ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 12918 180994 142631 2026-10-20T10:21:12Z ~2026-55999-05 25987 180994 wikitext text/x-wiki במרכז הספורט יש: * בריכה * חדר כושר (מחיר המנוי הינו עבור ביטוח בלבד - 450 ש"ח לשנה) * מגרשי טניס * אולם כדורסל (קטרגל, כדורעף) * אולמי סקווש * קפיטריה הכניסה מותנית בהצגת כרטיס סטודנט. {{מורה נבוכים לסטודנט בטכניון|מוגבל}} {{קצרמר}} [[קטגוריה:מורה נבוכים לסטודנט בטכניון]] 410a0ricvjwidzhdnn1rthprx6hcexj 0 29095 180991 179719 2026-10-20T05:11:41Z ~2026-56031-36 25986 /* גבול של פונקציה בנקודה */ 180991 wikitext text/x-wiki {{לאחד|חשבון אינפיניטסימלי/גבולות}} ==גבול של פונקציה בנקודה== {{הגדרה|שם=גבול של פונקציה בנקודה לפי קושי|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה נקודה של <math>a</math>, נאמר שהגבול של הפונקציה <math>f</math> כאשר <math>x</math> שואף ל<math>a</math> הוא <math>L</math>, אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>. '''דוגמא:''' נוכיח שמתקיים <math>\underset{x\to 2}{\lim}f(x)=9</math>, כאשר <math>f(x)=2x+5</math>. יהי <math>\epsilon>0</math>, נבחר <math>\delta =\frac{\epsilon}{2}</math>, לכן כאשר <math>|x-2|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|=|2x+5-9|=|2x-4|=2|x-2|<2\delta=\epsilon</math>, ולכן מתקיים <math>\underset{x\to 2}{\lim}f(x)=9</math>. <math>\blacksquare</math> }} ==הגדרת הגבול לפי היינה== {{הגדרה|שם=הגדרת הגבול לפי היינה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> אם לכל סדרה <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, ולכל <math>n</math>, <math>x_n\not = a</math>, מתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_n)=L</math>.}} {{משפט|שם=הגדרת הגבול לפי היינה שקולה להגדרת הגבול לפי קושי {{הוכחה| נוכיח את הכיוון הראשון, נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>, וגם שמתקיים לסדרה(כללית) <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math>, <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, ולכל <math>n</math> גם <math>x_n\not = a</math>. לפי הגדרת הגבול של פונקציה לפי קושי, לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ולפי ההנחה שמתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|x_n-a|<\epsilon</math>, לכן קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|x_n-a|<\delta</math>, אבל אז לפי הגדרת הגבול של קושי מתקיים לכל <math>n>N</math> גם <math>|f(x_n)-L|<\epsilon</math>, ולכן <math>\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_n)=L</math>. בכיוון השני, נניח שמתקיימת הגדרת הגבול לפי היינה, כלומר לכל סדרה <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, ולכל <math>n</math>, <math>x_n\not = a</math>, מתקיים <math>\underset{n\to\infty} {\lim}f(x_n)=L</math>, ונניח בשלילה שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\not = L</math>, לכן לכל <math>\delta>0</math> קיים <math>x</math> וקיים <math>\epsilon>0</math> כך שמתקיים <math>|x-a|<\delta</math> אבל <math>|f(x)-L|\ge \epsilon</math>, וכיוון שזה נכון לכל <math>\delta>0</math>, זה בהכרח נכון ל<math>\delta=1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}...</math>, לכן לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> קיים <math>x_n</math> כך שמתקיים <math>|x_n-a|<\frac{1}{n}</math>, אבל <math>|f(x_n)-L|<\epsilon</math>, לכן קיבלנו סדרה של ערכים, <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math>, כיוון שמתקיים לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> האי שוויון <math>a-\frac{1}{n}<x_n<a+\frac{1}{n}</math>, ושני הצדדים שואפים ל<math>a</math>, נקבל לפי משפט הסנדוויץ שמתקיים גם <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, אבל אז לפי ההנחה שלנו(היינה) מתקיים גם <math>\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)= L</math>, וזאת בסתירה לכך שהנחנו שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>|f(x_n)-L|\ge \epsilon</math>. }} }} }} {{משפט|שם=יחידות הגבול, אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=M</math> אז בהכרח <math>L=M</math>.|תוכן= {{הוכחה| נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=M</math>, אבל <math>L\not = M</math>, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים <math>L>M</math>, נבחר <math>\epsilon=\frac{L-M}{5}</math>, אז קיימת <math>\delta_1</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_1</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<x<L+\frac{L-M}{5}</math>, וגם קיימת <math>\delta_2</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_2</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<x<L+\frac{L-M}{5}</math> אבל כיוון שמתקיים <math>L>M</math>, מתקיים גם <math>L-\frac{L-M}{5}>M+\frac{L-M}{5}</math>, ולכן נקבל שמתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<x<M+\frac{L-M}{5}<L-\frac{L-M}{5}<x<L+\frac{L-M}{5}</math> בסתירה, ולכן <math>L=M</math>.}}}} ==אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה== {{משפט|שם=אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה|תוכן= תהיו <math>f,g</math> פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של <math>a</math>, כך שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אז מתקיים: * <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)+\underset{x\to a}{\lim}g(x)=L+M</math>. * <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\cdot g(x)=\underset{x\to a}{\lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim}g(x)=L\cdot M</math>. * אם מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x) \not =0</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim}f(x)}{\underset{x\to a}{\lim}g(x)}=\frac{L}{M}</math> * <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)-\underset{x\to a}{\lim}g(x)=L-M</math>. {{הוכחה| תחילה, אם <math>f</math> מוגדרת בסביבת <math>\delta_1</math> של <math>a</math>, ו<math>g</math> מוגדרת בסביבת <math>\delta_2</math> של <math>a</math>, אז <math>f</math> וגם <math>g</math> מוגדרת בסביבת <math>\min(\delta_1,\delta_2)</math> של <math>a</math>. *נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אזי לכל סדרה <math>x_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ולכל סדרה <math>y_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=M</math>, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)+g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)+\underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=L+M</math>, ולכן <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)+\underset{x\to a}{\lim}g(x)=L+M</math>. * נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אזי לכל סדרה <math>x_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ולכל סדרה <math>y_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=M</math>, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)\cdot g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)\cdot \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=L\cdot M</math>, ולכן <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim}g(x)=L\cdot M</math>. * נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אזי לכל סדרה <math>x_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ולכל סדרה <math>y_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=M</math>, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(\frac{x_n}{y_n})=\frac{\underset{n\to \infty}{\lim}x_n}{\underset{n\to \infty}{\lim}y_n}=\frac{L}{M}</math>, ולכן <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim}f(x)}{\underset{x\to a}{\lim}g(x)}=\frac{L}{M}</math>. * לפי כלל הסכום שהוכחנו, וכלל הכפל, נוכל לכתוב <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)-\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\underset{x\to a}{\lim}f(x)+(-1)\underset{x\to