.all; use ieee.std_logic_arith.all; use IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL; --USE ieee.numeric_std.all; entity sc_corproc is port( clk : in std_logic; ena : in std_logic; Ain : in std_logic_vector(15 downto 0); sin : out std_logic_vector(15 downto 0); cos : out std_logic_vector(15 downto 0)); end entity sc_corproc; --ARCHITECTURE rtl OF sc_corproc IS --BEGIN -- PROCESS(clk) BEGIN -- IF rising_edge(clk) THEN -- cos <= Ain; -- sin <= Ain+1; -- END IF; -- END PROCESS; --END rtl; ARCHITECTURE rtl OF sc_corproc IS -- TYPE signed_array IS signed(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL x_array_1 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_1 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_1 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_2 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_2 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_2 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_3 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_3 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_3 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_4 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_4 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_4 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_5 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_5 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_5 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_6 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_6 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_6 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_7 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_7 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_7 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_8 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_8 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_8 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_9 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_9 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_9 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_10 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_10 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_10 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_11 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_11 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_11 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_12 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_12 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_12 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_13 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_13 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); -- SIGNAL z_array_13 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); -- SIGNAL x_ip : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); -- SIGNAL y_ip : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); BEGIN --convert inputs into signed format PROCESS(clk) BEGIN -- IF ena = '0' THEN -- x_ip <= x"136F"; -- = 0.6073 en format Q3.13 ; -- z_ip <= (OTHERS => '0'); -- y_ip <= (OTHERS => '0'); IF rising_edge(clk) THEN IF Ain(15) = '1' THEN -- x_array <= (x_ip) + (y_ip); -- y_array <= (y_ip) - (x_ip); x_array <= x"136F"; y_array <= 0 - x"136F"; z_array <= (Ain) + x"1921";--tan_array(0); ELSE x_array <= x"136F"; y_array <= x"136F"; z_array <= (Ain) - x"1921";--tan_array(0); -- z_array <= x"2181"- x"1921";--tan_array(0); END IF; IF z_array(15) = '1' THEN x_array_1 <= x_array + (y_array(15) & y_array(15 downto 1)); y_array_1 <= y_array - (x_array(15) & x_array(15 downto 1)); z_array_1 <= z_array + x"0ED6"; ELSE x_array_1 <= x_array - (y_array(15) & y_array(15 downto 1)); y_array_1 <= y_array + (x_array(15) & x_array(15 downto 1)); z_array_1 <= z_array - x"0ED6"; END IF; IF z_array_1(15) = '1' THEN x_array_2 <= x_array_1 + (y_array_1(15) & y_array_1(15) & y_array_1(15 downto 2)); y_array_2 <= y_array_1 - (x_array_1(15) & x_array_1(15) & x_array_1(15 downto 2)); z_array_2 <= z_array_1 + x"07D6"; ELSE x_array_2 <= x_array_1 - (y_array_1(15) & y_array_1(15) & y_array_1(15 downto 2)); y_array_2 <= y_array_1 + (x_array_1(15) & x_array_1(15) & x_array_1(15 downto 2)); z_array_2 <= z_array_1 - x"07D6"; END IF; IF z_array_2(15) = '1' THEN x_array_3 <= x_array_2 + (y_array_2(15) & y_array_2(15) & y_array_2(15) & y_array_2(15 downto 3)); y_array_3 <= y_array_2 - (x_array_2(15) & x_array_2(15) & x_array_2(15) & x_array_2(15 downto 3)); z_array_3 <= z_array_2 + x"03FA"; ELSE x_array_3 <= x_array_2 - (y_array_2(15) & y_array_2(15) & y_array_2(15) & y_array_2(15 downto 3)); y_array_3 <= y_array_2 + (x_array_2(15) & x_array_2(15) & x_array_2(15) & x_array_2(15 downto 3)); z_array_3 <= z_array_2 - x"03FA"; END IF; IF z_array_3(15) = '1' THEN x_array_4 <= x_array_3 + (y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15 downto 4)); y_array_4 <= y_array_3 - (x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15 downto 4)); z_array_4 <= z_array_3 + x"01FF"; ELSE x_array_4 <= x_array_3 - (y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15 downto 4)); y_array_4 <= y_array_3 + (x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15 downto 4)); z_array_4 <= z_array_3 - x"01FF"; END IF; IF z_array_4(15) = '1' THEN x_array_5 <= x_array_4 + (y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15 downto 5)); y_array_5 <= y_array_4 - (x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15 downto 5)); z_array_5 <= z_array_4 + x"00FF"; ELSE x_array_5 <= x_array_4 - (y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15 downto 5)); y_array_5 <= y_array_4 + (x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15 downto 5)); z_array_5 <= z_array_4 - x"00FF"; END IF; IF z_array_5(15) = '1' THEN x_array_6 <= x_array_5 + (y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & --y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15 downto 6)); y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15 downto 6)); y_array_6 <= y_array_5 - (x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & --x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15 downto 6)); x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15 downto 6)); z_array_6 <= z_array_5 + x"007F"; ELSE x_array_6 <= x_array_5 - (y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15 downto 6)); y_array_6 <= y_array_5 + (x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15 downto 6)); z_array_6 <= z_array_5 - x"007F"; END IF; IF z_array_6(15) = '1' THEN x_array_7 <= x_array_6 + (y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15 downto 7)); y_array_7 <= y_array_6 - (x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15 downto 7)); z_array_7 <= z_array_6 + x"003F"; ELSE x_array_7 <= x_array_6 - (y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15 downto 7)); y_array_7 <= y_array_6 + (x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15 downto 7)); z_array_7 <= z_array_6 - x"003F"; END IF; IF z_array_7(15) = '1' THEN x_array_8 <= x_array_7 + (y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15 downto 8)); y_array_8 <= y_array_7 - (x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15 downto 8)); z_array_8 <= z_array_7 + x"001F"; ELSE x_array_8 <= x_array_7 - (y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15 downto 8)); y_array_8 <= y_array_7 + (x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15 downto 8)); z_array_8 <= z_array_7 - x"001F"; END IF; IF z_array_8(15) = '1' THEN x_array_9 <= x_array_8 + (y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15 downto 9)); y_array_9 <= y_array_8 - (x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15 downto 9)); z_array_9 <= z_array_8 + x"000F"; ELSE x_array_9 <= x_array_8 - (y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15 downto 9)); y_array_9 <= y_array_8 + (x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15 downto 9)); z_array_9 <= z_array_8 - x"000F"; END IF; IF z_array_9(15) = '1' THEN x_array_10 <= x_array_9 + (y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15 downto 10)); y_array_10 <= y_array_9 - (x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15 downto 10)); z_array_10 <= z_array_9 + x"0007"; ELSE x_array_10 <= x_array_9 - (y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15 downto 10)); y_array_10 <= y_array_9 + (x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15) & x_array_9(15 downto 10)); z_array_10 <= z_array_9 - x"0007"; END IF; IF z_array_10(15) = '1' THEN x_array_11 <= x_array_10 + (y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15 downto 11)); y_array_11 <= y_array_10 - (x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15 downto 11)); z_array_11 <= z_array_10 + x"0003"; ELSE x_array_11 <= x_array_10 - (y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15 downto 11)); y_array_11 <= y_array_10 + (x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15 downto 11)); z_array_11 <= z_array_10 - x"0003"; END IF; IF z_array_11(15) = '1' THEN x_array_12 <= x_array_11 + (y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15 downto 12)); y_array_12 <= y_array_11 - (x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15 downto 12)); z_array_12 <= z_array_11 + x"0002"; ELSE x_array_12 <= x_array_11 - (y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15 downto 12)); y_array_12 <= y_array_11 + (x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15 downto 12)); z_array_12 <= z_array_11 - x"0002"; END IF; IF z_array_12(15) = '1' THEN x_array_13 <= x_array_12 + (y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15 downto 13)); y_array_13 <= y_array_12 - (x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15 downto 13)); -- z_array_13 <= z_array_12 + x"0001"; ELSE x_array_13 <= x_array_12 - (y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15 downto 13)); y_array_13 <= y_array_12 + (x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15 downto 13)); -- z_array_13 <= z_array_12 - x"0001"; END IF; END IF; END PROCESS; cos <= x_array_13; sin <= y_array_13; END rtl; </syntaxhighlight> }} Ce code n'a pas été développé avec une boucle VHDL pour des raisons d'optimisation. Passons maintenant à la version séquentielle de ce même coprocesseur. === Réalisation séquentielle === Gilles Millon, [[w:Maître_de_conférences|Maître de conférences]] à l’[[w:IUT_Troyes|{{abréviation|IUT|institut universitaire de technologie}} de Troyes]], a fait une modification du cœur précédent pour qu’il fasse le même calcul mais de manière séquentielle. Nous allons en présenter son schéma de principe (et non son code complet) car il est encore utilisé en enseignement. Son principe est décrit dans la figure ci-contre. [[Fichier:CORDIC (Bit-Parallel, Iterative, Circular Rotation).svg|thumb|250px|Calcul CORDIC séquentiel]] ==== Augmenter l'intervalle de calcul des angles ==== Gilles Millon a profité du passage du mode pipeline au mode séquentiel pour réaliser un coprocesseur CORDIC capable de traiter des angles de <math>-\pi</math> à <math>+\pi</math> au lieu de <math>-\pi \over 2</math> à <math>+\pi \over 2</math>. Ceci peut être fait avec le code [[w:VHDL|VHDL]] suivant : <syntaxhighlight lang="vhdl"> -- pretraitement angle process(angle) begin if ( angle>=zero and angle< ppi_2) then -- 0<angle<pi/2 s_angle <= angle; coeffx <= '1'; -- +1 coeffy <= '1'; -- +1 elsif ( angle>ppi_2 and angle<ppi) then -- pi/2<angle<pi s_angle <= ppi - angle ; coeffx <= '0'; -- -1 coeffy <= '1'; -- +1 elsif ( angle>=mpi_2 and angle<=x"FFFF") then -- -pi/2<angle<0 s_angle <= angle; coeffx <= '1'; -- +1 coeffy <= '0'; -- -1 elsif ( angle>=mpi and angle<=mpi_2) then -- -pi<angle<-pi/2 s_angle <= ppi - ( not(angle) +1 ) ; coeffx <= '0'; -- -1 coeffy <= '0'; -- -1 else s_angle <= angle; coeffx <= '1'; coeffy <= '1'; end if; end process; </syntaxhighlight> où vous voyez une mémorisation dans coeffx et coeffy du quadrant concerné. ==== Version presque complète du coprocesseur CORDIC séquentiel ==== [[Fichier:CORDICSequ.png|thumb|500px|Schéma de principe d'un coprocesseur CORDIC séquentiel]] Nous présentons maintenant la version presque complète du processeur CORDIC séquentiel. Ce qui manque a été demandé plusieurs fois à des étudiants : * module LO11 de [[w:UTT|l'UTT]] * module MCENSL1 de [[w:DUT_Génie_électrique_et_informatique_industrielle|{{abréviation|DUT|diplôme universitaire de technologie}} GEII]]. et sera certainement demandé encore (d'où sa suppression). Il s'agit du séquenceur de trois états que nous allons décrire maintenant et que vous pouvez trouver après les commentaire "--TODO" dans le code un peu plus loin. Voici de manière schématique ci-contre,l'ensemble à réaliser. Portez votre attention surtout sur le séquenceur, c’est lui qu’il faudra ajouter au code [[w:VHDL|VHDL]]. Et voici le code correspondant sans le séquenceur : {{Clr}} {{Boîte déroulante|titre=Notre coprocesseur CORDIC séquentiel (sans le séquenceur)|contenu= <syntaxhighlight lang="vhdl"> library ieee; use ieee.std_logic_1164.all; use ieee.std_logic_arith.all; use IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL; use ieee.numeric_std.all; entity cordic_fsm_style is port( clk : in std_logic; cordicstart : in std_logic; fsminit : in std_logic; -- initialisation de la fsm en cas de probleme angle : in std_logic_vector(15 downto 0); sin : out std_logic_vector(15 downto 0); cos : out std_logic_vector(15 downto 0); cordicdone : out std_logic); end entity; architecture behavior of cordic_fsm_style is constant k : std_logic_vector(15 downto 0) := x"136e"; -- constante k constant maxit : std_logic_vector(3 downto 0) := x"d"; -- nombre d'iterations constant ppi : std_logic_vector(15 downto 0) := x"6488"; -- +pi constant ppi_2 : std_logic_vector(15 downto 0) := x"3245"; -- +pi/2 constant mpi : std_logic_vector(15 downto 0) := x"9B79"; -- -pi constant mpi_2 : std_logic_vector(15 downto 0) := x"CDBD"; -- -pi/2 constant zero : std_logic_vector(15 downto 0) := x"0000"; -- angle 0 signal xi,xi1: std_logic_vector(15 downto 0); signal yi,yi1: std_logic_vector(15 downto 0); signal mui,mui1 : std_logic; signal alphai,alphai1 : std_logic_vector(15 downto 0); signal zi,zi1 : std_logic_vector(15 downto 0); signal s_angle : std_logic_vector(15 downto 0); signal coeffx,coeffy : std_logic; signal i :std_logic_vector(3 downto 0); signal y_divided,x_divided:std_logic_vector(15 downto 0); signal encordic,initcordic : std_logic; type etat is (e0,e1,e2); signal state : etat; component div2_i is port ( i : in std_logic_vector(3 downto 0); ni : in std_logic_vector(15 downto 0); n_divided : out std_logic_vector(15 downto 0) ); end component; begin -- pretraitement angle process(angle) begin if ( angle>=zero and angle< ppi_2) then -- 0<angle<pi/2 s_angle <= angle; coeffx <= '1'; -- +1 coeffy <= '1'; -- +1 elsif ( angle>ppi_2 and angle<ppi) then -- pi/2<angle<pi s_angle <= ppi - angle ; coeffx <= '0'; -- -1 coeffy <= '1'; -- +1 elsif ( angle>=mpi_2 and angle<=x"FFFF") then -- -pi/2<angle<0 s_angle <= angle; coeffx <= '1'; -- +1 coeffy <= '0'; -- -1 elsif ( angle>=mpi and angle<=mpi_2) then -- -pi<angle<-pi/2 s_angle <= ppi - ( not(angle) +1 ) ; coeffx <= '0'; -- -1 coeffy <= '0'; -- -1 else s_angle <= angle; coeffx <= '1'; coeffy <= '1'; end if; end process; -- description memoire des atan sous forme combinatoire with i select alphai <= x"1921" when x"0", x"0ed6" when x"1", x"07d6" when x"2", x"03fa" when x"3", x"01ff" when x"4", x"00ff" when x"5", x"007f" when x"6", x"003f" when x"7", x"001f" when x"8", x"000f" when x"9", x"0007" when x"a", x"0003" when x"b", x"0002" when x"c", x"0001" when x"d", x"0000" when x"e", x"0000" when others; -- calcul de mui1 mui <=zi(15); -- calcul de zi zi1_process: process(zi,mui,alphai) begin if mui='1' then zi1 <= zi + alphai; else zi1 <= zi - alphai; end if; end process; -- multiplication par 2 puissance -i : x -- <=> division par 2 puissance i div_x_2_i : div2_i port map (i=> i, ni=> xi, n_divided => x_divided); -- multiplication par 2 puissance -i : y -- <=> division par 2 puissance i div_y_2_i : div2_i port map (i=> i, ni=> yi, n_divided => y_divided); -- calcul de xi1 xi1_process : process(mui,y_divided,xi) begin if mui='1' then xi1 <= xi + y_divided; else xi1 <= xi - y_divided; end if; end process; -- calcul de yi1 yi1_process : process(mui,yi,x_divided) begin if mui='1' then yi1 <= yi - x_divided; else yi1 <= yi + x_divided; end if; end process; -- mise à jour -- cas particulier d'initialisation