Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul Acara Pembicaraan Acara 0 23145 115262 112986 2026-05-19T02:37:03Z ~2026-30004-79 43172 /* Sudut dua vektor */ 115262 wikitext text/x-wiki == Vektor == === Posisi vektor === ; <math>\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j</math> : <math>\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> === Panjang vektor === ; Berada di <math>R^2</math> : Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}</math> : Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}</math> : Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> dan <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}</math> ; Berada di <math>R^3</math> : Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}</math> : Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}</math> : Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> dan <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}</math> ; Jumlah dan selisih kedua vektor <math>\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot | \vec a | \cdot | \vec b | \cdot cos C}</math> === Vektor satuan === : <math>\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}</math> === Operasi aljabar pada vektor === * Penjumlahan dan pengurangan terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang <!-- harap ada gambar --> : <math>\vec c = \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_1 + b_1} \\ {a_2 + b_2} \end{pmatrix}</math> : <math>\vec c = \vec a - \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_1 - b_1} \\ {a_2 - b_2} \end{pmatrix}</math> * Perkalian # skalar dengan vektor Jika k skalar tak nol dan vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> maka vektor <math>k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)</math> # titik dua vektor Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3</math> # titik dua vektor dengan membentuk sudut Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> diantara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \cdot \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha</math> # silang dua vektor Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)</math> : <math>\left[\begin{array}{rrr|rr} \hat i & \hat j & \hat k & \hat i & \hat j \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array}\right] </math> # silang dua vektor dengan membentuk sudut Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> diantara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \times \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| sin \alpha</math> === Sifat operasi aljabar pada vektor === # <math>\vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math> # <math>(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)</math> # <math>\vec a + 0 = 0 + \vec a</math> # <math>k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b</math> # <math>(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a</math> # <math>\vec a + (- \vec a) = 0</math> # <math>\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a</math> # <math>(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)</math> # <math>\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a</math> # <math>k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b</math> # <math>(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)</math> # <math>\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2</math> # <math>\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a</math> # <math>\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)</math> # <math>(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)</math> # <math>k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b</math> # <math>\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math> # <math>\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c</math> === Hubungan vektor dengan vektor lain === * Perkalian titik ; Saling tegak lurus Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = 0</math> ; Sejajar Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> * Perkalian silang ; Saling tegak lurus Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> Jika <math>\beta > {90}^{\circ}</math> maka dua vektor tersebut searah Jika <math>\beta < {90}^{\circ}</math> maka vektor saling berlawanan arah ; Sejajar Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = 0</math> === Sudut dua vektor === Jika vektor <math>\vec a</math> dan vektor <math>\vec b</math> sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah <math>cos \, \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}</math> === Panjang proyeksi dan proyeksi vektor === : Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}</math> : Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b</math> === Metode === perhatikan garis-garis sesuai dengan arah panahnya dalam bentuk rumus seperti <math>\vec {AB}, \vec {BA}, dll</math> jika tidak ada tulisan O maka dianggap AB = b-a kecuali keterangan tertulis. ; segitiga : <math>\vec R = \vec a + \vec b</math> : <math>\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right| = \vec b - \vec a</math> : <math>\left| \vec {AB} \right| = - \left| \vec {BA} \right|</math> ; jajar genjang : <math>\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math> : <math>\left| \vec {BA} \right| = \left| \vec {OA} \right| - \left| \vec {OB} \right| = \vec a - \vec b</math> : <math>\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}</math> === Titik segaris (kolinear) === Titik A, B dan C dikatakan segaris memenuhi persamaan sebagai berikut: : <math>\vec {AB} = k \vec {BC}, \vec {BC} = k \vec {AC}, \vec {AC} = k \vec {AB}</math> === Perbandingan === ; Aturan jajar genjang <!