a}{\lim}f(x)</math>, ונקבל מיידית את המבוקש. }}}} ==משפטי גבולות== {{משפט|שם=משפטי גבולות|תוכן= תהיו <math>f,g</math> פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של <math>a</math>, ונניח שהגבולות <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x),\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math> קיימים, אז: # אם קיימת סביבה נקובה של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math>, אז מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\le \underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>. # אם מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x) < \underset{x\to a}{\lim}g(x)</math> אז קיימת סביבה נקובה של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)<g(x)</math>. # משפט הסנדוויץ' לפונקציות, תהיו <math>f,g,h</math> פונקציות, ונניח שהגבולות <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x),\underset{x\to a}{\lim}h(x)</math> קיימים ושווים זה לזה, וגם קיימת סביבה מנוקבת של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)\le g(x) \le h(x)</math>, אז קיים גם הגבול <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, ומתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\underset{x\to a}{\lim}h(x)</math>. {{הוכחה| 1. נניח שקיימת סביבה נקובה של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math>, נקרא לה <math>\delta_0</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L,\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, ונניח בשלילה שקיימת סביבה נקובה שבה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, נסמן אותה <math>\delta_1</math>. לפי הגדרת הגבול, קיים <math>\delta_2</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_2</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M}{5}</math>, וגם קיים <math>\delta_3</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_3</math> מתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<g(x) <M+\frac{L-M}{5}</math>, נבחר <math>\delta=\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2,\delta_3)</math>, ולכן מתקיימים כל התנאים, אבל גם מתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<g(x)<M+\frac{L-M}{5}\overset{(1)}{<}L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M}{5}</math>, ומטרנזיטיביות היחס <math><</math> נקבל שמתקיים <math>g(x)<f(x)</math>, בסתירה לכך שבסביבה שבחרנו מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math>, קיבלנו סתירה ולכן בהכרח מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\le\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>. (1) כיוון שהנחנו שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, כלומר <math>L>M</math>. <math>\blacksquare</math> 2. נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, לכן לפי הגדרת הגבול קיים <math>\delta_0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_0</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M}{5}</math>, וגם קיים <math>\delta_1</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_0</math>, מתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<g(x)<M+\frac{L-M}{5}</math>, נבחר <math>\delta=\min(\delta_0,\delta_1)</math>, לכן מתקיימים שני התנאים, ומתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M} {5}\overset{(1)}{<}M-\frac{L-M}{5}<g(x)<M+\frac{L-M}{5}</math>, ומטרנזיטיביות היחס <math><</math> נקבל שמתקיים <math>f(x)<g(x)</math> (1) כיוון שהנחנו שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)<\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, כלומר <math>L<M</math>. <math>\blacksquare</math> 3. נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}h(x)=L</math>, נשתמש בהגדרת היינה לגבול של פונקציה בנקודה. תהי <math>x_n</math> סדרה המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי ההנחה מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=\underset{n\to \infty}{\lim}h(x_n)=L</math>, ולפי ההנחה שלנו, קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>f(x_n)\le g(x_n)\le h(x_n)</math>, ולכן לפי משפט הסנדוויץ' לסדרות, מתקייים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=L</math>, ולכן לפי הגדרת היינה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\underset{x\to a}{\lim}h(x)</math>. }} }} ==גבולות חד-צדדיים== {{הגדרה|שם=גבולות חד-צדדיים של פונקציה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה נאמר ש<math>L</math> הוא '''הגבול מימין''' של <math>f</math> ב<math>a</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=L</math>, אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>a<x<a+\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ונאמר ש<math>L</math> הוא '''הגבול משמאל''' של <math>f</math> ב<math>a</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>, אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>a-\delta<x<a</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>}}. {{הגדרה|שם=הגדרת הגבולות החד-צדדיים לפי היינה|תוכן= עבור פונקציה <math>f</math> שמוגדרת בסביבה הימנית של <math>a</math>, נאמר שמתקיים <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=L</math> אם ורק אם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וגם <math>x_n>a</math> לכל <math>n</math>, אז <math>\underset{n \to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ונאמר שמתקיים <math>\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math> אם ורק אם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וגם <math>x_n<a</math> לכל <math>n</math>, אז <math>\underset{n \to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>.}} {{משפט|שם=תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math>, אז מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> אם ורק אם הגבולות החד-צדדיים שלה קיימים ושווים, כלומר <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>|תוכן= '''הוכחה:''' תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math>, נוכיח תחילה את הכיוון הראשון. נניח שהגבולות החד=צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>. יהי <math>\epsilon>0</math>, לכן לפי ההנחה שקיים הגבול הימני, קיים <math>\delta_0>0</math> כך שלכל <math>L<x<L+\delta_0</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ולפי ההנחה שקיים הגבול השמאלי, קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>L- \delta_1<x<L</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, נבחר <math>\delta=\min(\delta_0,\delta_1)</math>, לכן לכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, וזו בדיוק הגדרת הגבול לפי קושי, לכן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>. בכיוון השני, נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>, ונוכיח שהגבולות החד-צדדיים קיימים גם הם, ושווים זה לזה. לפי ההנחה שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>, לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>L-\delta<x<L+\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, אבל כיוון שזה מתקיים לכל <math>L- \delta<x<L+\delta</math>, זה בוודאי יתקיים גם לכל <math>L<x<L+\delta</math>, וגם לכל <math>L<x<L+\delta</math>, וזו הגדרת הגבול החד-צדדי של פונקציה בנקודה, ולכן הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>. <math>\blacksquare</math>. }} ==גבול אינסופי בנקודה== {{הגדרה|שם=גבול אינסופי של פונקציה בנקודה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של <math>a</math>, נאמר שהפונקציה '''שואפת לאינסוף''' כאשר איקס שואף ל<math>a</math>, אם לכל <math>M</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)>M</math>, ונאמר שהפונקציה '''שואפת למינוס אינסוף''' כאשר איקס שואף ל<math>a</math>, אם לכל <math>M</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)<M</math>. '''הערה:''' קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה, והיא זהה לאחת שהגדרתי מקודם. '''דוגמא:''' נוכיח שמתקיים <math>\underset{x\to 0}{\lim}\frac{1}{x}=\infty</math>. יהי <math>M \in \mathbb{R}</math>, נבחר <math>\delta=\frac{1}{M}</math>, ולכל <math>|x-0|=|x|\overset{(1)}{=}x<\delta</math>, מתקיים <math>x<\delta \implies \frac{1}{x}>\frac{1}{\delta}=M</math>,ולכן מטרנזיטיביות היחס <math><</math> <math>\frac{1}{x}>M</math>. 