ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.47.0-wmf.19 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 28347 180583 175299 2026-09-13T21:03:09Z יעל שרה 25923 180583 wikitext text/x-wiki בחלק זה נרענן ונחדד מושגים אשר הסברנו אותם באופן פשטני בפרק [[אלגברה לינארית/פעולות במרחב R^n#מטריצה במרחב R^n|פעולות במרחב R^n]] {{הגדרה| מספר=1| שם=מרחב השורות של המטריצה| תוכן= תהי המטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אז '''<u>מרחב השורות של A</u>''' זהו המרחב הנפרש ע"י שורות המטריצה. אם נסמן ב-<math>R</math> את שורות המטריצה, אזי <math>R_1(A),R_2(A),\dots,R_m(A)</math> הן שורות המטריצה <math>A</math> ומרחב השורות הוא <math>R(A)=\mbox{span}\{R_1,R_2,\dots,R_m\}</math>. מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\{vA|v\in\mathbb{F}^{1\times m}\}</math> או <math>\{A^tv|v\in \mathbb{F}^m\}</math> }} {{הגדרה| מספר=2| שם=מרחב העמודות של המטריצה| תוכן=תהי המטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אז '''<u>מרחב העמודות של A</u>''' הוא המרחב הנפרש ע"י עמודות המטריצה. אם נסמן ב-<math>C</math> את עמודות המטריצה, אזי <math>C_1(A),C_2(A),\dots,C_n(A)</math> הן עמודות המטריצה A ומרחב העמודות הוא <math>C(A)=\mbox{span}\{C_1,C_2,\dots,C_n\}</math>. מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\{Av|v\in\mathbb{F}^n\}</math> . נראה כי מימד מרחב העמודות הוא תמיד מספר המשתנים התלויים במערכת <math>Ax=0</math> (ראה מרחב האפס והמשפט אחריו). {{הגדרה| מספר=3| שם=מרחב האפס| תוכן= '''<u>מרחב האפס</u>''' הוא מרחב כל הוקטורים שמאפסים את מטריצה <math>A</math> כלומר, <math>N(A)=\{v\in\mathbb{F}^n|Av=0\}</math> . }}{{משפט| מספר=1| שם=מימד מרחב האפס הוא מרחב העמודות (קבוצת הפתרונות הפורשים מטריצה הם קבוצת העמודות של המטריצה)| תוכן=נראה כי מימד מרחב האפס הוא תמיד מספר המשתנים החופשיים במערכת <math>Ax=0</math> . '''הוכחה:''' כידוע, תמיד מספר המשתנים התלויים + מספר המשתנים החופשיים = מספר העמודות ולכן מתקבל: <math>\dim C(A)+\dim N(A)=n</math>}} }} {{תרגיל| מספר=1| שאלה= תהי המטריצה <math>\begin{bmatrix}1&0&-1\\ -2&1&0\\ 3&-2&1\end{bmatrix}</math> מצאו מטריצה כך ש-<math>span(v_1,v_2,v_3)=\{ x\in\mathbb{R}|A=0 \}</math> |פתרון=מאחר ש-<math>v_3\in span \{v_1,v_2 \}</math> (בגלל ש-<math>\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 3 \end{bmatrix}= -2 \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}+(-1) \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}</math> על כן נפתור את מערכת המשוואות <math>Ax=0</math> עבור <math>v_1,v_2</math> גרידא. לפי [[אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור|כפל מטריצה בווקטור]] <math>Av=v_1c_1+\dots + v_nc_n</math> <math>\begin{bmatrix} x_1& x_2& x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}=-x_1+x_3=0</math> על כן אחרי הכפלה נקבל <math>x_1=x_3</math> עבור <math>v_2</math> נקבל את המערכת <math>\begin{bmatrix} x_1& x_2& x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}= x_2-2x_3</math> לכן אחרי הכפלה נקבל <math>x_2=2x_3</math> קבלנו כי המקדמים הינם <math>x_1, \ x_2=2,x_3=x_1=1</math> כלומר <math>v=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}</math> |יישור=ימין}} {{משפט| מספר=2| שם=<math>\dim C(A)=\dim R(A)</math>| תוכן= }} [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] 73uy7tgwa9rs8k67qob7n9wyvu989xa