-- harap ada gambar --> : Posisi vektor : <math>\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}</math> : Berada di <math>R^2</math> : <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})</math> : Berada di <math>R^3</math> : <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})</math> ; Satu garis <!-- harap ada gambar --> * Perbandingan posisi dalam adalah m:n : Posisi vektor :: <math>\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}</math> : Berada di <math>R^2</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})</math> : Berada di <math>R^3</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})</math> * Perbandingan posisi luar adalah m:-n : Posisi vektor :: <math>\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}</math> : Berada di <math>R^2</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})</math> : Berada di <math>R^3</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})</math> == Luas == # Luas segitiga * misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_1 & y_1 & z_1 & x_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |(x_1 y_2 \hat k + y_1 z_2 \hat i + z_1 x_2 \hat j - (x_2 y_1 \hat k + y_2 z_1 \hat i + z_2 x_1 \hat j))| \\ = \frac{1}{2} \cdot |((y_1 z_2-y_2 z_1) \hat i+(z_1 x_2-z_2 x_1) \hat j+(x_1 y_2-x_2 y_1) \hat k)| \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_1 z_2-y_2 z_1)^2+(z_1 x_2-z_2 x_1)^2+(x_1 y_2-x_2 y_1)^2} \\ \end{align}</math> * misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip : misalkan AB dan AC : <math>AB = B - A = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) = (x_4,y_4,z_4)</math> : <math>AC = C - A = (x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1) = (x_5,y_5,z_5)</math> : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_4 & y_4 & z_4 & x_4 \\ x_5 & y_5 & z_5 & x_5 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |(x_4 y_5 \hat k + y_4 z_5 \hat i + z_4 x_5 \hat j - (x_5 y_4 \hat k + y_5 z_4 \hat i + z_5 x_4 \hat j))| \\ = \frac{1}{2} \cdot |((y_4 z_5-y_5 z_4) \hat i+(z_4 x_5-z_5 x_4) \hat j+(x_4 y_5-x_5 y_4) \hat k)| \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_4 z_5-y_5 z_4)^2+(z_4 x_5-z_5 x_4)^2+(x_4 y_5-x_5 y_4)^2} \\ \end{align}</math> # Luas jajar genjang misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip : <math>\begin{align} L = \begin{array}{rrr|r} x_1 & y_1 & z_1 & x_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = |(x_1 y_2 \hat k + y_1 z_2 \hat i + z_1 x_2 \hat j - (x_2 y_1 \hat k + y_2 z_1 \hat i + z_2 x_1 \hat j))| \\ = |((y_1 z_2-z_1 y_2) \hat i+(z_1 x_2-y_2 z_1) \hat j+(x_1 y_2-x_2 y_1) \hat k)| \\ = \sqrt{(y_1 z_2-z_1 y_2)^2+(z_1 x_2-y_2 z_1)^2+(x_1 y_2-x_2 y_1)^2} \\ \end{align}</math> * misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip : misalkan AB dan AC : <math>AB = B - A = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) = (x_4,y_4,z_4)</math> : <math>AC = C - A = (x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1) = (x_5,y_5,z_5)</math> : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_4 & y_4 & z_4 & x_4 \\ x_5 & y_5 & z_5 & x_5 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = |(x_4 y_5 \hat k + y_4 z_5 \hat i + z_4 x_5 \hat j - (x_5 y_4 \hat k + y_5 z_4 \hat i + z_5 x_4 \hat j))| \\ = |((y_4 z_5-y_5 z_4) \hat i+(z_4 x_5-z_5 x_4) \hat j+(x_4 y_5-x_5 y_4) \hat k)| \\ = \sqrt{(y_4 z_5-y_5 z_4)^2+(z_4 x_5-z_5 x_4)^2+(x_4 y_5-x_5 y_4)^2} \\ \end{align}</math> contoh # Titik <math>\vec a = -3 \vec i-2 \vec j+4 \vec k</math> dan <math>\vec b = 6 \vec i+6 \vec j+ \vec k</math>. tentukan: * <math>\vec a + \vec b</math> * <math>\vec a - \vec b</math> * <math>\vec a \cdot \vec b</math> * <math>\vec a \times \vec b</math> * panjang vektor <math>\vec a \text{ dan } \vec b</math> * vektor satuan pada vektor <math>\hat b</math> * panjang proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> * proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec c &= \vec a + \vec b \\ &= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\ &= (-3+6, -2+6, 4+1) \\ &= (3, 4, 5) \\ * \vec c &= \vec a - \vec b \\ &= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\ &= (-3-6, -2-6, 4-1) \\ &= (-9, -8, 3) \\ * \vec a \cdot \vec b \\ &= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\ &= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\ &= -18-12+4 \\ &= -26 \\ * \vec a \times \vec b \\ \begin{array}{rrr|rr} i & j & k & i & j \\ -3 & -2 & 4 & -3 & -2 \\ 6 & 6 & 1 & 6 & 6 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array} \\ &= (-3 \cdot 6)k + (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j - (-2 \cdot 6)k - (4 \cdot 6)i - (-3 \cdot 1)j \\ &= -18k -2i + 24j + 12k -24i + 3j \\ &= -26i + 27j - 6k \\ * | \vec c | &= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\ &= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\ &= \sqrt{81 + 64 + 9} \\ &= \sqrt{145} \\ * \hat b &= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\ * | \vec c | &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\ &= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\ * \vec c &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\ &= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\ &= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\ \end{align} </math> </div></div> # Titik <math>\vec a = -3 \vec i+2 \vec j-7 \vec k</math> dan <math>\vec b = x \vec i+5 \vec j+ \vec k</math>. tentukan: * nilai a jika vektor <math>\vec a</math> tegak lurus terhadap vektor <math>\vec b</math> * nilai <math>\vec a \times \vec b</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec a \cdot \vec b &= 0 \\ (-3, 2, -7) \cdot (x, 5, 1) &= 0 \\ (-3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (-7 \cdot 1) &= 0 \\ -3x+10-7 &= 0 \\ -3x &= -3 \\ x &= 1 \\ * \vec a \times \vec b \\ \begin{array}{rrr|rr} i & j & k & i & j \\ -3 & 2 & -7 & -3 & 2 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 5 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array} \\ &= (-3 \cdot 5)k + (2 \cdot 1)i + (-7 \cdot 1)j - (2 \cdot 1)k - (-7 \cdot 5)i - (-3 \cdot 1)j \\ &= -15k+2i-7j-2k+35i+3j \\ &= 37i + 10j - 17k \\ \end{align} </math> </div></div> # Titik <math>\vec a = -3 \vec i+2 \vec j-7 \vec k</math> dan <math>\vec b = x \vec i+5 \vec j+ \vec k</math>. tentukan jumlah nilai x jika vektor <math>\vec w</math> tegak lurus terhadap vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> dan panjang vektor <math>\vec w</math> adalah 2! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text{ cara 1 } \\ \vec a \cdot \vec b &= |\vec a| \cdot |\vec b| cos \alpha \\ (-3, 2, -7) \cdot (x, 5, 1) &= \sqrt{(-3)^2+2^2+(-7)^2} \cdot \sqrt{x^2+5^2+1^2} cos 180^\circ \\ (-3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (-7 \cdot 1) &= \sqrt{62} \sqrt{x^2+26} (-1) \\ -3x+10-7 &= -\sqrt{62(x^2+26)} \\ -3x+3 &= -\sqrt{62(x^2+26)} \\ (-3x+3)^2 &= 62x^2+1.612 \\ 9x^2-18x+9 &= 62x^2+1.612 \\ 53x^2+18x+1.603 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\frac{18}{53} \\ * \text{ cara 2 } \\ \text{ misalkan } \vec w = (a,b,c) \\ \vec a \cdot \vec w &= 0 \\ (-3, 2, -7) \cdot (a, b, c) &= 0 \\ (-3 \cdot a) + (2 \cdot b) + (-7 \cdot c) &= 0 \\ -3a+2b-7c &= 0 \, (1) \\ \vec b \cdot \vec w &= 0 \\ (x, 5, 1) \cdot (a, b, c) &= 0 \\ (x \cdot a) + (5 \cdot b) + (1 \cdot c) &= 0 \\ xa+5b+c &= 0 \, (2) \\ a^2+b^2+c^2 &= 2^2 \\ a^2+b^2+c^2 &= 4 \\ \text{ eliminasi persamaan 1 dan 2 } \\ (-3+7x)a+37b &= 0 \\ b &= \frac{3a-7xa}{37} \\ c &= -xa-5b \\ &= -xa-5(\frac{3a-7xa}{37}) \\ &= \frac{-37xa-15a+35xa}{37} \\ a^2+b^2+c^2 &= 4 \\ a^2+(\frac{3a-7xa}{37})^2+(\frac{-37xa-15a+35xa}{37})^2 &= 4 \\ a^2+\frac{(3a-7xa)^2}{37^2}+\frac{(-2xa-15a)^2}{37^2} &= 4(37^2) \\ 37^2a^2+9a^2-42xa^2+49x^2a^2+(-2)^2x^2a^2+60xa^2-15^2a^2 &= 4(37^2) \\ 1.369a^2+9a^2-42xa^2+49x^2a^2+4x^2a^2+60xa^2-225a^2 &= 5.476 \\ 53a^2x^2+18a^2x+1.153a^2-5.476 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\frac{18a^2}{53a^2} = -\frac{18}{53} \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui segitiga ABC dengan titik A (1,5,1), B (3,4,1) dan C (2,2,1) maka berapa besar sudut ABC? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text{ cara 1 } \\ AB &= \sqrt{(1-3)^2+(5-4)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{4+1+0} \\ &= \sqrt{5} \\ AC &= \sqrt{(1-2)^2+(5-2)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{1+9+0} \\ &= \sqrt{10} \\ BC &= \sqrt{(3-2)^2+(4-2)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{1+4+0} \\ &= \sqrt{5} \\ AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos \alpha \\ (\sqrt{10})^2 &= (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot cos \alpha \\ 10 &= 5+5-10 \cos \alpha \\ 10 &= 10-10 \cos \alpha \\ 10 \cos \alpha &= 0 \\ cos \alpha &= 0 \\ \alpha &= 90^\circ \\ * \text{ cara 2 } \\ \vec {BA} &= (1-3, 5-4, 1-1) \\ &= (-2,1,0) \\ |\vec {BA}| &= \sqrt{(-2)^2+1^2+0^2} \\ &= \sqrt{4+1+0} \\ &= \sqrt{5} \\ \vec {BC} &= (2-3, 2-4, 1-1) \\ &= (-1,-2,0) \\ |\vec {BC}| &= \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2} \\ &= \sqrt{1+4+0} \\ &= \sqrt{5} \\ cos \alpha &= \frac{\vec {BA} \cdot \vec {BC}}{|\vec {BA}| \cdot |\vec {BC}|} \\ &= \frac{-2(-1)+1(-2)+0(0)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \\ &= \frac{2-2+0}{5} \\ &= \frac{0}{5} \\ &= 0 \\ \alpha &= 90^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa luas segitiga titik A (3,1,2), B (4,3,0) dan C (1,2,5)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \vec {AB} &= \vec B-\vec A = (4,3,0)-(3,1,2) = (1,2,-2) \\ \vec {BC} &= \vec C-\vec B = (1,2,5)-(4,3,0) = (-3,-1,5) \\ \vec {AC} &= \vec C-\vec A = (1,2,5)-(3,1,2) = (-2,1,3) \\ * \text{cara 1} \\ AB \text{ dan } BC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & 1 \\ -3 & -1 & 5 & -3 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(1 (-1) \hat k + 2 (5) \hat i + (-2) (-3) \hat j - ((-3) (2) \hat k + (-1) (-2) \hat i + (5) 1 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(- \hat k + 10 \hat i + 6 \hat j - (-6 \hat k + 2 \hat i + 5 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(8 \hat i + \hat j + 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+1^2+5^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * \text{cara 2} \\ AB \text{ dan } AC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 & -2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(1 (1) \hat k + 2 (3) \hat i + (-2) (-2) \hat j - ((-2) (2) \hat k + 1 (-2) \hat i + (3) 1 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(\hat k + 6 \hat i + 4 \hat j - (-4 \hat k - 2 \hat i + 3 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(8 \hat i + \hat j + 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+1^2+5^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * \text{cara 3} \\ BC \text{ dan } AC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} -3 & -1 & 5 & -3 \\ -2 & 1 & 3 & -2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |((-3) 1 \hat k + (-1) (3) \hat i + (5) (-2) \hat j - ((-2) (-1) \hat k + 1 (5) \hat i + (3) (-3) \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-3 \hat k - 3 \hat i - 10 \hat j - (2 \hat k + 5 \hat i - 9 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-8 \hat i - \hat j - 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-5)^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ \end{align} </math> </div></div> # Buktikan bahwa titik A (-1,3,6), B (1,1,5) dan C (3,-1,4) adalah titik segaris (kolinear)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec {AB} &= k \vec {BC} \\ (b-a) &= k(c-b) \\ ((1,1,5)-(-1,3,6)) &= k((3,-1,4)-(1,1,5)) \\ (2,-2,-1) &= k(2,-2,-1) \\ k &= 1 \\ * \vec {BC} &= k \vec {AC} \\ (c-b) &= k(c-a) \\ ((3,-1,4)-(1,1,5)) &= k((3,-1,4)-(-1,3,6)) \\ (2,-2,-1) &= k(4,-4,-2) \\ k &= \frac{1}{2} \\ * \vec {AC} &= k \vec {AB} \\ (c-b) &= k(c-a) \\ ((3,-1,4)-(-1,3,6)) &= k((1,1,5)-(-1,3,6)) \\ (4,-4,-2) &= k(2,-2,-1) \\ k &= 2 \\ \text{terbukti. ketiga titik tersebut merupakan kolinear. } \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = -i+3j+k dan OB = -i-2j+6k. Titik P membagi <math>\vec {AB}</math> di dalam dengan perbandingan 2:3 maka tentukan panjang vektor: * <math>\vec {PA}</math> * <math>\vec {PB}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena titik P berada di dalam maka } \vec {AP} : \vec {PB} = 2:3 \\ \vec OP &= (\frac{3(-1)+2(-1)}{5}, \frac{3(3)+2(-2)}{5}, \frac{3(1)+2(6)}{5}) \\ &= (\frac{-3-2}{5}, \frac{9-4}{5}, \frac{3+12}{5}) \\ &= (-1, 1, 3) \\ * \vec {PA} &= \vec {OA}-\vec {OP} \\ &= (-1,3,1)-(-1,1,3) \\ &= (0,2,-2) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } 2j+2k \\ * \vec {PB} &= \vec {OB}-\vec {OP} \\ &= (-1,-2,6)-(-1,1,3) \\ &= (0,-3,3) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } -3j+3k \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = 3i-j+5k dan OB = i+j-k. Titik P membagi <math>\vec {AB}</math> di luar dengan perbandingan 1:3 maka tentukan panjang vektor: * <math>\vec {PA}</math> * <math>\vec {PB}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena titik P berada di luar maka } \vec {PA} : \vec {PB} = 1:3 \text{ atau } \vec {AP} : \vec {PB} = -1:3 \\ \vec OP &= (\frac{3(3)-(1)}{2}, \frac{3(-1)-(1)}{2}, \frac{3(5)-(-1)}{2}) \\ &= (\frac{9-1}{2}, \frac{-3-1}{2}, \frac{15+1}{2}) \\ &= (4, -2, 8) \\ * \vec {PA} &= \vec {OA}-\vec {OP} \\ &= (3,-1,5)-(4,-2,8) \\ &= (-1,1,-3) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } -i+j-3k \\ * \vec {PB} &= \vec {OB}-\vec {OP} \\ &= (3,1,-1)-(-2,-2,8) \\ &= (5,3,-9) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } 5i+3j-9k \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = i+j+2k dan OB = i+2j+3k. Titik P terletak pada garis AB sehingga <math>|\vec {AP}| = |\vec {OB}|</math> maka tentukan: * OA . AP * OA . OP <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \vec {OA} = i+j+2k, \vec {OB} = i+2j+3k \\ \vec {AB} &= \vec {OB}-\vec {OA} \\ &= (1,2,3)-(1,1,2) \\ &= (0,1,1) \\ * ** \text{cara 1} \\ |\vec AB| &= \sqrt{0^2+1^2+1^2} \\ &= \sqrt{2} \\ |\vec OB| &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ &= \sqrt{14} \\ \text{karena } |\vec AP| = |\vec OB| \text{ maka } |\vec AP| = \sqrt{14} \\ \vec AP &= \frac{|\vec AP|}{|\vec AB|} \cdot \vec AB \\ &= \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0,1,1) \\ &= \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0,1,1) \\ &= \sqrt{7} (0,1,1) \\ &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec AP &= (1,1,2) \cdot (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= 0+\sqrt{7}+2 \sqrt{7} \\ &= 3 \sqrt{7} \\ ** \text{cara 2} \\ \vec AP &= k \cdot \vec AB \\ &= k(0,1,1) \\ &= (0,k,k) \\ |\vec AP| &= |\vec OB| \\ \sqrt{0+k^2+k^2} &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ \sqrt{2k^2} &= \sqrt{14} \\ k &= \sqrt{7} \\ \vec AP &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec AP &= (1,1,2) \cdot (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= 0+\sqrt{7}+2 \sqrt{7} \\ &= 3 \sqrt{7} \\ ** \text{cara 3} \\ |\vec AB| &= \sqrt{0^2+1^2+1^2} \\ &= \sqrt{2} \\ |\vec OB| &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ &= \sqrt{14} \\ \vec OA \cdot \vec AB &= |\vec OA| \cdot |\vec AB| cos \alpha \\ cos \alpha &= \frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec OA| \cdot |\vec AB|} \\ \vec OA \cdot \vec AP &= |\vec OA| \cdot |\vec AP| cos \alpha \\ &= |\vec OA| \cdot |\vec AP| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec OA| \cdot |\vec AB|}) \\ &= |\vec AP| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec AB|}) \\ \text{karena } |\vec AP| = |\vec OB| \\ &= |\vec OB| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec AB|}) \\ &= \sqrt{14} (\frac{(1,1,2) \cdot (0,1,1)}{\sqrt{2}}) \\ &= \sqrt{7} (0+1+2) \\ &= 3 \sqrt{7} \\ * \vec AP &= k \cdot \vec AB \\ &= k(0,1,1) \\ &= (0,k,k) \\ |\vec AP| &= |\vec OB| \\ \sqrt{0+k^2+k^2} &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ \sqrt{2k^2} &= \sqrt{14} \\ k &= \sqrt{7} \\ \vec AP &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OP &= \vec OA+\vec AP \\ &= (1,1,2)+(0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= (1,1+\sqrt{7},2+\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec OP &= (1,1,2)(1,1+\sqrt{7},2+\sqrt{7}) \\ &= 1+1+\sqrt{7}+2(2+\sqrt{7}) \\ &= 6+3 \sqrt{7} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] icpbcdlw3nji4ox8v7j4d2ppkjkbtqr 115264 115262 2026-05-19T11:10:33Z ~2026-30004-79 43172 /* Panjang proyeksi dan proyeksi vektor */ 115264 wikitext text/x-wiki == Vektor == === Posisi vektor === ; <math>\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j</math> : <math>\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> === Panjang vektor === ; Berada di <math>R^2</math> : Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}</math> : Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}</math> : Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> dan <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}</math> ; Berada di <math>R^3</math> : Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}</math> : Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}</math> : Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> dan <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}</math> ; Jumlah dan selisih kedua vektor <math>\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot | \vec a | \cdot | \vec b | \cdot cos C}</math> === Vektor satuan === : <math>\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}</math> === Operasi aljabar pada vektor === * Penjumlahan dan pengurangan terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang <!-- harap ada gambar --> : <math>\vec c = \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_1 + b_1} \\ {a_2 + b_2} \end{pmatrix}</math> : <math>\vec c = \vec a - \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_1 - b_1} \\ {a_2 - b_2} \end{pmatrix}</math> * Perkalian # skalar dengan vektor Jika k skalar tak nol dan vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> maka vektor <math>k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)</math> # titik dua vektor Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3</math> # titik dua vektor dengan membentuk sudut Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> diantara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \cdot \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha</math> # silang dua vektor Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)</math> : <math>\left[\begin{array}{rrr|rr} \hat i & \hat j & \hat k & \hat i & \hat j \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array}\right] </math> # silang dua vektor dengan membentuk sudut Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> diantara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \times \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| sin \alpha</math> === Sifat operasi aljabar pada vektor === # <math>\vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math> # <math>(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)</math> # <math>\vec a + 0 = 0 + \vec a</math> # <math>k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b</math> # <math>(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a</math> # <math>\vec a + (- \vec a) = 0</math> # <math>\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a</math> # <math>(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)</math> # <math>\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a</math> # <math>k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b</math> # <math>(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)</math> # <math>\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2</math> # <math>\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a</math> # <math>\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)</math> # <math>(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)</math> # <math>k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b</math> # <math>\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math> # <math>\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c</math> === Hubungan vektor dengan vektor lain === * Perkalian titik ; Saling tegak lurus Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = 0</math> ; Sejajar Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> * Perkalian silang ; Saling tegak lurus Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> Jika <math>\beta > {90}^{\circ}</math> maka dua vektor tersebut searah Jika <math>\beta < {90}^{\circ}</math> maka vektor