1. כיוון שאנחנו מדברים על שאיפה לאינסוף נוכל לדבר על איקסים חיוביים, אם מתקיים <math>M<0</math>, נוכל לבחור <math>\delta=-M>0</math>, ולכן לכל <math>|x-0|=|x|=-x<\delta</math>, מתקיים <math>-x<\delta \implies x>-\delta=M</math>, ולכן מטרנזיטיביות היחס <math><</math> <math>\frac{1}{x}>M</math>. }} {{הגדרה|שם=גבול אינסופי בנקודה לפי היינה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה, אז מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> אם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=\infty</math>. '''הערה:''' קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה לפי היינה, והם זהים לאלו שהגדרתי מקודם.}} ==אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה== {{משפט|שם=אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה|תוכן= תהיו <math>f,g</math> פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז מתקיים: * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=0</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0</math> וגם <math>f(x)>0</math> בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=\infty</math>, ואם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0</math> וגם <math>f(x)<0</math> בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=-\infty</math> * <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> אם ורק אם <math>\underset{x\to a}{\lim}-f(x)=-\infty</math>. '''הוכחה:''' הוכחת המשפט נובעת בקלות מהגדרת היינה לגבול אינסופי בנקודה, להלן: תהיו <math>f,g</math> פונקציות. * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math>, ותהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות(שכבר הוכחנו) מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)+g(x_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)+\underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וסדרה <math>y_n</math> המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)+g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)+\underset{n\to \infty}{\lim}g(y_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)\cdot g(x_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)\cdot \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וסדרה <math>y_n</math> המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)\cdot g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)\cdot \underset{n\to \infty}{\lim}g(y_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}\frac{1}{f(x_n)}=0</math>,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=0</math>. <math> <math>\blacksquare</math> * נוכיח את המשפט למקרה שבו <math>f(x)>0</math>, בסביבה נקובה של <math>a</math>, ההוכחה למקרה שבו <math>f(x)<0</math> בסביבה נקובה של <math>a</math> אנלוגית לחלוטין. נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}\frac{1}{f(x_n)}=\infty</math>,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> *בכיוון הראשון נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math>, לכן לכל <math>M \in \mathbb{R}</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)>M</math>, לכן לכל <math>N \in \mathbb{R}</math>, נבחר <math>M=-N</math>, וכיוון שמתקיים <math>f(x)>M=-N</math>, כלומר <math>f(x)>-N</math>, אזי <math>-f(x)<N</math> ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}-f(x)=-\infty</math>. <math>\blacksquare</math> בכיוון השני נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=-\infty</math>, לכן לכל <math>M \in \mathbb{R}</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)<M</math>, לכן לכל <math>N \in \mathbb{R}</math>, נבחר <math>M=-N</math>, וכיוון שמתקיים <math>-f(x)<M=-N</math>, כלומר <math>-f(x)<-N</math>, אזי <math>f(x)>N</math> ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}-f(x)=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> }} ==גבול סופי באינסוף, וגבול אינסופי באינסוף== {{הגדרה|שם=גבול סופי באינסוף|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה <math>(A,\infty)</math>, נאמר ש<math>f</math> שואפת ל<math>L\in \mathbb{R}</math> כאשר <math>x</math> שואף ל<math>\infty</math>,,ונסמן <math>\underset{x\to \infty}{\lim}f(x)=L</math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>M</math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>.}} {{הגדרה|שם=גבול אינסופי באינסוף|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה <math>(M,\infty)</math>,נאמר ש<math>f</math> שואפת לאינסוף כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף, ונסמן <math>\underset{x\to \infty}{\lim}f(x)=\infty</math> אם לכל <math>M</math> קיים <math>N</math> כך שלכל <math>x>N</math> מתקיים <math>f(x)>M</math>.}} 5uy1x2wi4wwltcud4mz18boa3us4z0e 180992 180991 2026-10-20T05:12:43Z ~2026-56031-36 25986 /* גבול של פונקציה בנקודה */ 180992 wikitext text/x-wiki {{לאחד|חשבון אינפיניטסימלי/גבולות}} ==גבול של פונקציה בנקודה== {{הגדרה|שם=גבול של פונקציה בנקודה לפי קושי|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של <math>a</math>, נאמר שהגבול של הפונקציה <math>f</math> כאשר <math>x</math> שואף ל<math>a</math> הוא <math>L</math>, אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>. '''דוגמא:''' נוכיח שמתקיים <math>\underset{x\to 2}{\lim}f(x)=9</math>, כאשר <math>f(x)=2x+5</math>. יהי <math>\epsilon>0</math>, נבחר <math>\delta =\frac{\epsilon}{2}</math>, לכן כאשר <math>|x-2|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|=|2x+5-9|=|2x-4|=2|x-2|<2\delta=\epsilon</math>, ולכן מתקיים <math>\underset{x\to 2}{\lim}f(x)=9</math>. <math>\blacksquare</math> }} ==הגדרת הגבול לפי היינה== {{הגדרה|שם=הגדרת הגבול לפי היינה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> אם לכל סדרה <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, ולכל <math>n</math>, <math>x_n\not = a</math>, מתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_n)=L</math>.}} {{משפט|שם=הגדרת הגבול לפי היינה שקולה להגדרת הגבול לפי קושי {{הוכחה| נוכיח את הכיוון הראשון, נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>, וגם שמתקיים לסדרה(כללית) <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math>, <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, ולכל <math>n</math> גם <math>x_n\not = a</math>. לפי הגדרת הגבול של פונקציה לפי קושי, לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ולפי ההנחה שמתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|x_n-a|<\epsilon</math>, לכן קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|x_n-a|<\delta</math>, אבל אז לפי הגדרת הגבול של קושי מתקיים לכל <math>n>N</math> גם <math>|f(x_n)-L|<\epsilon</math>, ולכן <math>\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_n)=L</math>. בכיוון השני, נניח שמתקיימת הגדרת הגבול לפי היינה, כלומר לכל סדרה <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, ולכל <math>n</math>, <math>x_n\not = a</math>, מתקיים <math>\underset{n\to\infty} {\lim}f(x_n)=L</math>, ונניח בשלילה שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\not = L</math>, לכן לכל <math>\delta>0</math> קיים <math>x</math> וקיים <math>\epsilon>0</math> כך שמתקיים <math>|x-a|<\delta</math> אבל <math>|f(x)-L|\ge \epsilon</math>, וכיוון שזה נכון לכל <math>\delta>0</math>, זה בהכרח נכון ל<math>\delta=1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}...