de x=k et y=0 -- pour calcul de sinus et cosinus -- 13 itérations iteration:process(clk,initcordic) begin if initcordic='1' then xi <=k; yi <= (others => '0'); i <= (others=> '0'); zi <= s_angle; elsif rising_edge(clk) then if encordic = '1' then if i<maxit then xi <= xi1; yi <= yi1; zi <= zi1; i <= i + 1; end if; end if; end if; end process; --TODO : sequenceur A COMPLETER cordic_seq: process(clk,fsminit) begin if fsminit='1' then state <= e0; elsif rising_edge(clk) then case state is when e0 => if cordicstart='1' then state <= e1; else state <= e0; end if; when e1 => when e2 => when others => state <= e0; end case; end if; end process; --TODO : actions du sequenceur ( A COMPLETER ) initcordic <= '1' when state=e0 else '0'; -- memorisation des valeurs du sinus et du cosinus en registre -- a la fin des calculs ( sinon on voit l'évolution en temps réel -- du calcul pendant les 13 itérations ) -- et ajustement du cos et du sin dans le cadre du traitement d'angle -pi à +pi process(clk) begin if rising_edge(clk) then if state=e2 then if coeffx='0' then cos <= not (xi) +1; else cos <= xi; end if; if coeffy='0' then sin <= not(yi) +1; else sin<=yi; end if; end if; end if; end process; end behavior; -------------------------------------------------------------------------- -- division par 2 puissance i library ieee; use ieee.std_logic_1164.all; use ieee.std_logic_arith.all; use IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL; entity div2_i is port ( i : in std_logic_vector(3 downto 0); ni : in std_logic_vector(15 downto 0); n_divided : out std_logic_vector(15 downto 0) ); end entity; architecture behavior of div2_i is signal oth0,oth1 : std_logic_vector(15 downto 0); begin oth0<=x"0000"; oth1<=x"ffff"; process(i,ni(15))begin case i is when x"0" => n_divided <= ni; when x"1" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(0) & ni(15 downto 1); else n_divided <= oth0(0) & ni(15 downto 1); end if; when x"2" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(1 downto 0) & ni(15 downto 2); else n_divided <= oth0(1 downto 0) & ni(15 downto 2); end if; when x"3" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(2 downto 0) & ni(15 downto 3); else n_divided <= oth0(2 downto 0) & ni(15 downto 3); end if; when x"4" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(3 downto 0) & ni(15 downto 4); else n_divided <= oth0(3 downto 0) & ni(15 downto 4); end if; when x"5" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(4 downto 0) & ni(15 downto 5); else n_divided <= oth0(4 downto 0) & ni(15 downto 5); end if; when x"6" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(5 downto 0) & ni(15 downto 6); else n_divided <= oth0(5 downto 0) & ni(15 downto 6); end if; when x"7" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(6 downto 0) & ni(15 downto 7); else n_divided <= oth0(6 downto 0) & ni(15 downto 7); end if; when x"8" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(7 downto 0) & ni(15 downto 8); else n_divided <= oth0(7 downto 0) & ni(15 downto 8); end if; when x"9" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(8 downto 0) & ni(15 downto 9); else n_divided <= oth0(8 downto 0) & ni(15 downto 9); end if; when x"a" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(9 downto 0) & ni(15 downto 10); else n_divided <= oth0(9 downto 0) & ni(15 downto 10); end if; when x"b" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(10 downto 0) & ni(15 downto 11); else n_divided <= oth0(10 downto 0) & ni(15 downto 11); end if; when x"c" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(11 downto 0) & ni(15 downto 12); else n_divided <= oth0(11 downto 0) & ni(15 downto 12); end if; when x"d" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(12 downto 0) & ni(15 downto 13); else n_divided <= oth0(12 downto 0) & ni(15 downto 13); end if; when x"e" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(13 downto 0) & ni(15 downto 14); else n_divided <= oth0(13 downto 0) & ni(15 downto 14); end if; when x"f" => if ni(15) ='1' then n_divided <= oth1(14 downto 0) & ni(15 downto 15); else n_divided <= oth0(14 downto 0) & ni(15 downto 15); end if; when others => n_divided <= ni; end case; end process; end behavior; </syntaxhighlight> }} Toutes les précédentes présentations de CORDIC ne sont pas faciles à tester sans processeur. Nous allons nous intéresser maintenant à la réalisation d'une interface avec un processeur. Bien sûr les processeurs déjà utilisés dans ce cours auront notre préférence. == Transformer notre coprocesseur CORDIC en périphérique == Nous allons nous intéresser maintenant à l’utilisation du coprocesseur CORDIC par un processeur. Cela consiste donc à le transformer en périphérique. === Un périphérique pour l'ATMega === [[Fichier:CORDIC peripherique.png|thumb|500px|Coprocesseur CORDIC comme périphérique]] Le processeur que nous avons utilisé le plus dans ce livre étant l'ATMega, nous allons nous intéresser à réaliser ce périphérique pour ce processeur. Comme nous l'avons déjà présenté dans [[../Embarquer un Atmel ATMega8|Embarquer un Atmel ATMega8]] et plus en détail dans [[../Améliorer l'ATMega8 avec l'ATMega16 et l'ATMega32|Améliorer l'ATMega8 avec l'ATMega16 et l'ATMega32]] nous allons reprendre la terminologie graphique correspondante. Rappelons donc que tout se passe dans un fichier appelé "io.vhd" dans lequel deux process sont présents : * un pour l'écriture dans les PORTs/Registres : IOwr * un pour la lecture des PORTs/registres : Iord Si vous partez du coprocesseur CORDIC, vous voyez que son entrée "Ain(15:0)" est réalisée à l'aide de deux PORTs ('''PORTB''' et '''PORTA'''), que son entrée "Ena" est réalisée à l'aide d'un bit du '''PORTD'''. Les sorties de ce coprocesseur deviennent '''PINA''' et '''PINB''' pour le sinus et '''PINC''' et '''PIND''' pour le cosinus. Voici comment tout ceci est réalisé : {{Clr}} {{Boîte déroulante|titre=Notre coprocesseur CORDIC comme périphérique de l'ATMega|contenu= Le code source ci-dessous suit exactement la figure ci-dessus. <syntaxhighlight lang="vhdl"> library IEEE; use IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL; use IEEE.STD_LOGIC_ARITH.ALL; use IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL; --USE ieee.numeric_std.all; entity io is port ( I_CLK : in std_logic; --{{unité|25|MHz}} I_CLR : in std_logic; I_ADR_IO : in std_logic_vector( 7 downto 0); I_DIN : in std_logic_vector( 7 downto 0); I_RD_IO : in std_logic; I_RX : in std_logic; I_WE_IO : in std_logic; Q_DOUT : out std_logic_vector( 7 downto 0); Q_INTVEC : out std_logic_vector( 5 downto 0); Q_TX : out std_logic); end io; architecture Behavioral of io is component uart generic(CLOCK_FREQ : std_logic_vector(31 downto 0); BAUD_RATE : std_logic_vector(27 downto 0)); port( I_CLK : in std_logic; I_CLR : in std_logic; I_RD : in std_logic; I_WE : in std_logic; I_RX : in std_logic; I_TX_DATA : in std_logic_vector(7 downto 0); Q_RX_DATA : out std_logic_vector(7 downto 0); Q_RX_READY : out std_logic; Q_TX : out std_logic; Q_TX_BUSY : out std_logic); end component; component sc_corproc is port( clk : in std_logic; ena : in std_logic; Ain : in std_logic_vector(15 downto 0); sin : out std_logic_vector(15 downto 0); cos : out std_logic_vector(15 downto 0)); end component sc_corproc; signal U_RX_READY : std_logic; signal U_TX_BUSY : std_logic; signal U_RX_DATA : std_logic_vector( 7 downto 0); signal Angle_LSB, Angle_MSB : std_logic_vector( 7 downto 0); --CORDIC inputs --signal s_Ain,s_sin,s_cos : signed(15 downto 0); signal sinLSB, sinMSB : std_logic_vector( 7 downto 0); --CORDIC outputs signal cosLSB, cosMSB : std_logic_vector( 7 downto 0); --CORDIC outputs signal L_INTVEC : std_logic_vector( 5 downto 0); signal L_LEDS : std_logic; signal L_RD_UART : std_logic; signal L_RX_INT_ENABLED : std_logic; signal L_TX_INT_ENABLED : std_logic; signal L_WE_UART : std_logic; signal Ena : std_logic; -- CORDIC start --> added 2011/10/19 signal baud_clk : std_logic; --< begin urt: uart generic map(CLOCK_FREQ => std_logic_vector(conv_unsigned(25000000, 32)), BAUD_RATE => std_logic_vector(conv_unsigned( 38400, 28))) port map( I_CLK => I_CLK, --baud_clk,-- I_CLR => I_CLR, I_RD => L_RD_UART, I_WE => L_WE_UART, I_TX_DATA => I_DIN(7 downto 0), I_RX => I_RX, Q_TX => Q_TX, Q_RX_DATA => U_RX_DATA, Q_RX_READY => U_RX_READY, Q_TX_BUSY => U_TX_BUSY); --> added 2011/10/19 baud_process: process(I_CLK) begin if rising_edge(I_CLK) then baud_clk <= not baud_clk; end if; end process; --< cordic: sc_corproc port map ( clk => I_CLK, --{{unité|25|MHz}} !!!! ena => Ena, Ain(15 downto 8)=> Angle_MSB, Ain(7 downto 0) => Angle_LSB, -- Ain => s_Ain, sin(15 downto 8) => sinMSB, sin(7 downto 0) => sinLSB, -- sin => s_sin, cos(15 downto 8) => cosMSB, cos(7 downto 0) => cosLSB -- cos => s_cos ); -- IO read process -- iord: process(I_ADR_IO, U_RX_DATA, U_RX_READY, L_RX_INT_ENABLED, U_TX_BUSY, L_TX_INT_ENABLED, sinMSB,sinLSB,cosMSB,cosLSB) begin -- addresses for mega8 device (use iom8.h or #define __AVR_ATmega8__). -- case I_ADR_IO is when X"2A" => Q_DOUT <= -- UCSRB: L_RX_INT_ENABLED -- Rx complete int enabled. & L_TX_INT_ENABLED -- Tx complete int enabled. & L_TX_INT_ENABLED -- Tx empty int enabled. & '1' -- Rx enabled & '1' -- Tx enabled & '0' -- 8 bits/char & '0' -- Rx bit 8 & '0'; -- Tx bit 8 when X"2B" => Q_DOUT <= -- UCSRA: U_RX_READY -- Rx complete & not U_TX_BUSY -- Tx complete & not U_TX_BUSY -- Tx ready & '0' -- frame error & '0' -- data overrun & '0' -- parity error & '0' -- double dpeed & '0'; -- multiproc mode when X"2C" => Q_DOUT <= U_RX_DATA; -- UDR when X"40" => Q_DOUT <= -- UCSRC '1' -- URSEL & '0' -- asynchronous & "00" -- no parity & '1' -- two stop bits & "11" -- 8 bits/char & '0'; -- rising clock edge -- CORDIC outputs as processor inputs: when X"36" => Q_DOUT <= sinMSB; -- PINB when X"39" => Q_DOUT <= sinLSB; -- PINA when X"30" => Q_DOUT <= cosMSB; -- PIND when X"33" => Q_DOUT <= cosLSB; -- PINC when others => Q_DOUT <= X"AA"; end case; end process; -- IO write process -- iowr: process(I_CLK) begin if (rising_edge(I_CLK)) then if (I_CLR = '1') then L_RX_INT_ENABLED <= '0'; L_TX_INT_ENABLED <= '0'; elsif (I_WE_IO = '1') then case I_ADR_IO is when X"38" => -- PORTB Angle_LSB <= I_DIN; when X"35" => -- PORTC Angle_MSB <= I_DIN; when X"32" => -- PORTD Ena <= I_DIN(0); --Ena en poids faible when X"2A" => -- UCSRB L_RX_INT_ENABLED <= I_DIN(7); L_TX_INT_ENABLED <= I_DIN(6); when X"2B" => -- UCSRA: handled by uart when X"2C" => -- UDR: handled by uart when X"40" => -- UCSRC/UBRRH: (ignored) when others => end case; end if; end if; end process; -- interrupt process -- ioint: process(I_CLK) begin if (rising_edge(I_CLK)) then if (I_CLR = '1') then L_INTVEC <= "000000"; else case L_INTVEC is -- vector 12 ?? when "101011" => -- vector 11 interrupt pending. if (L_RX_INT_ENABLED and U_RX_READY) = '0' then L_INTVEC <= "000000"; end if; -- vector 14 ?? when "101100" => -- vector 12 interrupt pending. if (L_TX_INT_ENABLED and not U_TX_BUSY) = '0' then L_INTVEC <= "000000"; end if; when others => -- no interrupt is pending. -- We accept a new interrupt. -- if (L_RX_INT_ENABLED and U_RX_READY) = '1' then L_INTVEC <= "101011"; -- _VECTOR(11) elsif (L_TX_INT_ENABLED and not U_TX_BUSY) = '1' then L_INTVEC <= "101100"; -- _VECTOR(12) else L_INTVEC <= "000000"; -- no interrupt end if; end case; end if; end if; end process; L_WE_UART <= I_WE_IO when (I_ADR_IO = X"2C") else '0'; -- write UART UDR L_RD_UART <= I_RD_IO when (I_ADR_IO = X"2C") else '0'; -- read UART UDR Q_INTVEC <= L_INTVEC; end Behavioral; </syntaxhighlight> }} Une remarque pour terminer. {{remarque|contenu= Le coprocesseur utilisé dans cette section est le coprocesseur pipeline. Ce genre de coprocesseur est peu adapté à ce que nous venons de faire. En effet il calcule sans arrêt à partir d'un signal de validation "Ena" mais ne donne jamais l'information "calcul réalisé" puisque le calcul ne s'arrête pas. Donc son principe d'utilisation est : # positionnement du poids faible de l'angle # positionnement du poids fort de l'angle # positionnement du "Ena" # attente 14 fronts d'horloge # lecture du sinus # lecture du cosinus # positionnement de "Ena" à 0 }} Le contenu de cette remarque sera pris en compte lors des exercices complémentaires. === Quelques utilitaires pour tester === Le coprocesseur CORDIC fournit un calcul à l'ATMega et c’est ce dernier qui est chargé de le donner à l'extérieur pour tester. Le meilleurs moyen de réaliser tout cela est d’utiliser la liaison série. On entre l'angle sur lequel on veut faire le calcul dans un hyperterminal, le calcul se fait et le résultat s'affiche sur l'écran de l'hyperterminal. Mais pour faire cela il faut transformer la chaîne fournie par l'hyperterminal en format Q3.13 et inversement, le résultat Q3.13 devra être converti en chaîne de caractères avant d’être envoyé. Pour faciliter ces conversions, nous proposons quelques utilitaires regroupés ci-dessous : {{Boîte déroulante|titre=Des utilitaires pour AVR pour utiliser le coprocesseur CORDIC|contenu= <syntaxhighlight lang=c> //************************************************************************ // function HexQ3_13ToFloat_AVR() // purpose: transformation of a 16-bit Q3.13 number into 32-bit float number // arguments: // corresponding Q3.13 number // return: 32-bit float // note: This function works on Arduino Mega 2560 but only with hardcoded // parameters in my core at the moment // use the code below for a check //************************************************************************ float HexQ3_13ToFloat_AVR(int val){ union { float f_temp; //taille : {{unité|4|octets}} long int li_temp; //taille : {{unité|4|octets}} } u; long int i_temp; unsigned char exposant=129;//,*p; signed char i; if (val < 0) i_temp = -val; else i_temp = val; for (i=15;i>=0;i--) { if (i_temp & (1<<i)) { // on efface le '1' trouvé : i_temp= i_temp & ~(1<<i); break;// on sort de la boucle } exposant--; } u.li_temp = exposant; u.li_temp <<=23; u.li_temp = u.li_temp|(i_temp << (23-i)); if (val < 0) u.f_temp = -u.f_temp;//-u.f_temp; return u.f_temp; } //************************************************************************ // function float2HexQ3_13() // purpose: transformation of a 32-bit float number into Q3.13 // arguments: // corresponding float number and the returned string // return: integer in Q3.13 format // note: //************************************************************************ int float2HexQ3_13(float val){ //conversion float vers Q3.13 int temp; char i; float f_temp; if (val < 0) f_temp = -val; else f_temp = val; temp = ((int) floor(f_temp)<<13); f_temp = f_temp - floor(f_temp); for (i=0;i<13;i++) { temp|=((int)floor(2*f_temp)<<(12-i)); f_temp = 2*f_temp - floor(2*f_temp); } if (val < 0) return -temp; else return temp; } //************************************************************************ // function float2HexQ3_13_AVR() // purpose: transformation of a 32-bit float number into Q3.13 // arguments: // corresponding float number and the returned string // return: integer in Q3.13 format // note: idem to float2HexQ3_13 but without float library // utilise {{unité|500|octets}} de moins que la précédente // Fonctionne pour paramètre en dur sur notre cœur // Fonctionne parfaitement sur un Arduino //************************************************************************ int float2HexQ3_13_AVR(float val){ //conversion float vers Q3.13 union { float f_temp; //taille : {{unité|4|octets}} long int li_temp; //taille : {{unité|4|octets}} } u,v; unsigned char exposant; unsigned long int mantisse; int result=0; u.f_temp = val; if (val < 0) u.f_temp = - u.f_temp; v = u; // recupération de l'exposant v.li_temp >>= 23; exposant = v.li_temp; // recuperation mantisse if (exposant < 129) { mantisse = (u.li_temp & 0X007FFFFF); // mise à 1 du bit manquant result |= (1 << (exposant-114)); // (15-129+exposant)); semble OK mantisse >>= (137-exposant); //(22-(14-129+exposant)); result |= mantisse; if (val < 0) return -result; else return result; } else { //**** "Erreur conversion"***** usart_puts("Erreur conversion : nombre trop grand\n"); return 0x7FFF; // le plus grand que l’on puisse faire en Q3.13 } } //************************************************************************ // function HexQ3_13ToString() // purpose: transformation of a Q3.13 number into string // arguments: // corresponding Q3.13 number and the returned string // return: // note: only four decimal digit of too lengthy numbers are calculated !! //************************************************************************ void HexQ3_13ToString(int valQ3_13,char str[]){ unsigned int valQ3_13b; char digit; if (valQ3_13 < 0) { // eviter problèmes de signe !!! str[0] = '-'; valQ3_13 = -valQ3_13; } else str[0] = '+'; digit = valQ3_13 >> 13; str[1]= digit + '0'; str[2]= '.'; valQ3_13 &= 0x1FFF; // on retire les 3 bits de poids fort valQ3_13 = valQ3_13 * 5; // *5 pour tenir dans 16 bits valQ3_13b = valQ3_13; valQ3_13b >>= 12; // on ne garde que les 4 bits de poids fort str[3] = valQ3_13b +'0'; valQ3_13 &= 0x0FFF; // on retire les 4 bits de poids fort valQ3_13 = valQ3_13 * 10; //enfin le *10 valQ3_13b = valQ3_13; valQ3_13b >>= 12; // on ne garde que les 4 bits de poids fort str[4] = valQ3_13b +'0'; valQ3_13 &= 0x0FFF; // on retire les 4 bits de poids fort valQ3_13 = valQ3_13 * 10; valQ3_13b = valQ3_13; valQ3_13b >>= 12; // on ne garde que les 4 bits de poids fort str[5] = valQ3_13b +'0'; valQ3_13 &= 0x0FFF; // on retire les 4 bits de poids fort valQ3_13 = valQ3_13 * 10; valQ3_13b = valQ3_13; valQ3_13b >>= 12; // on ne garde que les 4 bits de poids fort str[6] = valQ3_13b +'0'; str[7]=0; } //************************************************************************ // function StringToQ3_13() // purpose: transformation of string in a number in a Q3.13 format // only +x.xxxx and -x.xxxx are correct // arguments: // corresponding string // return: number in a fixed-point Q3.13 format // note: only four decimal digit of too lengthy numbers are used !! //************************************************************************ int StringToQ3_13(char str[]){ uint8_t i=0; int var=0; int valq3_13=0; valq3_13=(str[1]-'0')<<13; // partie entiere dans le 2ieme bit // partie decimale sous forme d'un entier ( 0,5312 => 5312) var=(str[3]-'0')*1000 +(str[4]-'0')*100 +(str[5]-'0')*10 +(str[6]-'0'); // comparaison avec les puissances de -i (0,5 0,25 0,125 0,0625 ...) soit en entier 5000 2500 1250 625 ... for(i=0;i<13;i++) { // remplissage des bit correspondants a 0 ou 1 selon comparaison et soustraction le cas échéant du poids rencontré if (var>=(5000>>i)) { valq3_13 = valq3_13 | (1<<(12-i)); var=var-(5000>>i); } } // test le signe pour envoi du nombre ou de son opposé if (str[0]=='+') return valq3_13; else return -valq3_13; } //************************************************************************ // function check_syntaxe() // purpose: check syntaxe of numbers : // only +x.xxxx and -x.xxxx are correct // arguments: // corresponding string where characters lie // return: true or false // note: numbers too lengthy are considered as good numbers !!! //************************************************************************ uint8_t check_syntaxe(char str[]) { uint8_t i=3, result=0; if ((str[0]=='+')||(str[0]=='-')) result++; if ((str[1]=='0')||(str[1]=='1')) result++; if (str[2]=='.') result++; do { if ((str[i]<='9') && (str[i]>='0')) result++; i++; } while(str[i]!=0); if (result>=7) return 1; else return 0; } //************************************************************************ // function usart_gets() // purpose: gets characters in first rs232 PORT // arguments: // corresponding string where characters are put // return: corresponding string where characters are put // note: 38400,8,n,2 hard coded : transmission // initialisation uart prealable requise //************************************************************************ void usart_gets(char str[]) { uint8_t i=0; do { str[i]=usart_receive(); i++; } while(str[i-1]!=0x0D); // carriage return ? str[i-1]=0;//end of string } //************************************************************************ // function usart_puts() // purpose: puts characters in first rs232 PORT // arguments: // corresponding string // return: // note: 38400,8,n,2 hard coded : transmission // initialisation uart prealable requise //************************************************************************ void usart_puts(char str[]){ uint8_t i=0; do { usart_send(str[i]); i++; } while(str[i]!=0); } //************************************************************************ // function usart_puts_hexa() // purpose: puts number in hexadecimel in first rs232 PORT // arguments: // corresponding number // return: // note: 38400,8,n,2 hard coded : transmission // initialisation uart prealable requise // only for 16-bit numbers and then Q3.13 numbers //************************************************************************ void usart_puts_hexa(int nbQ3_13){ int8_t i=0,digit=0; char char_digit; usart_send('0');usart_send('X'); for (i=12;i>-1;i-=4) {// only four digits digit = (nbQ3_13 >> i) & 0x0F; char_digit=digit+0x30; if (char_digit>0x39) char_digit += 7; usart_send(char_digit); } } //************************************************************************ // function usart_init() // purpose: init first rs232 PORT // arguments: // no argument // return: // note: 38400,8,n,2 hard coded : transmission and reception //************************************************************************ void usart_init(void) { UCSRB = (1<<TXEN)|((1<<RXEN)); // transmission et reception } //************************************************************************ // function uart_send() // purpose: put character in first rs232 PORT // arguments: // corresponding character // return: // note: 38400,8,n,2 hard coded // initialisation uart prealable requise //************************************************************************ void usart_send(unsigned char ch){ while(!(UCSRA & (1<<UDRE))); UDR = ch; } //************************************************************************ // function uart_receive() // purpose: read character in second rs232 PORT // arguments: // corresponding character // return: blocking sub return char // note: 38400,8,n,2 hard coded, non-blocking sub return 0 if no data present // initialisation uart prealable requise //************************************************************************ char usart_receive(void){ while (!(UCSRA & (1<<RXC))); //attente tant que Data Present en réception return UDR; } </syntaxhighlight> }} Si ces utilitaires ne fonctionnent pas cela peut être dû à un problème dans la vitesse de transmission. Toutes ces routines sont commentées pour 38400 bauds mais peuvent fonctionner à des vitesses doubles ou moitié selon votre horloge système ! === Un programme principal pour tester === On donne un exemple partiel de programme principal pour tester : <syntaxhighlight lang=c> do { nbOK=0; // on boucle tant que la syntaxe n’est pas bonne do { usart_puts("Entrez un nombre au format +x.xxxx ou -x.xxxx"); usart_send(0X0D);usart_send(0X0A); usart_gets(chaine); nbOK=check_syntaxe(chaine); if (!nbOK) { usart_puts("!!!! Mauvais nombre !!!!"); usart_send(0X0D);usart_send(0X0A); } } while(!nbOK); // verification visuelle de saisie correcte : beta = StringToQ3_13(chaine); usart_puts("beta="); HexQ3_13ToString(beta,chaine); usart_puts(chaine); usart_send(0X0D);usart_send(0X0A); // fin verification visuelle // saisie de l'angle dans les deux PORTs PORTB = beta; // PORTC = beta>>8; PORTD = 1; // start // attente obligatoire du calcul : _delay_ms(50); x = PINB; x <<=8; // poussé dans poids forts x += PINA; y = PIND; y <<= 8; // poussé dans poids forts y += PINC; // Affichage du résultat HexQ3_13ToString(x,chaine); usart_puts(chaine); usart_send('=');usart_puts_hexa(x); usart_send(' ');usart_send(' ');usart_send(' '); HexQ3_13ToString(y,chaine); usart_puts(chaine);usart_send('=');usart_puts_hexa(y); usart_send(0x0D);usart_send(0x0A); _delay_ms(500); } while(1); </syntaxhighlight> Nous allons proposer quelques exercices matériels pour ceux qui veulent aller plus loin. == Quelques idées pour des exercices complémentaires == Nous allons présenter dans cette section un ensemble d'exercices pour aller plus loin avec CORDIC sur une petite architecture 8 bits. Certains de ces exercices ont été réalisés mais pas d'autres. Nous les laissons pour les étudiants ou enseignants qui désirent aller plus loin. === Transformer le cœur pipeline en périphérique === Le cœur pipeline du CORDIC que nous avons donné plus haut est assez mal adapté à la notion de périphérique. Il est en effet trop indépendant du processeur. Traditionnellement les périphériques sont configurables par des registres, et un drapeau indique la fin du travail. Ce bit peut d'ailleurs, en général, être utilisé pour déclencher une interruption... Un pipeline est, quant à lui, destiné à traiter des informations au fur et à mesure. D'une certaine manière, il ne termine jamais son travail. Notre problème va donc consister à le transformer en un périphérique digne de ce nom. ==== Ajouter un fonctionnement correct de l'entrée "ena" ==== L'entrée "ena" présente dans l'entité du cœur CORDIC ne sert absolument à rien. Vous allez transformer le fichier "cordic2.vhd" pour la rendre utile : s'il elle n’est pas à '1' le cœur ne calcule pas. Fonctionnement assez traditionnelle pour ce type d'entrée. L'utilisation d'un tel cœur consistera alors à : * positionner l'angle en écrivant dans deux PORTs * positionner "ena" à 1 pour lancer le calcul. * perdre un peu de temps et repositionner "ena" à 0 * lire les sinus et cosinus Ce qui nous déplait dans cette façon de faire est l'attente par perte de temps. À ce stade, il n'y a pas grand chose d'amélioré par rapport au cœur d'origine, sauf la possibilité de l'arrêter. Nous allons améliorer cela mais nous vous conseillons de réaliser cette étape et de la tester. ==== Ajouter une détection de la fin de calcul ==== Un bit de sortie sera prévu pour détecter la terminaison du calcul. Ce travail n’est pas difficile à faire. Il s'agit d'ajouter un compteur dans CORDIC sur 4 bits qui s'incrémente aussi avec "ena" (et l'horloge bien sûr). Quand le compteur est à une certaine valeur (14 pour nous) et bien on positionne un bit (appelé "done") à 1 (et l’on pourrait automatiquement positionner "ena" à 0 mais cette option ne sera pas choisie). L'utilisation d'un tel cœur consistera alors à : * positionner l'angle en écrivant dans deux PORTs * positionner "ena" à 1 pour lancer le calcul. * Attendre le positionnement du bit "done" (de fin de calcul) et repositionner "ena" à 0 (avec le processeur) * lire les sinus et cosinus {{remarque|contenu= La façon d'organiser tout cela peut se faire avec quelques petites variations : * le repositionnement de "ena" à 0 peut se faire de manière automatique quand on lit un des registres de résultat * le repositionnement de "ena" à 0 peut se faire automatiquement par la détection de la fin des calculs (ce n’est pas le processeur qui le fait) * le deuxième choix peut même amener à retirer le bit fin de calcul : c’est "ena" qui sert à tout : on le positionne à '1' et on attend qu’il repasse à 0 }} Et voici donc une correction partielle correspondant aux deux versions améliorées proposées ci-dessus : * Ajouter un fonctionnement correct de l'entrée "ena" * Ajouter une détection de la fin de calcul {{solution|titre=Solution partielle|contenu= D'abord la connexion du registre PORTD responsable du positionnement de "ena" (en poids faible) : <syntaxhighlight lang="vhdl"> -- IO write process -- iowr: process(I_CLK) begin if (rising_edge(I_CLK)) then if (I_CLR = '1') then L_RX_INT_ENABLED <= '0'; L_TX_INT_ENABLED <= '0'; elsif (I_WE_IO = '1') then case I_ADR_IO is when X"38" => -- PORTB Angle_LSB <= I_DIN; when X"35" => -- PORTC Angle_MSB <= I_DIN; when X"32" => -- PORTD Ena <= I_DIN(0); --Ena en poids faible du PORTD when X"2A" => -- UCSRB L_RX_INT_ENABLED <= I_DIN(7); L_TX_INT_ENABLED <= I_DIN(6); when X"2B" => -- UCSRA: handled by uart when X"2C" => -- UDR: handled by uart when X"40" => -- UCSRC/UBRRH: (ignored) when others => end case; end if; end if; end process; </syntaxhighlight > Ensuite la lecture de l'état du calcul avec encore le PORTD : <syntaxhighlight lang="vhdl"> iord: process(I_ADR_IO, U_RX_DATA, U_RX_READY, L_RX_INT_ENABLED, U_TX_BUSY, L_TX_INT_ENABLED,sinMSB,sinLSB,cosMSB,cosLSB) begin -- addresses for mega8 device (use iom8.h or #define __AVR_ATmega8__). -- case I_ADR_IO is when X"2A" => Q_DOUT <= -- UCSRB: L_RX_INT_ENABLED -- Rx complete int enabled. & L_TX_INT_ENABLED -- Tx complete int enabled. & L_TX_INT_ENABLED -- Tx empty int enabled. & '1' -- Rx enabled & '1' -- Tx enabled & '0' -- 8 bits/char & '0' -- Rx bit 8 & '0'; -- Tx bit 8 when X"2B" => Q_DOUT <= -- UCSRA: U_RX_READY -- Rx complete & not U_TX_BUSY -- Tx complete & not U_TX_BUSY -- Tx ready & '0' -- frame error & '0' -- data overrun & '0' -- parity error & '0' -- double dpeed & '0'; -- multiproc mode when X"2C" => Q_DOUT <= U_RX_DATA; -- UDR when X"40" => Q_DOUT <= -- UCSRC '1' -- URSEL & '0' -- asynchronous & "00" -- no parity & '1' -- two stop bits & "11" -- 8 bits/char & '0'; -- rising clock edge -- CORDIC outputs as processor inputs: when X"36" => Q_DOUT <= sinMSB; -- PINB when X"39" => Q_DOUT <= sinLSB; -- PINA when X"30" => Q_DOUT <= cosMSB; -- PIND when X"33" => Q_DOUT <= cosLSB; -- PINC -- exo 4-2 when X"32" => Q_DOUT(1) <= s_done; -- PORTD Q_DOUT(0) <= Ena; when others => Q_DOUT <= X"AA"; end case; end process; </syntaxhighlight > Ensuite le cœur CORDIC modifié <syntaxhighlight lang="vhdl"> library ieee; use ieee.std_logic_1164.all; use ieee.std_logic_arith.all; use IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL; --USE ieee.numeric_std.all; entity sc_corproc is port( clk : in std_logic; ena : in std_logic; Ain : in std_logic_vector(15 downto 0); done : out std_logic; sin : out std_logic_vector(15 downto 0); cos : out std_logic_vector(15 downto 0)); end entity sc_corproc; --ARCHITECTURE rtl OF sc_corproc IS --BEGIN -- PROCESS(clk) BEGIN -- IF rising_edge(clk) THEN -- cos <= Ain; -- sin <= Ain+1; -- END IF; -- END PROCESS; --END rtl; ARCHITECTURE rtl OF sc_corproc IS -- TYPE signed_array IS signed(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL x_array_1 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_1 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_1 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_2 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_2 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_2 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_3 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_3 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_3 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_4 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_4 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_4 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_5 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_5 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_5 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_6 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_6 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_6 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_7 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_7 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_7 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_8 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_8 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_8 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_9 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_9 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_9 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_10 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_10 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_10 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_11 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_11 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_11 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_12 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_12 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_array_12 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_array_13 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL y_array_13 : std_logic_vector(15 DOWNTO 0);--signed_array;-- := (OTHERS =>'0'); SIGNAL z_ip : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL x_ip : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); SIGNAL y_ip : std_logic_vector(15 DOWNTO 0); -- compteur pour signal done SIGNAL cmpt :std_logic_vector(3 DOWNTO 0); BEGIN -- compteur de gestion du signal done process(clk) begin if rising_edge(clk) then if ena ='1' then if cmpt < 14 then cmpt <= cmpt + 1; else cmpt <= x"E"; end if; else cmpt <=x"0"; end if; end if; end process; -- gestion