saling berlawanan arah ; Sejajar Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = 0</math> === Sudut dua vektor === Jika vektor <math>\vec a</math> dan vektor <math>\vec b</math> sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah <math>cos \, \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}</math> === Panjang proyeksi dan proyeksi vektor === : catatan <math>|\vec c| = <math>|\vec a|</math> cos \, a</math> dan <math>e = \frac{\vec b}{|\vec b|}</math> : Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}</math> : Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b</math> === Metode === perhatikan garis-garis sesuai dengan arah panahnya dalam bentuk rumus seperti <math>\vec {AB}, \vec {BA}, dll</math> jika tidak ada tulisan O maka dianggap AB = b-a kecuali keterangan tertulis. ; segitiga : <math>\vec R = \vec a + \vec b</math> : <math>\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right| = \vec b - \vec a</math> : <math>\left| \vec {AB} \right| = - \left| \vec {BA} \right|</math> ; jajar genjang : <math>\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math> : <math>\left| \vec {BA} \right| = \left| \vec {OA} \right| - \left| \vec {OB} \right| = \vec a - \vec b</math> : <math>\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}</math> === Titik segaris (kolinear) === Titik A, B dan C dikatakan segaris memenuhi persamaan sebagai berikut: : <math>\vec {AB} = k \vec {BC}, \vec {BC} = k \vec {AC}, \vec {AC} = k \vec {AB}</math> === Perbandingan === ; Aturan jajar genjang <!-- harap ada gambar --> : Posisi vektor : <math>\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}</math> : Berada di <math>R^2</math> : <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})</math> : Berada di <math>R^3</math> : <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})</math> ; Satu garis <!-- harap ada gambar --> * Perbandingan posisi dalam adalah m:n : Posisi vektor :: <math>\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}</math> : Berada di <math>R^2</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})</math> : Berada di <math>R^3</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})</math> * Perbandingan posisi luar adalah m:-n : Posisi vektor :: <math>\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}</math> : Berada di <math>R^2</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})</math> : Berada di <math>R^3</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})</math> == Luas == # Luas segitiga * misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_1 & y_1 & z_1 & x_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |(x_1 y_2 \hat k + y_1 z_2 \hat i + z_1 x_2 \hat j - (x_2 y_1 \hat k + y_2 z_1 \hat i + z_2 x_1 \hat j))| \\ = \frac{1}{2} \cdot |((y_1 z_2-y_2 z_1) \hat i+(z_1 x_2-z_2 x_1) \hat j+(x_1 y_2-x_2 y_1) \hat k)| \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_1 z_2-y_2 z_1)^2+(z_1 x_2-z_2 x_1)^2+(x_1 y_2-x_2 y_1)^2} \\ \end{align}</math> * misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip : misalkan AB dan AC : <math>AB = B - A = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) = (x_4,y_4,z_4)</math> : <math>AC = C - A = (x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1) = (x_5,y_5,z_5)</math> : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_4 & y_4 & z_4 & x_4 \\ x_5 & y_5 & z_5 & x_5 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |(x_4 y_5 \hat k + y_4 z_5 \hat i + z_4 x_5 \hat j - (x_5 y_4 \hat k + y_5 z_4 \hat i + z_5 x_4 \hat j))| \\ = \frac{1}{2} \cdot |((y_4 z_5-y_5 z_4) \hat i+(z_4 x_5-z_5 x_4) \hat j+(x_4 y_5-x_5 y_4) \hat k)| \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_4 z_5-y_5 z_4)^2+(z_4 x_5-z_5 x_4)^2+(x_4 y_5-x_5 y_4)^2} \\ \end{align}</math> # Luas jajar genjang misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip : <math>\begin{align} L = \begin{array}{rrr|r} x_1 & y_1 & z_1 & x_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = |(x_1 y_2 \hat k + y_1 z_2 \hat i + z_1 x_2 \hat j - (x_2 y_1 \hat k + y_2 z_1 \hat i + z_2 x_1 \hat j))| \\ = |((y_1 z_2-z_1 y_2) \hat i+(z_1 x_2-y_2 z_1) \hat j+(x_1 y_2-x_2 y_1) \hat k)| \\ = \sqrt{(y_1 z_2-z_1 y_2)^2+(z_1 x_2-y_2 z_1)^2+(x_1 y_2-x_2 y_1)^2} \\ \end{align}</math> * misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip : misalkan AB dan AC : <math>AB = B - A = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) = (x_4,y_4,z_4)</math> : <math>AC = C - A = (x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1) = (x_5,y_5,z_5)</math> : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_4 & y_4 & z_4 & x_4 \\ x_5 & y_5 & z_5 & x_5 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = |(x_4 y_5 \hat k + y_4 z_5 \hat i + z_4 x_5 \hat j - (x_5 y_4 \hat k + y_5 z_4 \hat i + z_5 x_4 \hat j))| \\ = |((y_4 z_5-y_5 z_4) \hat i+(z_4 x_5-z_5 x_4) \hat j+(x_4 y_5-x_5 y_4) \hat k)| \\ = \sqrt{(y_4 z_5-y_5 z_4)^2+(z_4 x_5-z_5 x_4)^2+(x_4 y_5-x_5 y_4)^2} \\ \end{align}</math> contoh # Titik <math>\vec a = -3 \vec i-2 \vec j+4 \vec k</math> dan <math>\vec b = 6 \vec i+6 \vec j+ \vec k</math>. tentukan: * <math>\vec a + \vec b</math> * <math>\vec a - \vec b</math> * <math>\vec a \cdot \vec b</math> * <math>\vec a \times \vec b</math> * panjang