</math>, לכן לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> קיים <math>x_n</math> כך שמתקיים <math>|x_n-a|<\frac{1}{n}</math>, אבל <math>|f(x_n)-L|<\epsilon</math>, לכן קיבלנו סדרה של ערכים, <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math>, כיוון שמתקיים לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> האי שוויון <math>a-\frac{1}{n}<x_n<a+\frac{1}{n}</math>, ושני הצדדים שואפים ל<math>a</math>, נקבל לפי משפט הסנדוויץ שמתקיים גם <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, אבל אז לפי ההנחה שלנו(היינה) מתקיים גם <math>\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)= L</math>, וזאת בסתירה לכך שהנחנו שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>|f(x_n)-L|\ge \epsilon</math>. }} }} }} {{משפט|שם=יחידות הגבול, אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=M</math> אז בהכרח <math>L=M</math>.|תוכן= {{הוכחה| נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=M</math>, אבל <math>L\not = M</math>, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים <math>L>M</math>, נבחר <math>\epsilon=\frac{L-M}{5}</math>, אז קיימת <math>\delta_1</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_1</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<x<L+\frac{L-M}{5}</math>, וגם קיימת <math>\delta_2</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_2</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<x<L+\frac{L-M}{5}</math> אבל כיוון שמתקיים <math>L>M</math>, מתקיים גם <math>L-\frac{L-M}{5}>M+\frac{L-M}{5}</math>, ולכן נקבל שמתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<x<M+\frac{L-M}{5}<L-\frac{L-M}{5}<x<L+\frac{L-M}{5}</math> בסתירה, ולכן <math>L=M</math>.}}}} ==אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה== {{משפט|שם=אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה|תוכן= תהיו <math>f,g</math> פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של <math>a</math>, כך שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אז מתקיים: * <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)+\underset{x\to a}{\lim}g(x)=L+M</math>. * <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\cdot g(x)=\underset{x\to a}{\lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim}g(x)=L\cdot M</math>. * אם מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x) \not =0</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim}f(x)}{\underset{x\to a}{\lim}g(x)}=\frac{L}{M}</math> * <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)-\underset{x\to a}{\lim}g(x)=L-M</math>. {{הוכחה| תחילה, אם <math>f</math> מוגדרת בסביבת <math>\delta_1</math> של <math>a</math>, ו<math>g</math> מוגדרת בסביבת <math>\delta_2</math> של <math>a</math>, אז <math>f</math> וגם <math>g</math> מוגדרת בסביבת <math>\min(\delta_1,\delta_2)</math> של <math>a</math>. *נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אזי לכל סדרה <math>x_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ולכל סדרה <math>y_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=M</math>, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)+g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)+\underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=L+M</math>, ולכן <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)+\underset{x\to a}{\lim}g(x)=L+M</math>. * נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אזי לכל סדרה <math>x_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ולכל סדרה <math>y_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=M</math>, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)\cdot g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)\cdot \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=L\cdot M</math>, ולכן <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim}g(x)=L\cdot M</math>. * נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אזי לכל סדרה <math>x_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ולכל סדרה <math>y_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=M</math>, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(\frac{x_n}{y_n})=\frac{\underset{n\to \infty}{\lim}x_n}{\underset{n\to \infty}{\lim}y_n}=\frac{L}{M}</math>, ולכן <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim}f(x)}{\underset{x\to a}{\lim}g(x)}=\frac{L}{M}</math>. * לפי כלל הסכום שהוכחנו, וכלל הכפל, נוכל לכתוב <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)-\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\underset{x\to a}{\lim}f(x)+(-1)\underset{x\to a}{\lim}f(x)</math>, ונקבל מיידית את המבוקש. }}}} ==משפטי גבולות== {{משפט|שם=משפטי גבולות|תוכן= תהיו <math>f,g</math> פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של <math>a</math>, ונניח שהגבולות <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x),\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math> קיימים, אז: # אם קיימת סביבה נקובה של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math>, אז מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\le \underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>. # אם מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x) < \underset{x\to a}{\lim}g(x)</math> אז קיימת סביבה נקובה של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)<g(x)</math>. # משפט הסנדוויץ' לפונקציות, תהיו <math>f,g,h</math> פונקציות, ונניח שהגבולות <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x),\underset{x\to a}{\lim}h(x)</math> קיימים ושווים זה לזה, וגם קיימת סביבה מנוקבת של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)\le g(x) \le h(x)</math>, אז קיים גם הגבול <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, ומתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\underset{x\to a}{\lim}h(x)</math>. {{הוכחה| 1. נניח שקיימת סביבה נקובה של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math>, נקרא לה <math>\delta_0</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L,\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, ונניח בשלילה שקיימת סביבה נקובה שבה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, נסמן אותה <math>\delta_1</math>. לפי הגדרת הגבול, קיים <math>\delta_2</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_2</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M}{5}</math>, וגם קיים <math>\delta_3</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_3</math> מתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<g(x) <M+\frac{L-M}{5}</math>, נבחר <math>\delta=\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2,\delta_3)</math>, ולכן מתקיימים כל התנאים, אבל גם מתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<g(x)<M+\frac{L-M}{5}\overset{(1)}{<}L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M}{5}</math>, ומטרנזיטיביות היחס <math><</math> נקבל שמתקיים <math>g(x)<f(x)</math>, בסתירה לכך שבסביבה שבחרנו מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math>, קיבלנו סתירה ולכן בהכרח מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\le\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>. (1) כיוון שהנחנו שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, כלומר <math>L>M</math>. <math>\blacksquare</math> 2. נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, לכן לפי הגדרת הגבול קיים <math>\delta_0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_0</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M}{5}</math>, וגם קיים <math>\delta_1</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_0</math>, מתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<g(x)<M+\frac{L-M}{5}</math>, נבחר <math>\delta=\min(\delta_0,\delta_1)</math>, לכן מתקיימים שני התנאים, ומתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M} {5}\overset{(1)}{<}M-\frac{L-M}{5}<g(x)<M+\frac{L-M}{5}</math>, ומטרנזיטיביות היחס <math><</math> נקבל שמתקיים <math>f(x)<g(x)</math> (1) כיוון שהנחנו שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)<\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, כלומר <math>L<M</math>. <math>\blacksquare</math> 3. נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}h(x)=L</math>, נשתמש בהגדרת היינה לגבול של פונקציה בנקודה. תהי <math>x_n</math> סדרה המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי ההנחה מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=\underset{n\to \infty}{\lim}h(x_n)=L</math>, ולפי ההנחה שלנו, קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>f(x_n)\le g(x_n)\le h(x_n)</math>, ולכן לפי משפט הסנדוויץ' לסדרות, מתקייים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=L</math>, ולכן לפי הגדרת היינה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\underset{x\to a}{\lim}h(x)</math>. }} }} ==גבולות חד-צדדיים== {{הגדרה|שם=גבולות חד-צדדיים של פונקציה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה נאמר ש<math>L</math> הוא '''הגבול מימין''' של <math>f</math> ב<math>a</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=L</math>, אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>a<x<a+\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ונאמר ש<math>L</math> הוא '''הגבול משמאל''' של <math>f</math> ב<math>a</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>, אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>a-\delta<x<a</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>}}. {{הגדרה|שם=הגדרת הגבולות החד-צדדיים לפי היינה|תוכן= עבור פונקציה <math>f</math> שמוגדרת בסביבה הימנית של <math>a</math>, נאמר שמתקיים <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=L</math> אם ורק אם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וגם <math>x_n>a</math> לכל <math>n</math>, אז <math>\underset{n \to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ונאמר שמתקיים <math>\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math> אם ורק אם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וגם <math>x_n<a</math> לכל <math>n</math>, אז <math>\underset{n \to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>.}} {{משפט|שם=תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math>, אז מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> אם ורק אם הגבולות החד-צדדיים שלה קיימים ושווים, כלומר <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>|תוכן= '''הוכחה:''' תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math>, נוכיח תחילה את הכיוון הראשון. נניח שהגבולות החד=צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>. יהי <math>\epsilon>0</math>, לכן לפי ההנחה שקיים הגבול הימני, קיים <math>\delta_0>0</math> כך שלכל <math>L<x<L+\delta_0</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ולפי ההנחה שקיים הגבול השמאלי, קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>L- \delta_1<x<L</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, נבחר <math>\delta=\min(\delta_0,\delta_1)</math>, לכן לכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, וזו בדיוק הגדרת הגבול לפי קושי, לכן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>. בכיוון השני, נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>, ונוכיח שהגבולות החד-צדדיים קיימים גם הם, ושווים זה לזה. לפי ההנחה שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>, לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>L-\delta<x<L+\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, אבל כיוון שזה מתקיים לכל <math>L- \delta<x<L+\delta</math>, זה בוודאי יתקיים גם לכל <math>L<x<L+\delta</math>, וגם לכל <math>L<x<L+\delta</math>, וזו הגדרת הגבול החד-צדדי של פונקציה בנקודה, ולכן הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>. <math>\blacksquare</math>. }} ==גבול אינסופי בנקודה== {{הגדרה|שם=גבול אינסופי של פונקציה בנקודה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של <math>a</math>, נאמר שהפונקציה '''שואפת לאינסוף''' כאשר איקס שואף ל<math>a</math>, אם לכל <math>M</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)>M</math>, ונאמר שהפונקציה '''שואפת למינוס אינסוף''' כאשר איקס שואף ל<math>a</math>, אם לכל <math>M</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)<M</math>. '''הערה:''' קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה, והיא זהה לאחת שהגדרתי מקודם. '''דוגמא:''' נוכיח שמתקיים <math>\underset{x\to 0}{\lim}\frac{1}{x}=\infty</math>. יהי <math>M \in \mathbb{R}</math>, נבחר <math>\delta=\frac{1}{M}</math>, ולכל <math>|x-0|=|x|\overset{(1)}{=}x<\delta</math>, מתקיים <math>x<\delta \implies \frac{1}{x}>\frac{1}{\delta}=M</math>,ולכן מטרנזיטיביות היחס <math><</math> <math>\frac{1}{x}>M</math>. 1. כיוון שאנחנו מדברים על שאיפה לאינסוף נוכל לדבר על איקסים חיוביים, אם מתקיים <math>M<0</math>, נוכל לבחור <math>\delta=-M>0</math>, ולכן לכל <math>|x-0|=|x|=-x<\delta</math>, מתקיים <math>-x<\delta \implies x>-\delta=M</math>, ולכן מטרנזיטיביות היחס <math><</math> <math>\frac{1}{x}>M</math>. }} {{הגדרה|שם=גבול אינסופי בנקודה לפי היינה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה, אז מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> אם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=\infty</math>. '''הערה:''' קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה לפי היינה, והם זהים לאלו שהגדרתי מקודם.}} ==אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה== {{משפט|שם=אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה|תוכן= תהיו <math>f,g</math> פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז מתקיים: * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=0</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0</math> וגם <math>f(x)>0</math> בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=\infty</math>, ואם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0</math> וגם <math>f(x)<0</math> בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=-\infty</math> * <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> אם ורק אם <math>\underset{x\to a}{\lim}-f(x)=-\infty</math>. '''הוכחה:''' הוכחת המשפט נובעת בקלות מהגדרת היינה לגבול אינסופי בנקודה, להלן: תהיו <math>f,g</math> פונקציות. * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math>, ותהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות(שכבר הוכחנו) מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)+g(x_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)+\underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וסדרה <math>y_n</math> המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)+g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)+\underset{n\to \infty}{\lim}g(y_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)\cdot g(x_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)\cdot \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וסדרה <math>y_n</math> המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)\cdot g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)\cdot \underset{n\to \infty}{\lim}g(y_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}\frac{1}{f(x_n)}=0</math>,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=0</math>. <math> <math>\blacksquare</math> * נוכיח את המשפט למקרה שבו <math>f(x)>0</math>, בסביבה נקובה של <math>a</math>, ההוכחה למקרה שבו <math>f(x)<0</math> בסביבה נקובה של <math>a</math> אנלוגית