done CORDIC process(cmpt) begin if cmpt = x"E" then done <= '1'; else done <= '0'; end if; end process; --CORDIC proprement dit PROCESS(clk) BEGIN IF rising_edge(clk) THEN IF ena = '0' THEN x_ip <= x"136F"; -- = 0.6073 en format Q3.13 ; z_ip <= (OTHERS => '0'); y_ip <= (OTHERS => '0'); ELSE IF Ain(15) = '1' THEN x_array <= (x_ip) + (y_ip); y_array <= (y_ip) - (x_ip); -- x_array <= x"136F"; -- y_array <= 0 - x"136F"; z_array <= (Ain) + x"1921";--tan_array(0); ELSE x_array <= x"136F"; y_array <= x"136F"; z_array <= (Ain) - x"1921";--tan_array(0); -- z_array <= x"2181"- x"1921";--tan_array(0); END IF; IF z_array(15) = '1' THEN x_array_1 <= x_array + (y_array(15) & y_array(15 downto 1)); y_array_1 <= y_array - (x_array(15) & x_array(15 downto 1)); z_array_1 <= z_array + x"0ED6"; ELSE x_array_1 <= x_array - (y_array(15) & y_array(15 downto 1)); y_array_1 <= y_array + (x_array(15) & x_array(15 downto 1)); z_array_1 <= z_array - x"0ED6"; END IF; IF z_array_1(15) = '1' THEN x_array_2 <= x_array_1 + (y_array_1(15) & y_array_1(15) & y_array_1(15 downto 2)); y_array_2 <= y_array_1 - (x_array_1(15) & x_array_1(15) & x_array_1(15 downto 2)); z_array_2 <= z_array_1 + x"07D6"; ELSE x_array_2 <= x_array_1 - (y_array_1(15) & y_array_1(15) & y_array_1(15 downto 2)); y_array_2 <= y_array_1 + (x_array_1(15) & x_array_1(15) & x_array_1(15 downto 2)); z_array_2 <= z_array_1 - x"07D6"; END IF; IF z_array_2(15) = '1' THEN x_array_3 <= x_array_2 + (y_array_2(15) & y_array_2(15) & y_array_2(15) & y_array_2(15 downto 3)); y_array_3 <= y_array_2 - (x_array_2(15) & x_array_2(15) & x_array_2(15) & x_array_2(15 downto 3)); z_array_3 <= z_array_2 + x"03FA"; ELSE x_array_3 <= x_array_2 - (y_array_2(15) & y_array_2(15) & y_array_2(15) & y_array_2(15 downto 3)); y_array_3 <= y_array_2 + (x_array_2(15) & x_array_2(15) & x_array_2(15) & x_array_2(15 downto 3)); z_array_3 <= z_array_2 - x"03FA"; END IF; IF z_array_3(15) = '1' THEN x_array_4 <= x_array_3 + (y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15 downto 4)); y_array_4 <= y_array_3 - (x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15 downto 4)); z_array_4 <= z_array_3 + x"01FF"; ELSE x_array_4 <= x_array_3 - (y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15) & y_array_3(15 downto 4)); y_array_4 <= y_array_3 + (x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15) & x_array_3(15 downto 4)); z_array_4 <= z_array_3 - x"01FF"; END IF; IF z_array_4(15) = '1' THEN x_array_5 <= x_array_4 + (y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15 downto 5)); y_array_5 <= y_array_4 - (x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15 downto 5)); z_array_5 <= z_array_4 + x"00FF"; ELSE x_array_5 <= x_array_4 - (y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15) & y_array_4(15 downto 5)); y_array_5 <= y_array_4 + (x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15) & x_array_4(15 downto 5)); z_array_5 <= z_array_4 - x"00FF"; END IF; IF z_array_5(15) = '1' THEN x_array_6 <= x_array_5 + (y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & --y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15 downto 6)); y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15 downto 6)); y_array_6 <= y_array_5 - (x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & --x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15 downto 6)); x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15 downto 6)); z_array_6 <= z_array_5 + x"007F"; ELSE x_array_6 <= x_array_5 - (y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15) & y_array_5(15 downto 6)); y_array_6 <= y_array_5 + (x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15) & x_array_5(15 downto 6)); z_array_6 <= z_array_5 - x"007F"; END IF; IF z_array_6(15) = '1' THEN x_array_7 <= x_array_6 + (y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15 downto 7)); y_array_7 <= y_array_6 - (x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15 downto 7)); z_array_7 <= z_array_6 + x"003F"; ELSE x_array_7 <= x_array_6 - (y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15) & y_array_6(15 downto 7)); y_array_7 <= y_array_6 + (x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15) & x_array_6(15 downto 7)); z_array_7 <= z_array_6 - x"003F"; END IF; IF z_array_7(15) = '1' THEN x_array_8 <= x_array_7 + (y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15 downto 8)); y_array_8 <= y_array_7 - (x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15 downto 8)); z_array_8 <= z_array_7 + x"001F"; ELSE x_array_8 <= x_array_7 - (y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15) & y_array_7(15 downto 8)); y_array_8 <= y_array_7 + (x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15) & x_array_7(15 downto 8)); z_array_8 <= z_array_7 - x"001F"; END IF; IF z_array_8(15) = '1' THEN x_array_9 <= x_array_8 + (y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15 downto 9)); y_array_9 <= y_array_8 - (x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15 downto 9)); z_array_9 <= z_array_8 + x"000F"; ELSE x_array_9 <= x_array_8 - (y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15) & y_array_8(15 downto 9)); y_array_9 <= y_array_8 + (x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15) & x_array_8(15 downto 9)); z_array_9 <= z_array_8 - x"000F"; END IF; IF z_array_9(15) = '1' THEN x_array_10 <= x_array_9 + (y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15) & y_array_9(15 downto 10)); 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z_array_11 <= z_array_10 + x"0003"; ELSE x_array_11 <= x_array_10 - (y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15) & y_array_10(15 downto 11)); y_array_11 <= y_array_10 + (x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15) & x_array_10(15 downto 11)); z_array_11 <= z_array_10 - x"0003"; END IF; IF z_array_11(15) = '1' THEN x_array_12 <= x_array_11 + (y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15 downto 12)); y_array_12 <= y_array_11 - (x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15 downto 12)); z_array_12 <= z_array_11 + x"0001"; ELSE x_array_12 <= x_array_11 - (y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15) & y_array_11(15 downto 12)); y_array_12 <= y_array_11 + (x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15) & x_array_11(15 downto 12)); z_array_12 <= z_array_11 - x"0001"; END IF; IF z_array_12(15) = '1' THEN x_array_13 <= x_array_12 + (y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15 downto 13)); y_array_13 <= y_array_12 - (x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15 downto 13)); -- z_array_13 <= z_array_12 + x"0000"; ELSE x_array_13 <= x_array_12 - (y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15) & y_array_12(15 downto 13)); y_array_13 <= y_array_12 + (x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15) & x_array_12(15 downto 13)); -- z_array_13 <= z_array_12 - x"0000"; END IF; END IF; END IF; END PROCESS; cos <= x_array_13; sin <= y_array_13; END rtl; </syntaxhighlight > Et enfin les extraits du programme C utilisant ce cour CORDIC modifié <syntaxhighlight lang=C> do { nbOK=0; // on boucle tant que la syntaxe n'est pas bonne do { usart_puts("Entrez un nombre au format +x.xxxx ou -x.xxxx"); usart_send(0X0D);usart_send(0X0A); usart_gets(chaine); nbOK=check_syntaxe(chaine); if (!nbOK) { usart_puts("!!!! Mauvais nombre !!!!"); usart_send(0X0D);usart_send(0X0A); } } while(!nbOK); beta = StringToQ3_13(chaine); usart_puts("beta="); HexQ3_13ToString(beta,chaine); usart_puts(chaine); usart_send(0X0D);usart_send(0X0A); // saisie de l'angle dans les deux PORTs PORTB = beta; // PORTC = beta>>8; PORTD = 1; // core start while((PORTD&0x02)==0); PORTD = 0x00; // core stop et RAZ done x = PINB; x <<=8; // poussé dans poids forts x += PINA; y = PIND; y <<= 8; // poussé dans poids forts y += PINC; // Affichage du résultat HexQ3_13ToString(x,chaine); usart_puts(chaine); usart_send('=');usart_puts_hexa(x); usart_send(' ');usart_send(' ');usart_send(' '); HexQ3_13ToString(y,chaine); usart_puts(chaine);usart_send('=');usart_puts_hexa(y); usart_send(0x0D);usart_send(0x0A); _delay_ms(500); } while(1); </syntaxhighlight> Remarquez que le matériel nécessite le passage du bit de poids faible à 0 avant un nouveau départ. Cette façon de faire pourrait être améliorée en utilisant un seul bit pour le départ et pour le done mais sa gestion se complique un peu. }} === Réalisation matérielle de la conversion virgule fixe vers virgule flottante === Cette conversion était l'objectif de la fonction donnée et déjà utilisée dans un exercice précédent : <syntaxhighlight lang=c> float HexQ3_13ToFloat(int val) </syntaxhighlight> Un coup d'œil sur le code source de cette fonction montre des calculs de puissance de deux en flottant et notre objectif ici est de les éliminer en laissant le matériel les réaliser. Pour ce faire, il est possible d’utiliser un cœur de calcul flottant, il en existe chez Opencores.org. Mais on va être plus subtil car notre conversion se fait dans un cas suffisamment simple et nous allons tenter une réalisation sans multiplication. 1°) Tester en C une conversion du type : Exposant = 129 Recherche du premier 1 dans le nombre Q3.13 en partant des poids forts et en décrémentant l'exposant. Une fois trouvé supprimer ce 1, puis mettre l'exposant à sa place (E dans la figure ci-dessous) et mettre la mantisse (dans M) aussi à sa place. On rappelle la documentation des nombres flottants : [[Fichier:IEEE754_Format_General.png|center|Format général de représentation des flottants]] {| class="wikitable" |- | || Encodage || '''S'''igne || '''E'''xposant | '''M'''antisse || Valeur d'un nombre || Précision || Chiffres significatifs |- | Simple précision || 32 bits || 1 bit || 8 bits || 23 bits || <math>(-1)^S \times M \times 2^{(E-127)}</math> || 24 bits || environ 7 |- | Double précision || 64 bits || 1 bit || 11 bits || 52 bits || <math>(-1)^S \times M \times 2^{(E-1023)}</math> || 53 bits || environ 16 |} Voici comment les choses se font sous Linux/Windows ('''en format simple précision''') : on remarquera l'absence de multiplication et de calcul flottant : <syntaxhighlight lang=c> // Serge Moutou avril 2013 version 0.9 // ************ Mai 2014 version 1.0 : remplacement pointeur par union //** Ne peut pas fonctionner avec avr-gcc pour lequel les tailles //** float (32 bits) et int (16 bits) ne correspondent pas ! //** Sous Linux/Windows les tailles sont toutes les deux 32 bits float HexQ3_13ToFloat2(int val){ union { float temp; int f_temp; } u; int i_temp; unsigned char exposant=129;//,*p; signed char i; if (val < 0) i_temp = -val; else i_temp = val; for (i=15;i>=0;i--) { if (i_temp & (1<<i)) { // on efface le '1' trouvé : i_temp= i_temp & ~(1<<i); break;// on sort de la boucle } exposant--; } u.f_temp = exposant; u.f_temp <<=23; u.f_temp = u.f_temp|(i_temp << (23-i)); if (val < 0) return -(u.temp); else return u.temp; } </syntaxhighlight> 2°) On va réaliser la conversion ci-dessus dans le matériel (en VHDL donc). En clair, notre cœur CORDIC va continuer à travailler en virgule fixe, mais le résultat sera converti en flottant par le matériel puis retourné au processeur. Pour éviter de multiplier les PORTs de l'AVR, on va utiliser un {{Abréviation|FIFO|First in first out|en}} dans lequel on viendra ranger les {{unité|8|octets}} correspondants aux deux nombres flottant du résultat. Trouver une machine d'états qui fait le calcul de conversion de la question 1 et remplit un {{Abréviation|FIFO|First in first out|en}} avec les {{unité|8|octets}} des deux résultats de CORDIC. === Conversion du résultat en chaîne de caractères de manière matérielle === Nous nous proposons maintenant de réaliser une conversion en chaîne de caractères des résultats en vue d'un affichage dans l'hyperterminal comme dans l'exercice qui utilisait "HexQ3_13ToString". Notre résultat devra avoir le format : signe digit1 '.' digit2 digit3 digit4 c'est-à-dire 6 caractères (7 en ajoutant le zéro de fin de chaîne) et ceci pour le sinus et le cosinus. Pour éviter d’avoir un nombre de PORTs trop important, vous allez utiliser un {{Abréviation|FIFO|First in first out|en}} comme dans l'exercice précédent. == Remplacer CORDIC par des valeurs pré-calculées en mémoire == Avant toute discussion, rappelons que le calcul CORDIC nécessite des valeurs pré-calculées donc de la mémoire. Calculons la taille mémoire que l’on a utilisé dans notre implantation. Les mémoires peuvent mémoriser des valeurs prédéterminées. === Mémoire pour notre cœur CORDIC === Le cœur CORDIC déjà présenté nécessitait de la mémoire : il devait mémoriser les valeurs de <math>atan(\delta_i)=atan(2^{-i})</math>. Mais cela représente une très petite taille car i varie de 0 à 13 (ce n’est pas la peine d'aller au-delà pour le format Q3.13). Cela fait donc 14 valeurs en format Q3.13 soit 14x16 bits = {{unité|28|octets}}. Trouver cela dans un {{Abréviation|FPGA|Field Programmable Gate Array|en}} ne pose aucune difficulté ! Bien sûr si l’on augmente la précision il faudra plus de mémoire mais la croissance est linéaire en i. === Mémoire pour éviter les calculs === Si l’on désire concurrencer CORDIC par une mémoire vous avez deux solutions : * on mémorise toutes les possibilités sur les angles en format Q3.13 * on mémorise quelques valeurs et si l’on tombe en dehors on fait une interpolation linéaire. Calculons la taille de la mémoire pour le premier cas qui est le plus défavorable. Il est facile de voir que l'angle varie entre les valeurs hexadécimales <math>({+\pi \over {2}} = (3243)_{hexa}) > \alpha > ({-\pi \over {2}} = (CDBD)_{hexa})</math>. Cela fait 12868 cases mémoires pour la partie positive si l’on s'en tient à mémoriser cette seule partie. Chacune des cases étant de deux octets on voit qu’il faut {{unité|25736|octets}} soit environ {{Unité|32|{{Abréviation|ko|kilooctet}}}}. == Généralisation de CORDIC == En introduisant un facteur ''μ'', on peut généraliser au cas linéaire et aux fonctions hyperboliques: ::<math>x_{i+1} = x_i - \mu d_i y_i 2^{-i}</math><br /> ::<math>y_{i+1} = y_i + d_i x_i 2^{-i}</math><br /> ::<math>z_{i+1} = z_i - d_i \alpha_i</math> === Résumé pour CORDIC universel === ::<math>x_{i+1} = x_i - \mu d_i y_i 2^{-i}</math><br /> ::<math>y_{i+1} = y_i + d_i x_i 2^{-i}</math><br /> ::<math>z_{i+1} = z_i - d_i \alpha_i</math> {| class=wikitable style="text-align:center; margin: 1em auto 1em auto" |- !rowspan=2|Mode!!Rotation!!Vectoriel |- |<math>d_i = \mbox{sgn } (z_i), \quad z \rightarrow 0</math> |<math>d_i = -\mbox{sgn } (y_i), \quad y \rightarrow 0</math> |- |'''Circulaire''' ''μ'' = 1<br /> ''α''_i = tan⁻¹2⁻ⁱ |[[Fichier:CORDIC Block, Circular, Rotation.svg]] |[[Fichier:CORDIC Block, Circular, Vectoring.svg]] |- |'''Linéaire''' ''μ'' = 0<br /> ''α''_i = 2⁻ⁱ |[[Fichier:CORDIC Block, Linear, Rotation.svg]] |[[Fichier:CORDIC Block, Linear, Vectoring.svg]] |- |'''Hyperbolique''' ''μ'' = -1<br /> ''α''_i = tanh⁻¹2⁻ⁱ |[[Fichier:CORDIC Block, Hyperbolic, Rotation.svg]] |[[Fichier:CORDIC Block, Hyperbolic, Vectoring.svg]] |- |colspan=3 align=left| * En mode hyperbolique, les iterations 4, 13, 40, 121, ..., ''j'', 3''j''+1,... doivent être répétées. La constante ''K&#39;'' donnée ci-dessous prend cela en compte. * ''K'' = 1.646760258121... * 1/''K'' = 0.607252935009... * ''K&#39;'' = 0.8281593609602... * 1/''K&#39;'' = 1.207497067763... |} ==== Exercice ==== Pour comprendre les dessins ci-dessus et négliger les détails de l'implémentation (matérielle ou logicielle), on vous demande de prendre le mode circulaire, d'initialiser x à 1/K et y à 0 (les entrées sont à gauche) et de dire ce qui sortira du coprocesseur CORDIC. === Étude d'un cœur CORDIC généralisé === Nous avons trouvé chez Opengores.org [http://opencores.org/project,cordic cœur CORDIC de Richard Herveille] fonctionnant en mode rotation et en mode vectorisé. Nous allons l'étudier brièvement maintenant. {{...}} == Un coprocesseur qui réalise un programme == Dans cette section nous allons nous intéresser au cœur CORDIC généralisé de la section précédente et le transformer en une entité possédant suffisamment d'instructions pour pouvoir réaliser l'un des calculs CORDIC généralisé. D'une certaine manière notre coprocesseur deviendra donc un processeur avec une [[w:Unité_arithmétique_et_logique|UAL]] un peu spéciale, un compteur programme, une mémoire programme et données. === Généralité sur l'interfaçage d'un coprocesseur === {{...}} === Interfaçage avec des PORTs === {{...}} === Interfaçage avec des mémoires === {{...