לחלוטין. נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}\frac{1}{f(x_n)}=\infty</math>,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> *בכיוון הראשון נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math>, לכן לכל <math>M \in \mathbb{R}</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)>M</math>, לכן לכל <math>N \in \mathbb{R}</math>, נבחר <math>M=-N</math>, וכיוון שמתקיים <math>f(x)>M=-N</math>, כלומר <math>f(x)>-N</math>, אזי <math>-f(x)<N</math> ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}-f(x)=-\infty</math>. <math>\blacksquare</math> בכיוון השני נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=-\infty</math>, לכן לכל <math>M \in \mathbb{R}</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)<M</math>, לכן לכל <math>N \in \mathbb{R}</math>, נבחר <math>M=-N</math>, וכיוון שמתקיים <math>-f(x)<M=-N</math>, כלומר <math>-f(x)<-N</math>, אזי <math>f(x)>N</math> ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}-f(x)=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> }} ==גבול סופי באינסוף, וגבול אינסופי באינסוף== {{הגדרה|שם=גבול סופי באינסוף|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה <math>(A,\infty)</math>, נאמר ש<math>f</math> שואפת ל<math>L\in \mathbb{R}</math> כאשר <math>x</math> שואף ל<math>\infty</math>,,ונסמן <math>\underset{x\to \infty}{\lim}f(x)=L</math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>M</math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>.}} {{הגדרה|שם=גבול אינסופי באינסוף|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה <math>(M,\infty)</math>,נאמר ש<math>f</math> שואפת לאינסוף כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף, ונסמן <math>\underset{x\to \infty}{\lim}f(x)=\infty</math> אם לכל <math>M</math> קיים <math>N</math> כך שלכל <math>x>N</math> מתקיים <math>f(x)>M</math>.}} 0rx8zzbs6q9oziqh1d59ksberf6do1y 180993 180992 2026-10-20T05:13:16Z ~2026-56031-36 25986 /* גבול של פונקציה בנקודה */ 180993 wikitext text/x-wiki {{לאחד|חשבון אינפיניטסימלי/גבולות}} ==גבול של פונקציה בנקודה== {{הגדרה|שם=גבול של פונקציה בנקודה לפי קושי|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של <math>a</math>, נאמר שהגבול של הפונקציה <math>f</math> כאשר <math>x</math> שואף ל<math>a</math> הוא <math>L</math>, אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>. '''דוגמא:''' נוכיח שמתקיים <math>\underset{x\to 2}{\lim}f(x)=9</math>, כאשר <math>f(x)=2x+5</math>. יהי <math>\epsilon>0</math>, נבחר <math>\delta =\frac{\epsilon}{2}</math>, לכן כאשר <math>0<|x-2|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|=|2x+5-9|=|2x-4|=2|x-2|<2\delta=\epsilon</math>, ולכן מתקיים <math>\underset{x\to 2}{\lim}f(x)=9</math>. <math>\blacksquare</math> }} ==הגדרת הגבול לפי היינה== {{הגדרה|שם=הגדרת הגבול לפי היינה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> אם לכל סדרה <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, ולכל <math>n</math>, <math>x_n\not = a</math>, מתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_n)=L</math>.}} {{משפט|שם=הגדרת הגבול לפי היינה שקולה להגדרת הגבול לפי קושי {{הוכחה| נוכיח את הכיוון הראשון, נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>, וגם שמתקיים לסדרה(כללית) <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math>, <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, ולכל <math>n</math> גם <math>x_n\not = a</math>. לפי הגדרת הגבול של פונקציה לפי קושי, לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ולפי ההנחה שמתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|x_n-a|<\epsilon</math>, לכן קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|x_n-a|<\delta</math>, אבל אז לפי הגדרת הגבול של קושי מתקיים לכל <math>n>N</math> גם <math>|f(x_n)-L|<\epsilon</math>, ולכן <math>\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_n)=L</math>. בכיוון השני, נניח שמתקיימת הגדרת הגבול לפי היינה, כלומר לכל סדרה <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, ולכל <math>n</math>, <math>x_n\not = a</math>, מתקיים <math>\underset{n\to\infty} {\lim}f(x_n)=L</math>, ונניח בשלילה שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\not = L</math>, לכן לכל <math>\delta>0</math> קיים <math>x</math> וקיים <math>\epsilon>0</math> כך שמתקיים <math>|x-a|<\delta</math> אבל <math>|f(x)-L|\ge \epsilon</math>, וכיוון שזה נכון לכל <math>\delta>0</math>, זה בהכרח נכון ל<math>\delta=1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}...</math>, לכן לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> קיים <math>x_n</math> כך שמתקיים <math>|x_n-a|<\frac{1}{n}</math>, אבל <math>|f(x_n)-L|<\epsilon</math>, לכן קיבלנו סדרה של ערכים, <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math>, כיוון שמתקיים לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> האי שוויון <math>a-\frac{1}{n}<x_n<a+\frac{1}{n}</math>, ושני הצדדים שואפים ל<math>a</math>, נקבל לפי משפט הסנדוויץ שמתקיים גם <math>\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=a</math>, אבל אז לפי ההנחה שלנו(היינה) מתקיים גם <math>\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)= L</math>, וזאת בסתירה לכך שהנחנו שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>|f(x_n)-L|\ge \epsilon</math>. }} }} }} {{משפט|שם=יחידות הגבול, אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=M</math> אז בהכרח <math>L=M</math>.|תוכן= {{הוכחה| נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=M</math>, אבל <math>L\not = M</math>, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים <math>L>M</math>, נבחר <math>\epsilon=\frac{L-M}{5}</math>, אז קיימת <math>\delta_1</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_1</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<x<L+\frac{L-M}{5}</math>, וגם קיימת <math>\delta_2</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_2</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<x<L+\frac{L-M}{5}</math> אבל כיוון שמתקיים <math>L>M</math>, מתקיים גם <math>L-\frac{L-M}{5}>M+\frac{L-M}{5}</math>, ולכן נקבל שמתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<x<M+\frac{L-M}{5}<L-\frac{L-M}{5}<x<L+\frac{L-M}{5}</math> בסתירה, ולכן <math>L=M</math>.}}}} ==אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה== {{משפט|שם=אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה|תוכן= תהיו <math>f,g</math> פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של <math>a</math>, כך שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אז מתקיים: * <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)+\underset{x\to a}{\lim}g(x)=L+M</math>. * <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\cdot g(x)=\underset{x\to a}{\lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim}g(x)=L\cdot M</math>. * אם מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x) \not =0</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim}f(x)}{\underset{x\to a}{\lim}g(x)}=\frac{L}{M}</math> * <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)-\underset{x\to a}{\lim}g(x)=L-M</math>. {{הוכחה| תחילה, אם <math>f</math> מוגדרת בסביבת <math>\delta_1</math> של <math>a</math>, ו<math>g</math> מוגדרת בסביבת <math>\delta_2</math> של <math>a</math>, אז <math>f</math> וגם <math>g</math> מוגדרת בסביבת <math>\min(\delta_1,\delta_2)</math> של <math>a</math>. *נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אזי לכל סדרה <math>x_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ולכל סדרה <math>y_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=M</math>, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)+g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)+\underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=L+M</math>, ולכן <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)+\underset{x\to a}{\lim}g(x)=L+M</math>. * נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אזי לכל סדרה <math>x_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ולכל סדרה <math>y_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=M</math>, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)\cdot g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)\cdot \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=L\cdot M</math>, ולכן <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to a}{\lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim}g(x)=L\cdot M</math>. * נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L , \underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, אזי לכל סדרה <math>x_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ולכל סדרה <math>y_n</math> שמקיימת <math> \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a</math> מתקיים גם <math> \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=M</math>, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(\frac{x_n}{y_n})=\frac{\underset{n\to \infty}{\lim}x_n}{\underset{n\to \infty}{\lim}y_n}=\frac{L}{M}</math>, ולכן <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim}f(x)}{\underset{x\to a}{\lim}g(x)}=\frac{L}{M}</math>. * לפי כלל הסכום שהוכחנו, וכלל הכפל, נוכל לכתוב <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)-\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\underset{x\to a}{\lim}f(x)+(-1)\underset{x\to a}{\lim}f(x)</math>, ונקבל מיידית את המבוקש. }}}} ==משפטי גבולות== {{משפט|שם=משפטי גבולות|תוכן= תהיו <math>f,g</math> פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של <math>a</math>, ונניח שהגבולות <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x),\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math> קיימים, אז: # אם קיימת סביבה נקובה של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math>, אז מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\le \underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>. # אם מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x) < \underset{x\to a}{\lim}g(x)</math> אז קיימת סביבה נקובה של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)<g(x)</math>. # משפט הסנדוויץ' לפונקציות, תהיו <math>f,g,h</math> פונקציות, ונניח שהגבולות <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x),\underset{x\to a}{\lim}h(x)</math> קיימים ושווים זה לזה, וגם קיימת סביבה מנוקבת של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)\le g(x) \le h(x)</math>, אז קיים גם הגבול <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, ומתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\underset{x\to a}{\lim}h(x)</math>. {{הוכחה| 1. נניח שקיימת סביבה נקובה של <math>a</math> שבה מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math>, נקרא לה <math>\delta_0</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L,\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M</math>, ונניח בשלילה שקיימת סביבה נקובה שבה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, נסמן אותה <math>\delta_1</math>. לפי הגדרת הגבול, קיים <math>\delta_2</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_2</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M}{5}</math>, וגם קיים <math>\delta_3</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_3</math> מתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<g(x) <M+\frac{L-M}{5}</math>, נבחר <math>\delta=\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2,\delta_3)</math>, ולכן מתקיימים כל התנאים, אבל גם מתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<g(x)<M+\frac{L-M}{5}\overset{(1)}{<}L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M}{5}</math>, ומטרנזיטיביות היחס <math><</math> נקבל שמתקיים <math>g(x)<f(x)</math>, בסתירה לכך שבסביבה שבחרנו מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math>, קיבלנו סתירה ולכן בהכרח מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)\le\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>. (1) כיוון שהנחנו שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, כלומר <math>L>M</math>. <math>\blacksquare</math> 2. נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)>\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, לכן לפי הגדרת הגבול קיים <math>\delta_0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_0</math> מתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M}{5}</math>, וגם קיים <math>\delta_1</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta_0</math>, מתקיים <math>M-\frac{L-M}{5}<g(x)<M+\frac{L-M}{5}</math>, נבחר <math>\delta=\min(\delta_0,\delta_1)</math>, לכן מתקיימים שני התנאים, ומתקיים <math>L-\frac{L-M}{5}<f(x)<L+\frac{L-M} {5}\overset{(1)}{<}M-\frac{L-M}{5}<g(x)<M+\frac{L-M}{5}</math>, ומטרנזיטיביות היחס <math><</math> נקבל שמתקיים <math>f(x)<g(x)</math> (1) כיוון שהנחנו שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)<\underset{x\to a}{\lim}g(x)</math>, כלומר <math>L<M</math>. <math>\blacksquare</math> 3. נסמן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}h(x)=L</math>, נשתמש בהגדרת היינה לגבול של פונקציה בנקודה. תהי <math>x_n</math> סדרה המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי ההנחה מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=\underset{n\to \infty}{\lim}h(x_n)=L</math>, ולפי ההנחה שלנו, קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>f(x_n)\le g(x_n)\le h(x_n)</math>, ולכן לפי משפט הסנדוויץ' לסדרות, מתקייים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=L</math>, ולכן לפי הגדרת היינה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\underset{x\to a}{\lim}h(x)</math>. }} }} ==גבולות חד-צדדיים== {{הגדרה|שם=גבולות חד-צדדיים של פונקציה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה נאמר ש<math>L</math> הוא '''הגבול מימין''' של <math>f</math> ב<math>a</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=L</math>, אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>a<x<a+\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ונאמר ש<math>L</math> הוא '''הגבול משמאל''' של <math>f</math> ב<math>a</math>, ונסמן <math>\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>, אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>a-\delta<x<a</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>}}. {{הגדרה|שם=הגדרת הגבולות החד-צדדיים לפי היינה|תוכן= עבור פונקציה <math>f</math> שמוגדרת בסביבה הימנית של <math>a</math>, נאמר שמתקיים <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=L</math> אם ורק אם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וגם <math>x_n>a</math> לכל <math>n</math>, אז <math>\underset{n \to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>, ונאמר שמתקיים <math>\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math> אם ורק אם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וגם <math>x_n<a</math> לכל <math>n</math>, אז <math>\underset{n \to \infty}{\lim}f(x_n)=L</math>.