}} == Voir aussi == === Liens internes === * [[w:CORDIC|CORDIC]] qui est l’article de référence dans wikipédia * [[b:en:Digital_Circuits/CORDIC|(en) CORDIC]] wikibook en anglais beaucoup plus technique que le précédent article * {{en}} [[:en:CORDIC_Hardware_Implementations|CORDIC]] wikiversity * [[Micro contrôleurs AVR/Arduino#CORDIC sur Arduino|CORDIC sur Arduino]] dans le livre sur les AVRs * [[../Utiliser un processeur externe#CORDIC et MSP430|CORDIC et MSP430]] dans le chapitre 18 de ce livre === Challenges === * [http://rijndael.ece.vt.edu/challenge/ ECE 4530 Codesign Challenge:Assignments and Results] Le dernier Challenge est sur CORDIC === Articles === * [http://www.embedded.com/design/prototyping-and-development/4007665/Speeding-up-the-CORDIC-algorithm-with-a-DSP (en) Speeding up the CORDIC algorithm with a DSP] * [https://www.cs.drexel.edu/~jjohnson/2012-13/fall/cs281/lectures/pdf/cs281_lec14.pdf cours en anglais sur la représentation des nombres flottants] * [http://users.encs.concordia.ca/~asim/COEN_6501/Lecture_Notes/L4_Slides.pdf Slides en anglais sur les nombres flottants] * [https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/15467/32BitFloatingPointAdder.pdf DESIGN OF SINGLE PRECISION FLOAT ADDER (32-BIT NUMBERS) ACCORDING TO IEEE 754 STANDARD USING VHDL] === Code C pour démarrer l'arithmétique virgule flottante === {{attention|Le premier lien ('''Mike Field''') ci-dessous n'est plus disponible et c'est bien dommage !}} [http://hamsterworks.co.nz/mediawiki/index.php/Custom_floating_point Custom flotaing point] ('''Mike Field''') nous a servi de point de départ dans [[../Améliorer_l'ATMega8_avec_l'ATMega16_et_l'ATMega32#Problèmes_non_résolus_avec_ce_soft_processeur|un autre chapitre]]. Nous y présentons un code fonctionnel pour l'addition en nombre flottant en C (sans la librairie standard de calcul flottant). === Livres === * Patrick R. Schaumont "A Practical Introduction to Hardware Software Codesign" Springer (2010). Le chapitre 12 est consacré à CORDIC * Reconfigurable Computing: The Theory and Practice of FPGA-Based Computation édité par Hauck, Scott et DeHon, Andre (2010). Le chapitre 25 aborde les architectures CORDIC {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Le NIOS d'Altera/]] | suivant = [[../Commande de robot mobile et périphériques associés/]] }} medun2xs04opdwmld5vpd0f647ikwak 0 58573 987551 986285 2026-10-21T08:39:15Z Marvoir 1746 Ai énoncé un second problème. La solution pour bientôt. 987551 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 33 | chapitre = [[../../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives/]] | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soit ''k'' un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins ''k'' éléments, soit ''x'' un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par G_x le stabilisateur de ''x'' dans G. Pour tout élément ''g'' de G_x et tout élément ''y'' de X-{x}, ''gy'' appartient à X-{x}, de sorte que le groupe G_x opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où ''gy'' correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :<br /> 1° l'action de G sur X est k-transitive;<br /> 2° l'action de G sur X est transitive et l'action de G_x sur X-{x} est (k-1)-transitive. {{clr}} {{Solution | contenu = Supposons 1° et prouvons 2°.<br /> Puisque l'opération de G sur X est supposée k-transitive, elle est transitive. Pour prouver 2°, il reste à prouver que l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive.<br /> Soient a₁, ..., a_k-1 (resp. b₁, ..., b_k-1) des éléments deux à deux distincts de X - {x}; il s'agit de prouver qu’il existe un élément ''g'' de G_x tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1. Cela revient à prouver qu’il existe un élément ''g'' de G tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1 et gx = x. Or cela est bien vrai, puisque a₁, ..., a_k-1, x sont ''k'' différents éléments de X, que b₁, ..., b_k-1, x sont eux aussi ''k'' différents éléments de X et que, d’après l'hypothèse 1°, le G-ensemble X est k-transitif. Nous avons donc prouvé que 1° entraîne 2°. Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°.<br /> Soient a₁, ..., a_k (resp. b₁, ..., b_k) des éléments deux à deux distincts de X; il s'agit de prouver qu' il existe un élément ''g'' de G tel que :(thèse 1) ga₁ = b₁, ..., ga_k = b_k. D'après l'hypothèse 2°, le G-ensemble X est transitif, donc il existe un élément ''h'' de G tel que :(2) ha₁ = x. De même, il existe un élément h' de G tel que :(3) h'b₁ = x. Les k-1 éléments ha₂, ..., ha_k de X sont distincts entre eux et distincts de ha₁, autrement dit de ''x''. Donc ha₂, ..., ha_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> De même, h'b₂, ..., h'b_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> Puisque, d’après l'hypothèse 2°, l'opération de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive, il existe donc un élément ''f'' de G_x tel que :fha₂ = h'b₂, ..., fha_k = h'b_k, ce qui peut s'écire :h'^-1fha₂ = b₂, ..., h'^-1fha_k = b_k. Donc si nous posons g = h'^-1 f h, nous avons :(4) g a₂ = b₂, ..., g a_k = b_k. De plus, g a₁ = h'^-1 f h a₁, d'où, d’après (2), :g a₁ = h'^-1 f x. Comme ''f'' appartient à G_x, cela revient à :g a₁ = h'^-1 x, ou encore, d’après (3), à :ga₁ = b₁. Joint à (4), cela prouve la thèse (1). }} Remarques. 1° L'énoncé de ce problème revient à dire que si ''k'' est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins ''k'' éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément ''x'' de X, G_x désigne le stabilisateur de ''x'' dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :<br /> a) l'action de G sur X est k-transitive;<br /> b) l'action de G sur X est transitive et pour tout élément ''x'' de X, l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive;<br /> c) l'action de G sur X est transitive et il existe un élément ''x'' de X tel que l'action de G_x sur X - {x} soit (k-1)-transitive.<br /> 2° Selon D.J.S. Robinson<ref>D.J.S. Robinson, ''A Course in th Theory of Groups'', seconde édition, Springer, 1996, p. 193.</ref>, l'énoncé qui précède est fondamental et permet de nombreux raisonnements par récurrence. == Problème 2 == On va prouver que si un groupe G opère transitivement sur un ensemble E d'au moins deux éléments, si ''x'' est un élément de E, alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :</br> a) l'opération de G sur E est primitive;</br> b) le stabilisateur de x dans G est un sous-groupe maximal de G.</br> (Rappelons que dans le chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]], nous avons défini un sous-groupe maximal d'un groupe G comme un sous-groupe ''propre'' M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe L de G tel que M < L <G.) La suite pour bientôt. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] }} i6ejsrpu2of56qxyog0xd991yi8xj3j 0 59449 987541 979406 2026-10-20T17:26:01Z Crochet.david 317 . 987541 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = économie | numéro = 6 | niveau = 16 | précédent = [[../La théorie du calcul de la prime/]] | suivant = [[../Travail de fond/]] }} == Rappels en guise d’introduction == Plusieurs notions s’entrecroisent pour former les principes de tarification. Mais : ‘Eclaircir n’est pas évident !...’ Nous avons vu ci-avant que les besoins du client final, qu’il soit un particulier ou une entreprise, sont divisés en '''3 grandes catégories de couverture de risques''' : # La protection des personnes, # La protection des biens, # L’épargne. La '''correspondance besoin / contrat''' est nécessaire déontologiquement... Nous avons compris aussi la nécessité d’apporter une solution en couverture d’un risque, et ce : * une solution temporaire à un besoin temporaire, * une solution viagère à un besoin viager. '''3 catégories d’assurances''' : * Les assurances de choses ou de dommages aux biens : l’assureur s’engage à indemniser l’assuré des dommages subis par ses biens, * Les assurances de responsabilité : l’assureur garantit l’indemnisation des tiers, victimes de dommages provoqués par l’assuré, * Les assurances de personnes : l’assureur verse un capital ou une rente défini par le contrat si le(s) risque(s) couvert(s) se réalise(nt). Les '''2 principes''' : * Indemnitaire, * Forfaitaire. Les '''2 types de gestion financière''' : * Répartition, * Capitalisation '''Les types d’assurances''' : * L’assurance individuelle, * L’assurance de groupe (association, fédération ou club de sport,…) '''La durée des contrats''' : * Les assurances IARDT : MRH, automobile… dont les contrats sont annuels à tacite reconduction, * Les assurances vie ayant une couverture pluriannuelle. Tout ceci pour regrouper les principes de tarification en '''2 pôles''' : * Les assurances par répartition plus connues sous le nom d’IARDT, * Les assurances vie. '''Répartition ou individualisation ?''' En répartissant, on part du principe que les cotisations encaissées de tous les clients du portefeuille durant une période permettent de couvrir les frais de ladite période. On évite des calculs actuariels puisque les flux entrants et sortants sont dans un même laps de temps… En schématisant on peut dire que c’est de la gestion dépenses / recettes… En individualisant il faut tenir compte que les cotisations d’une période vont permettre de servir les prestations qui seront éventuellement à verser dans un futur plus ou moins éloigné… Les calculs actuariels sont donc indispensables… en les associant avec de l’ingénierie financière… Mais ce découpage en 2 est tout à fait théorique car il y a des solutions hybrides d’assurances !… '''L’actuaire''' : « C’est un professionnel chargé de déterminer le montant des primes d’assurances en estimant l’impact financier d’un risque à l’aide de calculs de probabilités et de tables statistiques spécifiques ». == Principes == Couvrir le risque et la marge par un tarif adéquat. Et, on dirait que tout se passe comme s’il y avait la volonté d’émettre un tarif ne facilitant pas aux clients la comparaison et la mise en concurrence… == Les assurances « IARDT » == En assurance IARD (certains professionnels parlent de « non vie »), quels risques sont assurés ? '''Il s’agit des risques n’impliquant pas l’aléa viager ...''' ''Nota : le cas de Mme Calment Jeanne ! Maître Raffray était un notaire qui fit une bien mauvaise affaire : il signa avec une de ses clientes, une dame d'Arles alors âgée de {{Unité|90|ans}}, un viager. Il ne se doutait pas que sa cliente, Jeanne Calment deviendrait la doyenne de l'humanité à plus de {{Unité|122|ans}} et décèderait quelques années après lui. Cette «bonne affaire» aura coûté à Maître Raffray et à sa famille le double de la valeur de la maison, même s'il en a eu la jouissance quand celle-ci est partie en maison de retraite. Elle était née le 21 février 1875 sous la présidence de Mac-Mahon et mourut à {{Unité|122|ans}}, 5 mois et 11 jours.'' Que couvrent ces assurances ? Les risques IARDT portent sur : Incendie, Accident, Risques Divers, Transports De façon concrète ? L’appréciation du risque peut : * se révéler complexe… ''Exemple : Un contrat d’assurance auto comporte d’abord une garantie de responsabilité (obligatoire), mais aussi des garanties d’assurance de choses (vol, incendie, bris de glace, dommage au véhicule…), ainsi que des garanties dites de personnes (individuelle conducteur)'', * et nécessiter plusieurs visites de risque. Comment les tarifer ? 2 méthodes : (revoir notions de [[Probabilités sur les ensembles finis|probabilités]] et de [[Initiation à la statistique|statistiques]]) * Au départ, on ne connait pas les bases statistiques du risque couvert ⇒ on « tarifie à priori » * Ensuite, les tables statistiques ayant été établies, confirmées, acceptées… ⇒ on tarifie en segmentant les différents niveaux de risques. === La tarification à priori === On appelle « tarification à priori » le calcul des primes pour des risques : * nouvellement assurés, ou * dont on ignore les antécédents en matière de sinistres. Il n’existe donc pas de données statistiques. Seules les probabilités peuvent aider l’actuaire à évaluer le risque !!!... '''Comment estimer la tarification à priori ?''' Il s’agit de calculer le montant à réclamer à l’assuré pour couvrir son risque… Une notion essentielle qui vient immédiatement à l’esprit : le coût de revient… « Il faut faire face à la charge des sinistres »… Mais : y a-t-il seulement cela ? En réalité nous sommes à la recherche d’un équilibre : L’équilibre des opérations dépend du respect d’une égalité : le client devra payer… {{Encadre| | couleur = rouge | épaisseur = 1px | fond = Bisque | contenu='''Prime brute (sans taxes) = Prime pure + Chargements – Escompte de produits financiers + Marge Bénéficiaire'''}} '''En IARDT, le choix est la gestion par répartition !…''' ''Rappel : En répartissant, on part du principe que les cotisations encaissées de tous les clients du portefeuille durant une période permettent de couvrir les frais de ladite période. On évite des calculs actuariels puisque les flux entrants et sortants sont dans un même laps de temps… En schématisant on peut dire que c’est de la gestion dépenses / recettes…'' === La tarification à postériori === Il s’agit de modifier la tarification pour tenir compte des observations de la sinistralité : * globale : ''ex : facteurs de risques sociétaux'', * personnelle : ''ex : vieillissement de l’assuré, accidentologie''. Le cas le plus connu de tarification à postériori est le mécanisme de bonus/malus dans le cadre de l’assurance automobile. ''Rappel : Avec ce système de [https://www.service-public.fr/particuliers/vosdroits/F2655 bonus-malus], le conducteur qui ne cause pas d’accident bénéficie d’un bonus : sa cotisation de référence diminue. À l'inverse, l’automobiliste responsable d’un accident est pénalisé d’un malus : sa cotisation de référence augmente.'' C’est le '''ratio combiné « sinistre à prime S/P''' » qui est le capteur et le déclencheur d’actions correctives de la tarification. Il permet aux sociétés d’assurance le suivi des résultats techniques et donc de décider un indispensable redressement tarifaire. Il permet aussi une comparaison entre contrats d’une même entreprise et/ou une comparaison entre compagnie d’assurances. ==== Le ratio S/P ==== La grille tarifaire s’établit à partir du ratio combiné S/P. L’APREF (association des professionnels de la réassurance en France) nous livre une définition plus précise :<blockquote>« Somme des frais généraux, des commissions encourues, des sinistres survenus et des provisions complémentaires rapportées aux primes acquises ». Ce ratio doit être défini de façon stable, malgré les caractéristiques propres à chaque entreprise (activité, branche, etc). </blockquote>Exemple de graphe Bien qu’apparemment simple ce ratio combiné n’est pas encore universel. : « Le diable se loge dans les détails » (Nietzsche) ===== a) On trouve au numérateur : ===== Somme des frais généraux, des commissions encourues, des sinistres survenus et des provisions complémentaires. Pour le calcul des provisions : il existe un outil qui ne sera pas détaillé ici mais dont il faut avoir entendu parler « Le triangle de liquidation » : Application au C-triangle : Triangle de liquidation des coûts de sinistres cumulés Année de développement '''Provision''' Année d'origine 1 2 3 4 5 1 232,0 353,4 498,2 645,7 689,5 '''0,0''' 2 258,2 385,2 559,6 711,3 '''48,2''' 3 221,7 361,1 476,3 '''176,2''' 4 360,1 539,9 ''' 491,8''' 5 349,2 '''671,4''' Coefficient de passage 152,9% 139,5% 128,3% 106,8% 0 Produit des coefficients 292,3% 191,1% 137,0% 106,8% 0 Nota : Les étudiants travaillant dans des départements de gestion actuarielle des sinistres peuvent probablement se faire expliquer la procédure. ===== b) On trouve au dénominateur : ===== * Les primes : quelles primes ???... ** Pures/ d’inventaire ou commerciales / nettes d’annulations ?... ** Émises (terme équivalent de "facturées") / Acquises (terme équivalent de "payées") ?... Plusieurs notions viennent compliquer une « simplicité de façade »… * La notion de prime acquise totale ou de prime acquise proratisée à la période de couverture incluse dans l’exercice comptable… * La notion de Provision pour Primes Non Acquises : PPNA dans l’exercice comptable… * La notion de Provision pour Primes Acquises Non Émises : PANE dans l’exercice comptable… '''Explications de la proratisation :''' Il faut ramener les produits à l’exercice (dates de clôture) qui couvre le risque : sous forme de tableau (3 colonnes, 3 lignes) Exercice n Exercice n + 1 Exercice n + 2 Majeure part de la prime de l’exercice (n) Solde de prime de l’exercice (n) Part de prime de l’exercice (n+1) Solde de prime (n+1) Pour l’exercice n+1 on a donc : Solde de prime de l’exercice (n) mais couvrant une partie de (n + 1) + Part de prime de l’exercice (n+1) mais couvrant une partie de (n + 2) '''Explications de la proratisation :''' La prime payée annuellement en cours d’exercice peut être réglée par exemple en mars, elle offre une couverture d’une année à partir de mars. La période de couverture ne respectant pas le découpage comptable par exercices, il faudra mettre en œuvre le mécanisme des PPNA. Il faut ramener les charges à l’exercice qui couvre le risque Exercice n Exercice n+1 Exercice n+2 Survenance du risque fin d'année (n) Expertise, réparations, facturations Provision pour sinistre à payer PSAP Paiement du sinistre + Reprise de la provision PSAP Survenance du sinistre en fin d’année (n). Comme le sinistre ne peut être totalement réglé sur l’année (n) ⇒ constitution d’une Provision pour Sinistre à Payer PSAP : provision impactant l’année (n) mais paiement du sinistre et reprise de provision en année (n+1). ==== Le modèle fréquence coût ==== Par rapport à la tarification à priori on dispose maintenant d’information résultant de l’expérience et des données synthétisées dans des statistiques. Que devient la formule ? On reprend donc les aspects théoriques présentés précédemment… Le calcul de la prime pure s’effectue grâce au modèle : {{Encadre| | couleur = rouge | épaisseur = 1px | fond = Bisque | contenu = '''Prime Pure = Fréquence * Coût moyen'''}} Et on injecte les informations statistiques relatives à l’examen de la période passée : * La fréquence se calcule en faisant le ratio pour la période concernée : Nombre de sinistres NS divisé par le nombre de contrats NC. * Le coût moyen de la période concernée : c’est la somme des coûts des sinistres SCS divisé par le nombre de sinistres NS Soit : PP = NS/NC * SCS/NS Qui se simplifie en : PP = SCS/NC {{Encadre| | couleur = rouge | épaisseur = 1px | fond = Bisque | contenu = '''Prime Pure = somme des coûts des sinistres / nombre de contrats'''}} C’est la formule de calcul de la prime pure en environnement « tarification à postériori »… ==== La segmentation du tarif ==== Pour le calcul d’une prime pure, au-delà des simples règles de bon sens économique (les flux d’entrées doivent équilibrer les flux sortants !), l’assureur doit faire face à ce qui découle de l’asymétrie de l’information AS (ou dissymétrie d’information), l’assuré connaît mieux sa prise de risque réelle que l’assureur. « L’asymétrie d’information est tout simplement une information dissimulée et non partagée avec l’interlocuteur au cours d’un échange (revoir le schéma du marché et des 4 flux entre l’offre et la demande) : « je sais que tu ne sais pas ! ». Pour anticiper et prévoir de façon concurrentielle (dissymétrique) il faut et savoir et avoir des données que les autres n’ont pas. Le culte du secret, de l’opacité sont à la base des affaires … L’AS est la clef de l’analyse de la théorie des assurances. Elle a eu un impact majeur sur la recherche contemporaine dite néoclassique se fondant sur le paradigme d’individus isolés et raisonneurs. L’exemple typique est l’assuré automobile qui sait qu’il est un piètre conducteur et… un alcoolique… alors que l’assureur, lui, ne le sait pas. » L’existence de ce type d’individus et des conséquences de leurs comportements à risques (accidents graves) et impact sur tout le portefeuille du risque automobile conduit l’assureur à majorer les primes ; donc à pénaliser les plus vertueux, et donc, à voir disparaître certains d’entre eux (bons conducteurs sobres) à cause du prix, tandis que les chauffards irresponsables prolifèrent dans le portefeuille, sûrs qu’ils sont, de se faire rembourser en cas d’accident !... C’est ce que l’on nomme le '''phénomène d’anti sélection'''. Le marché chasse les bons et garde les mauvais. ‘Le S/P explose entraînant le tarif à la hausse régulière !!!’… Rappel : Le fait d’être couvert systématiquement « autorise n’importe quel comportement ». Les théoriciens appellent cela le risque moral ou l’'''aléa moral''' (« moral hazard »). Récapitulons : le marché de l’assurance et ses vicissitudes entraîne des attitudes sources de problèmes : * d’aléa moral, * d’anti-sélection, * voire de « passagers clandestins » : ceux qui profitent du système (les droits = les prestations) sans avoir payé la totalité du risque pris ! (les devoirs : la bonne déclaration entrainant la bonne cotisation)… La mise en place de la segmentation tarifaire permet d’une certaine façon de contourner ces « défauts »… En effet, si on dispose de données statistiques, et que l’on peut dégager des tendances : Peut-on être plus précis par rapport aux risques encourus par chacun de nos clients ? Peut-on, sans individualiser la prime à chacun d’eux, faciliter le travail de tarification en utilisant des ‘regroupements’ de clientèle ? Pour le calcul d’une prime pure, il est nécessaire d’avoir des classes de risques homogènes : les différents segments de clientèle... L’expérience en assurance et en calcul actuariel nous donne des raisons de penser que la prime pure n’est pas identique pour toutes les classes de risques, mais varie en fonction d’un ou plusieurs facteurs à cerner. Nous pouvons citer comme types de segmentations : * En assurance de personne, Indemnités Journalières, invalidité, dépendance : l’âge, le sexe, la profession ou CSP, le revenu, le niveau d’éducation, les maladies,… * En automobile : la puissance du véhicule, la zone de circulation (ville, campagne,…), l’usage du véhicule (personnel, professionnel, mixte), la mise à disposition d’un garage … * En MRH : la surface, le type d’habitation la zone de résidence, le type d’habitat urbain (ville, lieu-dit,…)… ==== Le scoring ==== Le scoring est une technique désormais couramment utilisée tant par les banques que par les assureurs. Cette technique s’appuie sur le calcul d’un « agrégat » : le score, en utilisant un modèle dit [[w:Probit|Probit]] et des logiciels statistiques spécialisés. Un score est un classement entre tous les individus en fonction de leurs caractéristiques jugées essentielles. Aussi faut-il déterminer les bonnes variables à traiter. Du point de vue mathématique c’est tout simplement une fonction qui, à tout l’ensemble des caractéristiques d’un individu, fait correspondre un nombre. ''Exemples de scoring dont l’on ne se doute pas : le classement des équipes de football en division 1 ou le classement de sortie des écoles d’ingénieurs, la note finale au bac, le classement au golf (handicap 12) ou au tennis (5-2)…'' À partir d’un critère de classement, il est possible de séparer les individus en deux groupes en définissant un seuil. (10 au Bac) : ceux qui sont dedans parce qu’ils respectent le critère et… ceux qui n’y sont pas !!!. En matière de crédit les banques fixent des seuils en deçà desquels l’accès au crédit est refusé. En matière d’assurance, il est possible de séparer les individus en deux groupes réputés « bons » ou « mauvais risques ». Ces derniers étant refusés ou risque exclus ou à tarification plus lourde (groupe de tarification et/ou surprime). Le scoring n’est pas totalement fiable car des erreurs de classement peuvent survenir : * considérer qu’un assuré est un « bon risque » à la signature du contrat alors qu’il s’avère mauvais avec le temps, * le jugement opposé (anti sélection, refus d’assurer) peut survenir aussi. Ici nous revenons à l’intérêt d’une vision à posteriori qui va permettre de revisiter tout le portefeuille de risques contrat par contrat, client par client. ==== L’impact d’une franchise ==== Remarquons que nous sommes dans un modèle IARD fréquence/ coûts soit en présence de deux aléas sur la période (n) : * Le nombre de sinistres N(n) : soit la distribution probable des fréquences de survenance du sinistre. * Le montant du sinistre Sj : soit la distribution probable du montant de la prestation : son coût. '''Mise en pratique sur Excel :''' Considérons un 1er exemple : Un portefeuille de 240 contrats Fréquence notée f : 10 % Sinistre moyen noté SM : {{unité|1000|€}} ⇒ Calculer la Prime pure noté PP ? Une distribution de sinistres de l’exercice : * Cinq sinistres de {{unité|500|€}} * Cinq de {{unité|800|€}} * Quatre de {{unité|1.000|€}} * Cinq de {{unité|1.200|€}} * Cinq de {{unité|1.500|€}} Appliquons une franchise de {{unité|200|€}}. Calculer l’influence sur la fréquence f, SM et donc sur le PP ? Considérons un 2ème exemple : Un portefeuille de 250 contrats Fréquence notée f : 10 % Sinistre moyen noté SM : {{unité|1000|€}} ⇒ Calculer la Prime pure noté PP ? Une distribution de sinistres de l’exercice : * Cinq sinistres de {{unité|500|€}} * Cinq de {{unité|800|€}} * Cinq de {{unité|1.000|€}} * Cinq de {{unité|1.200|€}} * Cinq de {{unité|1.500|€}} Appliquons une franchise de {{unité|500|€}}. Calculer l’influence sur la fréquence f, SM et donc sur le PP ? === Quelques éléments relatifs aux contrats IARDT === ==== L’automobile ==== Lutte contre la mortalité de la route… De la prévention des risques à l’indemnisation des victimes… La garantie responsabilité civile est obligatoire. Les taux de souscription des garanties non obligatoires sont élevés : exemple : * Vol : 82 % * Incendie : 82 % * Bris de glace: 88 % * Dommages (Tous accidents): 58 % Système de Bonus-Malus. ===== La tarification évolue en fonction ===== Impact des lois de sécurité routière… lois sur les limitations de vitesse, l’alcool au volant (un verre ça va ! 3 verres : bonjour les dégâts !), casque, ceinture de sécurité, contrôle technique, permis à points, conduite accompagnée, déploiement des radars,… Impact de la loi [[w:Loi_tendant_à_l'amélioration_de_la_situation_des_victimes_d'accidents_de_la_circulation_et_à_l'accélération_des_procédures_d'indemnisation|Badinter]] (1985) améliorant les procédures d’indemnisation des victimes. Nota : Les lois évoluent en fonction des pratiques individuelles et collectives et des outils de capture des données à des fins statistiques. Elles incitent à responsabiliser les usagers de la route et à préserver la paix sociale de la communauté… ===== Éléments de tarification et souscription ===== * Le conducteur (exclusif ou principal et autres conducteurs) : âge, sexe, ancienneté du permis de conduire, situation de famille, antécédent d’assurance, bonus-malus-antécédents-aggravations, kilométrage assuré, usage, zone de circulation, l’acceptation d’une franchise, modalité de paiements des primes. * Le véhicule : catégorie, nature, groupe, classe suivant la valeur à neuf hors taxes et le coût des réparations HT, date de 1ère mise en circulation, marqueur d’une CSP. ⇒ Segmentation du portefeuille + surprimes + exclusions de garanties, voire refus d’assurer sous conditions. ===== Caractéristiques du conducteur ===== '''Le permis de conduire :''' code de la route article R221-1. Ancienneté supérieure à {{Unité|3|ans}} ou conducteur novice. L’attestation et le certificat d’assurance apposé dans le véhicule. Le système de bonus-malus (code des assurances Article A 121-1). Le sur bonus pour les bons conducteurs réguliers. '''Le relevé d’informations''' (code des assurances Article A 121-2) : Justification d’une assurance effective (conducteur principal) au cours des 3 dernières années. Liste des sinistres dans la dernière période de conduite. Le taux de bonus-malus. '''Le risque aggravé''' (code des assurances Article A 335-9, 2ème) : Infractions graves au code de la route. Comportement indélicat avec les forces de l’ordre ou les autres usagers. Fausse déclaration. Pratiques à risques (roue AR en ville) et sinistralité élevée. '''La franchise''' a été introduite pour inciter les conducteurs à une plus grande prudence et pour limiter la déclaration de petits sinistres. '''Le défaut de paiement''' est préjudiciable à la qualité de la relation contractuelle. ===== Caractéristiques de l’usage du véhicule ===== Les assureurs veulent cerner l’intensité de la circulation du véhicule, la qualité du réseau routier, et le comportement différencié de certains conducteurs. L’utilisation sera appréciée en fonction : * de la CSP du (des) conducteur(s), car il existe des statistiques spécifiques… * des utilisations régulières que les conducteurs effectuent : Promenade / Promenade + trajet domicile travail /Affaire / tous déplacements (visites et tournées). Certains assureurs commercialisent des packs « conduite connectée » à installer dans le véhicule incluant une géolocalisation par GPS. Ce matériel permet : * d’obtenir une réduction de tarif dans des cas précisés au contrat, * de pouvoir avertir plus rapidement et de façon plus précise le service d’assistance, le dépanneur et le Samu en cas d’incident ou d’accident, * il va aussi permettre à l’assureur de connaître l’utilisation de la voiture, la façon de la conduire,… et… quid de la « liberté des déplacements » ?... ===== Caractéristiques du véhicule ===== Définition du mot « '''véhicule''' » : Code des assurances Article L 211-1 '''Le certificat d’immatriculation''' (ex-carte grise) porte toutes les précisions utiles à la description du véhicule. Le contrôle technique : code de la route article R323-22 Le terme « véhicule terrestre à moteur » englobe de nombreux outils de travail : transport, chasse neige, bulldozer, pelle mécanique, etc.  nécessité de préciser, de catégoriser… '''La catégorie''' : code de la route Article R311-1 * M : automobiles * N : la nature du véhicule : camion, attelage, remorque * L : la nature du véhicule est : cyclomoteur, scooter, moto Pour les véhicules de catégories M : 2 paramètres permettent de préciser : Le groupe et la classe… '''Le groupe''' est représenté par un chiffre. Il est fonction de la puissance fiscale du véhicule et de sa vitesse maximale. Il aide à déterminer la partie de la prime correspondant à la garantie responsabilité civile circulation. '''La classe''' est représentée par une lettre. Elle est fonction du prix catalogue TTC au jour de la 1èr mise en circulation du véhicule, du coût des pièces détachées et de la conception de la réparation. ''Nota : Toutes ces particularités liées au véhicule risquent d’être sérieusement revues avec la mise en circulation des voitures autonomes, à conduite assistée, à pilotage automatique (le « conducteur » lâche le volant et les pédales…).'' ===== Caractéristiques de la zone géographique de conduite ===== L’assureur détermine des secteurs géographiques pour lesquels il va définir une tarification : les zones de tarification. La zone tient compte des notions de fréquence et de coût moyen des sinistres. On remarque statistiquement qu’en milieu : * urbain la fréquence est élevée, alors que le coût moyen est bas. La sinistralité en vol est forte… * rural la fréquence est basse, alors que le coût moyen est fort. La sinistralité en vol est faible. Les assureurs ont classé les communes en 5 zones. En général chaque département est classé dans une zone à l’exclusion des agglomérations de plus de 100 000 habitants. C’est ordinairement la zone de stationnement habituel du véhicule qui est retenue, cependant pour les véhicules dans la zone de circulation peut être éloignée de leur lieu de stationnement ou de garage, on retient la zone tarifaire… la plus élevée des 2 !!!. ===== Caractéristiques du sinistre ===== C’est l’accident de la circulation : code des assurances article R 211-5 Le constat amiable '''Notion d’implication''' du véhicule terrestre à moteur qui va au-delà de la notion de causalité de l’accident. Un véhicule peut intervenir dans un accident sans en avoir été la cause première (ex : carambolages). '''Notion d’imputation''' des dommages causés à l’accident déclaré : tous les conducteurs impliqués sont tenus in solidum de réparer les dommages subis par les victimes… La poursuite ou l’action en réparation intentée par la victime (loi de 1985) : jurisprudence de la cour de cassation. ==== La multi risque habitation (MRH) ==== Gestion par répartition Tableau Garanties % des cotisations Fréquences Incendie 24% 8.6% Dégâts des eaux 22% 32.5% Vol 18% 9.4% RC 14% 18.7% T.G.N 10% 4.2% Autres 5% Bris de glace 3% 3% Dommage Électrique 3% Protection Juridique 1% L’assurance propriétaire non occupant : PNO (meublé ou non meublé) Problématique de l’assurance d’un appartement par des colocataires qui ne se connaissent pas : couvrir leurs risques entre eux et couvrir le risque