}} {{משפט|שם=תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math>, אז מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math> אם ורק אם הגבולות החד-צדדיים שלה קיימים ושווים, כלומר <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>|תוכן= '''הוכחה:''' תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math>, נוכיח תחילה את הכיוון הראשון. נניח שהגבולות החד=צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>. יהי <math>\epsilon>0</math>, לכן לפי ההנחה שקיים הגבול הימני, קיים <math>\delta_0>0</math> כך שלכל <math>L<x<L+\delta_0</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, ולפי ההנחה שקיים הגבול השמאלי, קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>L- \delta_1<x<L</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, נבחר <math>\delta=\min(\delta_0,\delta_1)</math>, לכן לכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, וזו בדיוק הגדרת הגבול לפי קושי, לכן <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>. בכיוון השני, נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>, ונוכיח שהגבולות החד-צדדיים קיימים גם הם, ושווים זה לזה. לפי ההנחה שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L</math>, לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>L-\delta<x<L+\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>, אבל כיוון שזה מתקיים לכל <math>L- \delta<x<L+\delta</math>, זה בוודאי יתקיים גם לכל <math>L<x<L+\delta</math>, וגם לכל <math>L<x<L+\delta</math>, וזו הגדרת הגבול החד-צדדי של פונקציה בנקודה, ולכן הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר <math>\underset{x\to a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to a^-}{\lim}f(x)=L</math>. <math>\blacksquare</math>. }} ==גבול אינסופי בנקודה== {{הגדרה|שם=גבול אינסופי של פונקציה בנקודה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של <math>a</math>, נאמר שהפונקציה '''שואפת לאינסוף''' כאשר איקס שואף ל<math>a</math>, אם לכל <math>M</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)>M</math>, ונאמר שהפונקציה '''שואפת למינוס אינסוף''' כאשר איקס שואף ל<math>a</math>, אם לכל <math>M</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)<M</math>. '''הערה:''' קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה, והיא זהה לאחת שהגדרתי מקודם. '''דוגמא:''' נוכיח שמתקיים <math>\underset{x\to 0}{\lim}\frac{1}{x}=\infty</math>. יהי <math>M \in \mathbb{R}</math>, נבחר <math>\delta=\frac{1}{M}</math>, ולכל <math>|x-0|=|x|\overset{(1)}{=}x<\delta</math>, מתקיים <math>x<\delta \implies \frac{1}{x}>\frac{1}{\delta}=M</math>,ולכן מטרנזיטיביות היחס <math><</math> <math>\frac{1}{x}>M</math>. 1. כיוון שאנחנו מדברים על שאיפה לאינסוף נוכל לדבר על איקסים חיוביים, אם מתקיים <math>M<0</math>, נוכל לבחור <math>\delta=-M>0</math>, ולכן לכל <math>|x-0|=|x|=-x<\delta</math>, מתקיים <math>-x<\delta \implies x>-\delta=M</math>, ולכן מטרנזיטיביות היחס <math><</math> <math>\frac{1}{x}>M</math>. }} {{הגדרה|שם=גבול אינסופי בנקודה לפי היינה|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה, אז מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> אם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)=\infty</math>. '''הערה:''' קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה לפי היינה, והם זהים לאלו שהגדרתי מקודם.}} ==אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה== {{משפט|שם=אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה|תוכן= תהיו <math>f,g</math> פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז מתקיים: * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=0</math>. * אם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0</math> וגם <math>f(x)>0</math> בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=\infty</math>, ואם <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0</math> וגם <math>f(x)<0</math> בסביבה נקובה של <math>a</math>, אז <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=-\infty</math> * <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> אם ורק אם <math>\underset{x\to a}{\lim}-f(x)=-\infty</math>. '''הוכחה:''' הוכחת המשפט נובעת בקלות מהגדרת היינה לגבול אינסופי בנקודה, להלן: תהיו <math>f,g</math> פונקציות. * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math>, ותהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות(שכבר הוכחנו) מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)+g(x_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)+\underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וסדרה <math>y_n</math> המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)+g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)+\underset{n\to \infty}{\lim}g(y_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)+g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=\infty</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)\cdot g(x_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)\cdot \underset{n\to \infty}{\lim}g(x_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math> וגם <math>\underset{x\to a}{\lim}g(x)=M \in \mathbb{R}</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math> וסדרה <math>y_n</math> המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}(f(x_n)\cdot g(y_n))=\underset{n\to \infty}{\lim}f(x_n)\cdot \underset{n\to \infty}{\lim}g(y_n)=\infty</math>, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}(f(x)\cdot g(x))=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> * נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}\frac{1}{f(x_n)}=0</math>,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=0</math>. <math> <math>\blacksquare</math> * נוכיח את המשפט למקרה שבו <math>f(x)>0</math>, בסביבה נקובה של <math>a</math>, ההוכחה למקרה שבו <math>f(x)<0</math> בסביבה נקובה של <math>a</math> אנלוגית לחלוטין. נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0</math>, תהי סדרה <math>x_n</math> המקיימת <math>\underset{n\to \infty}{\lim}x_n=a</math>, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים <math>\underset{n\to \infty}{\lim}\frac{1}{f(x_n)}=\infty</math>,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}\frac{1}{f(x)}=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> *בכיוון הראשון נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty</math>, לכן לכל <math>M \in \mathbb{R}</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)>M</math>, לכן לכל <math>N \in \mathbb{R}</math>, נבחר <math>M=-N</math>, וכיוון שמתקיים <math>f(x)>M=-N</math>, כלומר <math>f(x)>-N</math>, אזי <math>-f(x)<N</math> ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}-f(x)=-\infty</math>. <math>\blacksquare</math> בכיוון השני נניח שמתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}f(x)=-\infty</math>, לכן לכל <math>M \in \mathbb{R}</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>f(x)<M</math>, לכן לכל <math>N \in \mathbb{R}</math>, נבחר <math>M=-N</math>, וכיוון שמתקיים <math>-f(x)<M=-N</math>, כלומר <math>-f(x)<-N</math>, אזי <math>f(x)>N</math> ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים <math>\underset{x\to a}{\lim}-f(x)=\infty</math>. <math>\blacksquare</math> }} ==גבול סופי באינסוף, וגבול אינסופי באינסוף== {{הגדרה|שם=גבול סופי באינסוף|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה <math>(A,\infty)</math>, נאמר ש<math>f</math> שואפת ל<math>L\in \mathbb{R}</math> כאשר <math>x</math> שואף ל<math>\infty</math>,,ונסמן <math>\underset{x\to \infty}{\lim}f(x)=L</math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>M</math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>.}} {{הגדרה|שם=גבול אינסופי באינסוף|תוכן= תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה <math>(M,\infty)</math>,נאמר ש<math>f</math> שואפת לאינסוף כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף, ונסמן <math>\underset{x\to \infty}{\lim}f(x)=\infty</math> אם לכל <math>M</math> קיים <math>N</math> כך שלכל <math>x>N</math> מתקיים <math>f(x)>M</math>.}} tdvw7ey3j666vx3bdbbixdhsa6gn5p7