par rapport au propriétaire. ===== Critères de tarification ===== En incendie / dégâts des eaux : nombre de mètres carrés, nombre de pièces principales En vol : zone (urbaine, campagne), contenu de valeurs… ===== Tendances ===== Les coûts moyens de chaque garantie augmentent régulièrement à un rythme supérieur à l’indice FFB (Fédération Française du bâtiment) qui sert de base de la revalorisation des cotisations. ==== Quelques éléments relatifs aux contrats d’assurances de dommages corporels ==== Gestion par répartition 2 catégories : * L’assurance contre les accidents corporels * L’assurance maladie complémentaire Détails concernant les assurances complémentaires : * Risque maladie, * Risque prévoyance, * Risque dépendance, * Risque maladies graves redoutées… ===== L’accident corporel ===== Sous la pression de la concurrence commerciale, la grille tarifaire qui avait été élaborée par les organismes professionnels est tombée en désuétude. Les critères principaux : âge, profession, nature de l’activité (manuelle, intellectuelle, mixte / loisir, compétition, mixte / autres), nature des garanties, champ d’application (professionnel, privé, mixte), durée de la garantie, barème médical si opportun, franchises acceptées,… '''La tarification évolue en fonction :''' Le professionnalisme dans les pratiques et les clubs sportifs, La « démocratisation » des pratiques à risque, Le recours des organismes sociaux vis-à-vis des assureurs d’activités lors d’accident de pratique, La judiciarisation des litiges… ===== La santé ===== Notions de santé obligatoire, complémentaire et sur complémentaire (individuelle)… Les critères principaux : l’âge, le sexe, l’état de santé, « l’appétit de consommation », montant des garanties… Diversification des offres : offre de base, offre +; ++; +++ ⇒ Sélection du risque (individuelle santé) + segmentation du portefeuille ====== La tarification évolue en fonction ====== Impact de la loi Evin (interdiction de la publicité sur le tabac) : + de {{Unité|20|ans}} d’ancienneté, et des lois de lutte contre l’alcoolisme, le tabagisme et autres… Impact des différentes réformes successives en santé, à l’accès aux soins (CMU)… Impact des décisions concernant le remboursement des dépenses de santé : notamment le tiers payant, le parcours de soins, la carte vitale avec puce et photo, les franchises, la continuité de la garantie (articles 4, 6 et 7 loi Evin)… Impact des réformes hospitalières et de sécurité sociale… Impact des lois de sécurité routière… lois sur les limitations de vitesse, l’alcool au volant (un verre ça va ! 3 verres : bonjour les dégâts !), casque, ceinture de sécurité, … Des intervenants mis sur un pied d’égalité : la taxe pour tous. La loi relative aux contrats collectifs en santé : notamment l’ANI… et la dernière loi (Marisol Touraine) en cours d’étude au parlement (03/2015)… ====== Le tarif ====== Tout est bon pour « décourager » le client qui veut faire une étude de marché en consultant les différentes offres… * Calculs en % à partir du TM, du TR, du RSS, etc. * Exclusions partielle ou totale, * Forfaits, * Packs (incluant des « choux et des carottes », de la parapharmacie, des « médecines » douces,…),… * … ====== Éléments sociologiques à date ====== Les objets connectés envahissent notre quotidien, notamment dans celui de la santé : * Bracelets de consommation de calories, vérifiant le rythme cardiaque…mais aussi bracelets des prisonniers sous contrôle judiciaire ! * Pèse-personne mesurant la masse graisseuse, * Tensiomètres intelligents (quantité de stress accumulé), * Indicateurs divers : taux de glucose dans le sang, * Pompes pour injection programmés de médicaments, * Micro-robots ingérés… Nano technologies... * Exosquelettes... * Tous ces capteurs récupèrent une masse d’informations sur l’hygiène et le mode de vie des utilisateurs et les distillent sur diverses applications mobiles résidant dans les smartphones et autres PC... voire sur le web directement, et/ou sur un dossier médical personnalisé, plus ou moins sécurisé… Bien des convoitises alimentent cette frénésie technologique : * L’industrie pharmaceutique qui veut faire des affaires non seulement sur les patients atteints de « pathologies remboursées » et aussi… sur les sujets bien portants et solvables… La parapharmacie est un filon… * Les start-ups, en charge de ces nouveaux projets et/ou des développements d’applications logicielles. * Et !... Les assureurs (les actuaires !) qui veulent mieux connaître le profil de leurs clients et qui ont besoin de mettre en place des outils statistiques… disent-ils ! Bases de données anonymisées, annoncent-ils !… Mais : Quid de la protection des données personnelles confidentielles ?… Rien à ce jour ne la garantit !!! Personne aujourd’hui n’a envie d’un « Big brother » moderne : (re)lire à ce sujet les ouvrages... entre autres : * "[[w:1984_(roman)|1984]]" de George Orwell ou * "[[w:La_Ferme_des_animaux|La ferme des animaux]]" de George Orwell ou * "[[w:Le_Meilleur_des_mondes|Le meilleur des mondes]]" de Aldous Huxley ou * "[[w:La_Zone_du_dehors|La zone du dehors]]" d’Alain Damasio… ====== Métrique et éthique ====== Certains auteurs montrent qu’il est normal que les assureurs fassent des études sociologiques, des statistiques… allant jusqu’à accepter l’idée qu’un assureur module ses tarifs en fonction du comportement d’un type d’assurés (pour lutter contre l’aléa moral !). ''Exemple de la réduction non-fumeur déjà opérationnelle''… Si cette perspective de segmenter, voire d’individualiser, le risque… et donc de moduler le tarif jusque et y compris en utilisant des objets connectés individualisés : cela pose plusieurs questions : * Quid des plus malchanceux qui n’ont pas choisi de subir une pathologie ? (double peine !) * Quid de la mutualisation des risques, fondement de notre système de protection sociale basé sur la solidarité ? Pour l’heure, la Loi interdit de moduler les tarifs d’une complémentaire santé en fonction du comportement d’un assuré… Mais « économie et gestion obligent », qu’en sera-t-il de la tarification applicable demain ??? === Quelques éléments relatifs aux autres contrats d’assurances gérés par répartition === Nous verrons plus loin que d’autres contrats viennent se ranger dans la catégorie « tarification type IARDT » car ils sont gérés par répartition. Le ratio combiné S/P en est le fondement. La conséquence que fait peser une dégradation du ratio combiné sur la tarification incite tous les assureurs à procéder à la '''sélection du risque'''. Contrairement à bon nombre de segments de marché : Tout client n’est pas forcément un client à assurer !… C’est une spécificité de ce métier et de cette industrie !!! Pour des raisons pédagogiques et de présentation, les autres contrats d’assurance gérés par répartition seront détaillés ci-après… == Les assurance vie == === Rappels en guise d’introduction === Les 3 « personnes » au contrat d’assurance vie : Le souscripteur / l’assuré / le bénéficiaire… Les assurances '''en cas de vie''' : * L’assurance de capital différé en cas de vie, * L’assurance de rente en cas de vie (immédiate, différée, mixte), * La contre assurance dans les assurances en cas de vie. L’assurance retraite est donc une assurance en cas de vie Les assurances '''en cas de décès''' : * L’assurance en cas de décès dite « vie entière » ou « viagère », * L’assurance en cas de décès temporaire dite « temporaire – décès », L’assurance '''mixte ordinaire''' qui mixe les garanties : * Garanties « vie », * Garantie « dommage corporel ». Les types d’assurances : * L’assurance individuelle * L’assurance de groupe (association, fédération ou club de sport,…) '''En VIE, le choix est la gestion par individualisation !…''' ''Rappel : En individualisant il faut tenir compte que les cotisations d’une période vont permettre de servir les prestations qui seront éventuellement à verser dans un futur plus ou moins éloigné… Les calculs actuariels sont donc indispensables… en les associant avec de l’ingénierie financière…'' Voyons maintenant comment se tarifient ces différentes assurances, et en premier lieu les principes… === Éléments de statistique et de démographie === Il n’est pas possible dans ce cours de se lancer dans des études sophistiquées de la démographie. Néanmoins, il faut avoir pris conscience que la plupart des risques couverts par les assurances vie sont influencées par les évolutions démographiques. A minima rappelons : Le taux des naissances par rapport au taux des décès permet de mesurer les déséquilibres de la pyramide des âges. Pour la retraite : Nous vivons plus vieux. La période travaillée de la vie est plus courte car la durée des études est plus longue et que l’âge de la prise de retraite tend à rester le même sous la pression des revendications sociales. De ce fait, pour les régimes de retraite par répartition, le nombre cotisants diminue par rapport au nombre de retraités. Pour la dépendance : Nous vivons plus vieux (En France, nous gagnons 1 trimestre de plus tous les ans !), mais pas forcément en bonne santé jusqu’au bout. Nota : Les transhumanistes nous promettent de vaincre la mort par maladie avant la fin du XXIe siècle… Donc le nombre de personnes âgées va croître, et, en parallèle, le risque de dépendance dans le grand âge. Quelques éléments pour démarrer votre initiation… ==== Généralités ==== Sur les sites internet, on trouve Wikipédia : article relatif à la démographie ==== Pyramide des âges (France) ==== Sur les sites internet des instituts nationaux, on trouve : * INED : une explication de la pyramide des âges en cours, * INSEE : les animations des pyramides d’âges… ==== Indicateurs démographiques ==== Sur les sites internet, on trouve : * Natalité : naissance, fécondité, * Mortalité : décès, courbe de survie, espérance de vie, espérance d e vie par CSP * Couple, famille, ménages, coût d’un enfant,… * Revenus, salaires, budgets,… * Retraites… Exemples de graphiques : Espérance de vie Survie ==== Santé ==== Sur les sites internet, on trouve * INSEE : dépendance * Agence régionale de santé ARS, le tableau de bord santé et inégalités de santé : Santé en Midi Pyrénées, === Les principes de tarification assurance vie === ==== Les 2 faces de la pièce : prime de risque et cotisation d’épargne ==== La double nature de l’assurance vie détermine les composantes de la prime à payer par le souscripteur. L’assuré et le bénéficiaire ont des droits sur la provision mathématique constituée. ===== La cotisation liée au risque ===== L’assurance sur la vie représente tout d’abord une opération d’assurance qui tend à garantir une sécurité face à un éventuel risque. Cette garantie de sécurité est couverte par une prime de risque. Lorsque le risque envisagé qu’il faut couvrir est le décès et que le contrat est de longue durée, la prime de risque devrait… augmenter au cours du temps… Pour des raisons concurrentielles, techniques et commerciales les assureurs ont renoncé à cette progression et ont nivelé la prime sur toute la durée du contrat. Une partie de la prime de risque perçue est donc mise en réserve dans la première partie du contrat pour être utilisée dans la 2e partie du contrat : c’est la 1ère source de la provision mathématique du contrat d’assurance vie. ===== La cotisation d’épargne ===== L’assurance sur la vie représente aussi une opération d’épargne et un placement. L’assureur doit prévoir la constitution d’un capital qui sera payé au terme par capitalisation des cotisations d’épargne du souscripteur. Cette capitalisation est la principale source de la provision mathématique du contrat d’assurance vie. ==== Périodicité du paiement de la cotisation ==== Compte tenu du double caractère de la prime totale, il y aura des particularités par rapport au segment IARDT. On retrouve bien sûr les périodicités standards : * Annuelle : par exemple à la date anniversaire de la souscription du contrat * Semestrielle, * Trimestrielle, * Mensuelle. Il y a de plus, la possibilité laissée au client de choisir : * La prime unique PU : le client obtient la garantie de l’assureur par le seul versement effectué lors de la souscription du contrat. Le bordereau d’adhésion précise les attendus de cette procédure. Et en fonction des capacités d’épargne : * Le versement libre : le client verse selon ses capacités (combien, quand) en utilisant la procédure ''ad hoc'', * Le versement programmé : le client demande la mise en place anticipée d’un programme de versements libres sur une période libre (un échéancier). Là aussi une procédure ''ad hoc'' s’impose. ==== Paramètres de calcul de la cotisation ==== Dans tous les cas, il convient de distinguer : * la « prime pure », qui représente le coût de la garantie donnée par l’assureur, compte tenu des techniques de l’assurance et des lois applicables de la statistique, * la « prime commerciale », qui constitue le « prix » de l’entreprise d’assurance, * Les « chargements ». ==== La revalorisation de la cotisation vie ==== La prestation garantie liée au risque, qui sera versée au terme du contrat, doit pouvoir conserver son « pouvoir d’achat »… Ce qui revient à dire qu’il est judicieux de prévoir contractuellement une revalorisation de cette prestation en fonction de données d’environnement économique exclusivement : taux d’intérêt de période, inflation,… La revalorisation de la garantie nécessite une révision du calcul de la cotisation. Néanmoins le client peut refuser cette revalorisation (garantie et cotisation) et le maintien des conditions acquises. === La tarification des assurances vie en cas de décès === Le tarif (art A-335-1 et suivants du Code des assurances) comprend 3 paramètres : * Les tables de mortalité, * Le taux d’intérêt qui permet de calculer la capitalisation, * Les chargements. De nombreux textes complémentaires sont venus modifier, moderniser les règles techniques et les bases tarifaires. Détaillons ces 3 paramètres… ==== Les tables de mortalité ==== L’outil de base des actuaires pour calculer le tarif d’une assurance vie en cas de décès est la table de mortalité. Une table de mortalité est un instrument statistique permettant de déterminer la probabilité qu’a un individu vivant, ayant atteint un certain âge, à être encore vivant à un autre âge. Légende du tableau : exemple de la table TD 88-90 : Age : année en cours – année de naissance (le 01 janvier est donc la date anniversaire de tout le monde pour les statisticiens !!!) l(x) : nombre de personnes vivantes à l’âge x, d(x) : nombre de personnes décédées à l’âge x, q(x) : probabilité de décéder à l’âge x p(x) : probabilité de survie à l’âge x Relations entre les données : {{Encadre| | couleur = rouge | épaisseur = 1px | fond = Bisque | contenu = '''l(x+1) = l(x) – d(x)'''}} Le nombre de vivants à l’âge (x+1) est égal au nombre de personnes vivantes à l’âge x moins les personnes n’ayant pas atteint l’âge suivant (x+1). {{Encadre| | couleur = rouge | épaisseur = 1px | fond = Bisque | contenu = '''q(x) = d(x) / l(x)'''}} La probabilité de décéder à l’âge x est égale au rapport entre le nombre de personnes décédées durant l’âge x sur le nombre de personnes vivantes à l’âge x. {{Encadre| | couleur = rouge | épaisseur = 1px | fond = Bisque | contenu = '''p(x) = l(x+1) / l(x)'''}} La probabilité de survie à l’âge x est égale au rapport entre le nombre de personnes vivantes à l’âge (x+1) sur le nombre de personnes vivantes à l’âge x. Exercice : monter sur Excel la table TD 88-90 en saisissant la colonne des âges et celle du nombre de personnes vivantes. Faites calculer automatiquement les 3 autres colonnes d(x), q(x), p(x). Vérifier avec le tableau fourni. L’article A-335-1 du code des assurances modifié permet à l’assureur de choisir : * La table INSEE homologuée par arrêté. * Une table d’expérience établie par l’assureur et certifiée par un actuaire indépendant agréé. Depuis 2006 : * Pour les contrats de rente viagère : TGF 05 pour les femmes et TGH 05 pour les hommes. * Pour les autres contrats : TF 00-02 pour les femmes et TH 00-02 pour les hommes. Le « dogme de l’égalité des sexes » tend à modifier ces pratiques de calcul lié au sexe. Une nouvelle orthodoxie (européenne à minima : Voir la série d’arrêts récents de la cour de justice européenne) voit le jour avec des difficultés d’application. Attention : Les tables de mortalité sont fonctions des pathologies courantes et du niveau d’autonomie. L’analyse du '''questionnaire de santé et de modes de vie QSMV''' dûment rempli par l’assuré lors de la souscription permet au médecin conseil, à l’actuaire et…au rédacteur du contrat d’assurance de prendre une décision de tarification qui s’impose au courtier et à son client. ''Rappel des 5 possibilités / QSMV : accord / surprime / exclusion / ajournement / refus d’assurance.'' ==== Le taux d’intérêt ==== L’assureur place l’argent versé et le fait fructifier sur la durée du contrat. Les produits de sa gestion financière génèrent donc un intérêt aux assurés. L’assureur anticipe ces intérêts et tient compte dans la construction de son contrat d’un certain taux d’intérêt moyen annuel. Plus le taux d’intérêt stipulé est élevé, plus le tarif est bon marché : On dit que le tarif est inversement proportionnel au taux d’intérêt stipulé. Afin de combattre les « dumpings commerciaux », les autorités de tutelle ont émis des règles obligeant les assureurs à ne pas promettre des taux d’intérêts non raisonnables. Le contrôle de solvabilité des entreprises d’assurances préconise un taux bien inférieur au taux du marché afin que les assureurs soient certains de servir leur promesse sur la durée du contrat, quelles que soient les tendances et les fluctuations des différents marchés mis à contribution. Dans la profession on a l’habitude de distinguer les 2 types de taux suivants. ===== Les taux techniques contractuels ===== Article A 132-1 du code des assurances Cet article se base sur le « taux moyen des emprunts d’État (TME) » et donne le mode d’exploitation de ce taux de base sur a durée du contrat. ===== Les taux de rendement garantis ===== Article A 132-2 du code des assurances Les entreprises d’assurances peuvent garantir un taux minimal de rendement « taux minimum garanti TMG ». Le TMG peut être défini annuellement, mais sans dépasser un seuil défini par l’article A 132-3 du code des assurances. Le TMG peut être défini sur une période (8 années maximum) en fonction d’une référence fournie par un marché réglementé de valeurs mobilières. ==== Les chargements ==== Il s’agit des charges de production et de gestion que l’assureur supporte pour maintenir une plateforme technique d’administration du contrat. La déréglementation et la suppression du contrôle ''a priori'' des contrats et tarifs a simplifié les textes…Il paraît que la concurrence favorise le client… !!! Cependant l’information de l’assuré est toujours prévue dans les contrats, voire a été renforcée dans la durée du contrat : une information régulière (annuelle) relative aux frais prélevés se généralise… Exonération de l’ancienne taxation fiscale pour ne pas handicaper les assureurs français dans la concurrence communautaire et la compétition internationale… ==== Utilisation de tarifs en assurance vie en cas de décès ==== Les garanties souscrites par un assuré sur ses différents contrats sont censées se cumuler pour le calcul des cotisations… Exercice : Comparer le tarif d’un contrat décès temporaire et d’un contrat décès « vie entière ». ===== Assurance emprunteur ADI (en décès) ===== Lorsqu’une personne emprunte de l’argent à un banquier, ce dernier prend 2 risques : * Le risque vie : l’emprunteur n’a plus les moyens de rembourser et ne paye plus les échéances (chômage, arrêt de travail, invalidité et handicap), * Le risque décès : l’emprunteur décède avant la fin du remboursement complet. L’assurance emprunteur permet de couvrir le risque décès. Par leur typicité de « gestion par répartition », ces assurances sont plutôt considérés de type IARDT…(S/P). Nota : Durant la vie du prêt, le remboursement partiel anticipé d’une partie du capital restant à rembourser fait l’objet de calculs financiers fastidieux… pour ce niveau de formation. Exercice sur une assurance ADI : AGIPI ARC ===== Assurance décès temporaire ===== Sortie en capital. Sortie en « rente éducation » au profit de chaque enfant selon modalités contractuelles. Sortie en rente « pension de conjoint » selon modalités contractuelles. Sortie combinant les 3 possibilités selon modalités contractuelles. Par leur typicité de « gestion par répartition », ces assurances sont plutôt considérées de type IARDT…(S/P) Spécificités : Assurance homme clef, couverture croisée entre actionnaires… ===== Assurance décès viager « vie entière » ===== Solution de couverture du patrimoine en cas de décès. Sortie en capital. Sortir le carnet de chèques est une certitude pour l’assureur !!! Permet de couvrir : (1) les frais d’obsèques, (2) les derniers impôts, (3) les frais notariés et frais de succession. Dans certains contrats, l’arrêt des cotisations après une période « plancher » définie au contrat est générateur d’une garantie proratisée au décès de l’assuré. Le risque couvert comprend un seul aléa : La date de décès de l’assuré… La difficulté du calcul de la tarification tient à l’inversion du cycle de production. ====== Contenu du tarif d’une assurance décès vie entière : ====== '''La prime :''' La prime est versée par l’assuré pour qui la couverture de risque est garantie. Elle comporte des chargements d’acquisition et de gestion, liés au fonctionnement de la solution et qui servent à faire face aux coûts de gestion. Rappel : La prime pure est en principe incompressible (non négociable) dans la mesure où elle est actuellement tarifiée en fonction d’une table réglementaire. Toutefois il est possible d’utiliser une table d'expérience, sous validation par un actuaire indépendant. La prime pure est le reflet du risque de mortalité du client. Elle représente ce que le client doit verser à ce jour pour garantir le versement du capital contractuellement défini lorsque le décès surviendra. '''Les chargements :''' Les chargements représentent l’ensemble des montants qui se rajoutent à la prime pure (calculée par les actuaires) et qui sont au profit de l’assureur. Les principaux sont les frais d’acquisition, des frais d’encaissement, les frais de gestion. Ces charges sont, pour la plupart, permanentes… Les paiements par le client (les produits de l’assureur) sont répartis dans la vie du contrat au rythme de la durée et de la périodicité des cotisations. Donc il existe un décalage entre « les charges et les produits » : c’est l’écart de Zillmer. La tarification qui représente l’engagement de l’assuré, va tenir compte de cet écart via le processus de zillmérisation (valeur actuelle nette VAN). Certains contrats d’assurance permettent le versement en une seule fois des commissions dues à l’apporteur, même pour des contrats à primes périodiques : c’est l’escompte des commissions. La zillmérisation de la cotisation périodique du client permet de faire face à la charge immédiate que l’assureur supporte vis-à-vis de son circuit de distribution. === La tarification des assurances vie en cas de dépendance === Solution de couverture du patrimoine en cas de dépendance. Sortie en rente de dépendance : rente totale ou rente partielle, Possibilités de mixer des sorties en capital et des contrassurances (voir autres UV) influençant la tarification… Le risque couvert comprend 2 aléas : * Celui de la date d’entrée en dépendance : démarrage du versement de la prestation contractuelle, * Celui de la durée de ladite dépendance : durée du versement… ==== Schéma théorique ==== Schéma :Taux de mortalité des autonomes q(x) Personnes autonomes Personnes décédées Taux d’incidence i(x) Personnes dépendantes Taux de mortalité Taux de prévalence j(x) des dépendants qd(x) ==== Organisation de la couverture de risque ==== Les instituts nationaux des statistiques ont entrepris depuis une trentaine d’années des études sociologiques et démographiques. Les enjeux sont importants d’autant que les éléments démographiques ne sont pas favorables. Les gouvernements successifs se sont penchés sur la capacité de notre pays à mutualiser ce risque : * sans succès à ce jour au plan national (notion de 5e risque pour la sécurité sociale), * par contre les régions et départements ont mis en place des aides spécifiques (problèmes de financement). Y aura-t-il un jour comme pour les autres risques : * Une part « obligatoire » pour assurer un minimum : la prestation vitale ?, * Une part « facultative » sur initiative individuelle pour compléter la prestation vitale jusqu’à l’expression du besoin ? Les assureurs se sont emparés de cette « confusion » et leurs actuaires ont réalisé les analyses nécessaires pour établir le tarif de cette couverture de risque. À ce jour, il y a encore peu d’ancienneté pour avoir une bonne estimation des équilibres sociaux (et sociétaux !)… On trouve sur les sites internet : * INSEE : Carte géographique de la dépendance en métropole * Direction de l’information légale : Une 5e branche (risque) de la sécurité sociale ? * FFSA : Études diverses === La tarification des assurances vie en cas de retraite === Seuls les contrats typiquement « retraite individuelle » sont envisagés ici… Rappels : Il s’agit de contrats complémentaires gérés par capitalisation. Complémentaires car ils viennent compléter les dispositions « retraite de base » gérées par répartition. Le client peut cumuler les contrats complémentaires individuels retraite. Le contrat retraite peut se dénouer : * de façon standard en cas de vie : en rente pour constituer et/ou compléter une pension de retraite, * en cas de vie : un mixte entre le capital de départ et la rente, * soit en cas de décès de l’assuré : en rente ou capital, au profit du bénéficiaire désigné au contrat. Il existe plusieurs types de rentes : Les connaissez-vous ? (réversibles 60 ou 100, décennale, viagère,…). C’est au moment des choix de liquidation de retraite que les calculs financiers transformant la provision mathématique en capital et/ou rentes seront effectués. Les sorties en rente peuvent faire l’objet de frais d’arrérages (arrérage : synonyme de pension mais non versée si elle n’est pas dûment réclamée !)… Nota : Vous trouverez dans les dossiers des clients « vieux » de l’agence des contrats de ce type avec des frais précomptés (non commercialisables aujourd’hui !). Il s’agissait de contrats d’assurance incluant le versement en une seule fois des commissions dues par l’assureur à l’apporteur. ==== Contenu du tarif d’une assurance retraite ==== Le tarif est fonction : * du statut (salarié cadre ou non cadre, fonctionnaire, libéral, artisan-commerçant,…), * du métier, * de l’âge, du sexe, * du type de prestations proposées et de leurs niveaux. Exercice en commun : Quels sont les types de contrats retraite que vous connaissiez en fin de formation licence ? Notion de contrassurance… === La tarification des assurances vie « épargne pure » === ==== Présentation de l’assurance vie épargne ==== Cette solution est un « véhicule de transport » dans le temps d’une épargne constituée ou en cours de constitution par le client. C’est aussi un outil de transmission du patrimoine pour « déjouer » certaines règles de la dévolution légale (succession)… Mais… Pour combien de temps encore ? Ce « véhicule » possède en parallèle divers avantages fiscaux par rapport aux produits bancaires traditionnels. Il peut se dénouer : * Soit en cas de vie, * Soit en cas de décès. Prestations : * Sortie en capital, * Sortie en rente, * Sortie mixte… Lorsqu’il n’y a pas dans le contrat de taux d’intérêt garanti ou si le taux garanti est très raisonnable il n’y a « plus vraiment » de risque pour l’assureur en cas de vie… Mais « faut pas le dire !!! »… On peut convenir qu’il y a une forme « d’obligation de moyen », mais il n’y a assurément pas d’obligation de résultat, encore moins de capital garanti pour l’assuré… Néanmoins, face à cette critique, certains contrats garantissent le versement du capital versé (somme des montants versés au cours du contrat sans actualisation). Notion de contrassurance. Le « tarif » est constitué par un ensemble de frais qui peut se détailler en : * Frais de souscription ou de dossier, * Frais d’entrée ou frais sur versements, * Frais annuels d’adhésion (assurances de groupe) et frais annuels gestion, * Frais d’arbitrages, Les sorties en rente peuvent faire l’objet de frais d’arrérages… ==== Le contrat de capitalisation ==== Un contrat de capitalisation est une enveloppe fiscale propre à la France très proche d'un contrat d'assurance-vie, avec quelques particularités fiscales (Impôt de Solidarité sur la Fortune ISF notamment). Ce contrat est régi par les articles L 141-1 et suivants, L 131-1 et suivants et L 321-1 du code des assurances. La catégorie d’opération d’assurance est précisée dans les articles L 321-1 e R 321-1 du code des assurances : Branche 24, capitalisation Attention : Le contrat de capitalisation n’est pas une assurance et n'offre donc pas d'avantage successoral en cas de décès du souscripteur. Au décès de celui-ci, le contrat est intégré à la succession comme le reste de ses biens. {{Bas de page | idfaculté = économie | précédent = [[../La théorie du calcul de la prime/]] | suivant = [[../Travail de fond/]] }} myl86us2f9sjjbgxoi9frz0y9w8k27c 0 87390 987539 987538 2026-10-20T16:24:17Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987539 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : * dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} o7zlu48ysp3e3b7jdswglx04tounc13 987543 987539 2026-10-20T22:06:51Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987543 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : * dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 29c8m1963u6jqzju79t2m7flda4qwg9 987544 987543 2026-10-21T04:07:46Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987544 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}affectant le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> on obtient : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} sqkcp0v0xit4h02pj652ljkve69bn0u 987545 987544 2026-10-21T04:09:05Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987545 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}affectant le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> on obtient : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} oiy90ioj0wqfk93x6g6s1oouum0y6ju 987552 987545 2026-10-21T10:13:54Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987552 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}affectant le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> on obtient : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} g3b82x42rz986fcv5anesfn8otdbt4l 987553 987552 2026-10-21T10:16:55Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987553 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}affectant le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> on obtient : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} icn5nbo1rlpniv7okxvwmlyd9ykwtus 987554 987553 2026-10-21T10:29:56Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987554 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}affectant le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> on obtient : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 8ruofolvgim6tbyyaozvb2ohrx1x2nj 987555 987554 2026-10-21T10:31:49Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987555 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}affectant le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> on obtient : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 1r95uxk92jq414itu4fghel32ug1lim 987556 987555 2026-10-21T10:41:47Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final */ 987556 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} m4ydmk6gm1493481bd259b8f2hy0kxh 987557 987556 2026-10-21T10:45:30Z Phl7605 31541 987557 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 4bo3zuqzyqh4z5fispaogf0r5cl08al 1 87400 987558 2026-10-21T11:36:00Z Sartus85 81215 /* Erreur dans le tableau des « Règles orthographiques extrêmement importantes » ? */ nouvelle section 987558 wikitext text/x-wiki == Erreur dans le tableau des « Règles orthographiques extrêmement importantes » ? == Bonjour, J’utilise souvent cette page pour m’entrainer avec les déclinaisons, Cependant, j’ai l’impression qu’il y a une erreur au niveau du tableau des « Règles orthographiques extrêmement importantes ! » Il est écrit&nbsp;: « Après ж, ч, ш, щ, ц, si la désinence (terminaison) n'est pas accentuée, on n'écrit pas о, mais е. » Or dans le tableau en dessous, on trouver que ц donne lieu à un o après une désinence non accentué Est-ce une erreur du tableau, un cas particulier ou une erreur de ma part ? Merci [[Utilisateur:Sartus85|Sartus85]] ([[Discussion utilisateur:Sartus85|discuter]]) 21 octobre 2026 à 11:36 (UTC) 1gr0v17v5qt5k69m6exzi66l7o06uix