vektor <math>\vec a \text{ dan } \vec b</math> * vektor satuan pada vektor <math>\hat b</math> * panjang proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> * proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec c &= \vec a + \vec b \\ &= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\ &= (-3+6, -2+6, 4+1) \\ &= (3, 4, 5) \\ * \vec c &= \vec a - \vec b \\ &= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\ &= (-3-6, -2-6, 4-1) \\ &= (-9, -8, 3) \\ * \vec a \cdot \vec b \\ &= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\ &= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\ &= -18-12+4 \\ &= -26 \\ * \vec a \times \vec b \\ \begin{array}{rrr|rr} i & j & k & i & j \\ -3 & -2 & 4 & -3 & -2 \\ 6 & 6 & 1 & 6 & 6 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array} \\ &= (-3 \cdot 6)k + (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j - (-2 \cdot 6)k - (4 \cdot 6)i - (-3 \cdot 1)j \\ &= -18k -2i + 24j + 12k -24i + 3j \\ &= -26i + 27j - 6k \\ * | \vec c | &= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\ &= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\ &= \sqrt{81 + 64 + 9} \\ &= \sqrt{145} \\ * \hat b &= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\ * | \vec c | &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\ &= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\ * \vec c &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\ &= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\ &= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\ \end{align} </math> </div></div> # Titik <math>\vec a = -3 \vec i+2 \vec j-7 \vec k</math> dan <math>\vec b = x \vec i+5 \vec j+ \vec k</math>. tentukan: * nilai a jika vektor <math>\vec a</math> tegak lurus terhadap vektor <math>\vec b</math> * nilai <math>\vec a \times \vec b</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec a \cdot \vec b &= 0 \\ (-3, 2, -7) \cdot (x, 5, 1) &= 0 \\ (-3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (-7 \cdot 1) &= 0 \\ -3x+10-7 &= 0 \\ -3x &= -3 \\ x &= 1 \\ * \vec a \times \vec b \\ \begin{array}{rrr|rr} i & j & k & i & j \\ -3 & 2 & -7 & -3 & 2 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 5 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array} \\ &= (-3 \cdot 5)k + (2 \cdot 1)i + (-7 \cdot 1)j - (2 \cdot 1)k - (-7 \cdot 5)i - (-3 \cdot 1)j \\ &= -15k+2i-7j-2k+35i+3j \\ &= 37i + 10j - 17k \\ \end{align} </math> </div></div> # Titik <math>\vec a = -3 \vec i+2 \vec j-7 \vec k</math> dan <math>\vec b = x \vec i+5 \vec j+ \vec k</math>. tentukan jumlah nilai x jika vektor <math>\vec w</math> tegak lurus terhadap vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> dan panjang vektor <math>\vec w</math> adalah 2! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text{ cara 1 } \\ \vec a \cdot \vec b &= |\vec a| \cdot |\vec b| cos \alpha \\ (-3, 2, -7) \cdot (x, 5, 1) &= \sqrt{(-3)^2+2^2+(-7)^2} \cdot \sqrt{x^2+5^2+1^2} cos 180^\circ \\ (-3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (-7 \cdot 1) &= \sqrt{62} \sqrt{x^2+26} (-1) \\ -3x+10-7 &= -\sqrt{62(x^2+26)} \\ -3x+3 &= -\sqrt{62(x^2+26)} \\ (-3x+3)^2 &= 62x^2+1.612 \\ 9x^2-18x+9 &= 62x^2+1.612 \\ 53x^2+18x+1.603 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\frac{18}{53} \\ * \text{ cara 2 } \\ \text{ misalkan } \vec w = (a,b,c) \\ \vec a \cdot \vec w &= 0 \\ (-3, 2, -7) \cdot (a, b, c) &= 0 \\ (-3 \cdot a) + (2 \cdot b) + (-7 \cdot c) &= 0 \\ -3a+2b-7c &= 0 \, (1) \\ \vec b \cdot \vec w &= 0 \\ (x, 5, 1) \cdot (a, b, c) &= 0 \\ (x \cdot a) + (5 \cdot b) + (1 \cdot c) &= 0 \\ xa+5b+c &= 0 \, (2) \\ a^2+b^2+c^2 &= 2^2 \\ a^2+b^2+c^2 &= 4 \\ \text{ eliminasi persamaan 1 dan 2 } \\ (-3+7x)a+37b &= 0 \\ b &= \frac{3a-7xa}{37} \\ c &= -xa-5b \\ &= -xa-5(\frac{3a-7xa}{37}) \\ &= \frac{-37xa-15a+35xa}{37} \\ a^2+b^2+c^2 &= 4 \\ a^2+(\frac{3a-7xa}{37})^2+(\frac{-37xa-15a+35xa}{37})^2 &= 4 \\ a^2+\frac{(3a-7xa)^2}{37^2}+\frac{(-2xa-15a)^2}{37^2} &= 4(37^2) \\ 37^2a^2+9a^2-42xa^2+49x^2a^2+(-2)^2x^2a^2+60xa^2-15^2a^2 &= 4(37^2) \\ 1.369a^2+9a^2-42xa^2+49x^2a^2+4x^2a^2+60xa^2-225a^2 &= 5.476 \\ 53a^2x^2+18a^2x+1.153a^2-5.476 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\frac{18a^2}{53a^2} = -\frac{18}{53} \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui segitiga ABC dengan titik A (1,5,1), B (3,4,1) dan C (2,2,1) maka berapa besar sudut ABC? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text{ cara 1 } \\ AB &= \sqrt{(1-3)^2+(5-4)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{4+1+0} \\ &= \sqrt{5} \\ AC &= \sqrt{(1-2)^2+(5-2)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{1+9+0} \\ &= \sqrt{10} \\ BC &= \sqrt{(3-2)^2+(4-2)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{1+4+0} \\ &= \sqrt{5} \\ AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos \alpha \\ (\sqrt{10})^2 &= (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot cos \alpha \\ 10 &= 5+5-10 \cos \alpha \\ 10 &= 10-10 \cos \alpha \\ 10 \cos \alpha &= 0 \\ cos \alpha &= 0 \\ \alpha &= 90^\circ \\ * \text{ cara 2 } \\ \vec {BA} &= (1-3, 5-4, 1-1) \\ &= (-2,1,0) \\ |\vec {BA}| &= \sqrt{(-2)^2+1^2+0^2} \\ &= \sqrt{4+1+0} \\ &= \sqrt{5} \\ \vec {BC} &= (2-3, 2-4, 1-1) \\ &= (-1,-2,0) \\ |\vec {BC}| &= \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2} \\ &= \sqrt{1+4+0} \\ &= \sqrt{5} \\ cos \alpha &= \frac{\vec {BA} \cdot \vec {BC}}{|\vec {BA}| \cdot |\vec {BC}|} \\ &= \frac{-2(-1)+1(-2)+0(0)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \\ &= \frac{2-2+0}{5} \\ &= \frac{0}{5} \\ &= 0 \\ \alpha &= 90^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa luas segitiga titik A (3,1,2), B (4,3,0) dan C (1,2,5)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \vec {AB} &= \vec B-\vec A = (4,3,0)-(3,1,2) = (1,2,-2) \\ \vec {BC} &= \vec C-\vec B = (1,2,5)-(4,3,0) = (-3,-1,5) \\ \vec {AC} &= \vec C-\vec A = (1,2,5)-(3,1,2) = (-2,1,3) \\ * \text{cara 1} \\ AB \text{ dan } BC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & 1 \\ -3 & -1 & 5 & -3 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(1 (-1) \hat k + 2 (5) \hat i + (-2) (-3) \hat j - ((-3) (2) \hat k + (-1) (-2) \hat i + (5) 1 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(- \hat k + 10 \hat i + 6 \hat j - (-6 \hat k + 2 \hat i + 5 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(8 \hat i + \hat j + 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+1^2+5^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * \text{cara 2} \\ AB \text{ dan } AC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 & -2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(1 (1) \hat k + 2 (3) \hat i + (-2) (-2) \hat j - ((-2) (2) \hat k + 1 (-2) \hat i + (3) 1 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(\hat k + 6 \hat i + 4 \hat j - (-4 \hat k - 2 \hat i + 3 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(8 \hat i + \hat j + 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+1^2+5^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * \text{cara 3} \\ BC \text{ dan } AC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} -3 & -1 & 5 & -3 \\ -2 & 1 & 3 & -2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |((-3) 1 \hat k + (-1) (3) \hat i + (5) (-2) \hat j - ((-2) (-1) \hat k + 1 (5) \hat i + (3) (-3) \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-3 \hat k - 3 \hat i - 10 \hat j - (2 \hat k + 5 \hat i - 9 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-8 \hat i - \hat j - 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-5)^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ \end{align} </math> </div></div> # Buktikan bahwa titik A (-1,3,6), B (1,1,5) dan C (3,-1,4) adalah titik segaris (kolinear)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec {AB} &= k \vec {BC} \\ (b-a) &= k(c-b) \\ ((1,1,5)-(-1,3,6)) &= k((3,-1,4)-(1,1,5)) \\ (2,-2,-1) &= k(2,-2,-1) \\ k &= 1 \\ * \vec {BC} &= k \vec {AC} \\ (c-b) &= k(c-a) \\ ((3,-1,4)-(1,1,5)) &= k((3,-1,4)-(-1,3,6)) \\ (2,-2,-1) &= k(4,-4,-2) \\ k &= \frac{1}{2} \\ * \vec {AC} &= k \vec {AB} \\ (c-b) &= k(c-a) \\ ((3,-1,4)-(-1,3,6)) &= k((1,1,5)-(-1,3,6)) \\ (4,-4,-2) &= k(2,-2,-1) \\ k &= 2 \\ \text{terbukti. ketiga titik tersebut merupakan kolinear. } \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = -i+3j+k dan OB = -i-2j+6k. Titik P membagi <math>\vec {AB}</math> di dalam dengan perbandingan 2:3 maka tentukan panjang vektor: * <math>\vec {PA}</math> * <math>\vec {PB}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena titik P berada di dalam maka } \vec {AP} : \vec {PB} = 2:3 \\ \vec OP &= (\frac{3(-1)+2(-1)}{5}, \frac{3(3)+2(-2)}{5}, \frac{3(1)+2(6)}{5}) \\ &= (\frac{-3-2}{5}, \frac{9-4}{5}, \frac{3+12}{5}) \\ &= (-1, 1, 3) \\ * \vec {PA} &= \vec {OA}-\vec {OP} \\ &= (-1,3,1)-(-1,1,3) \\ &= (0,2,-2) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } 2j+2k \\ * \vec {PB} &= \vec {OB}-\vec {OP} \\ &= (-1,-2,6)-(-1,1,3) \\ &= (0,-3,3) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } -3j+3k \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = 3i-j+5k dan OB = i+j-k. Titik P membagi <math>\vec {AB}</math> di luar dengan perbandingan 1:3 maka tentukan panjang vektor: * <math>\vec {PA}</math> * <math>\vec {PB}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena titik P berada di luar maka } \vec {PA} : \vec {PB} = 1:3 \text{ atau } \vec {AP} : \vec {PB} = -1:3 \\ \vec OP &= (\frac{3(3)-(1)}{2}, \frac{3(-1)-(1)}{2}, \frac{3(5)-(-1)}{2}) \\ &= (\frac{9-1}{2}, \frac{-3-1}{2}, \frac{15+1}{2}) \\ &= (4, -2, 8) \\ * \vec {PA} &= \vec {OA}-\vec {OP} \\ &= (3,-1,5)-(4,-2,8) \\ &= (-1,1,-3) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } -i+j-3k \\ * \vec {PB} &= \vec {OB}-\vec {OP} \\ &= (3,1,-1)-(-2,-2,8) \\ &= (5,3,-9) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } 5i+3j-9k \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = i+j+2k dan OB = i+2j+3k. Titik P terletak pada garis AB sehingga <math>|\vec {AP}| = |\vec {OB}|</math> maka tentukan: * OA . AP * OA . OP <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \vec {OA} = i+j+2k, \vec {OB} = i+2j+3k \\ \vec {AB} &= \vec {OB}-\vec {OA} \\ &= (1,2,3)-(1,1,2) \\ &= (0,1,1) \\ * ** \text{cara 1} \\ |\vec AB| &= \sqrt{0^2+1^2+1^2} \\ &= \sqrt{2} \\ |\vec OB| &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ &= \sqrt{14} \\ \text{karena } |\vec AP| = |\vec OB| \text{ maka } |\vec AP| = \sqrt{14} \\ \vec AP &= \frac{|\vec AP|}{|\vec AB|} \cdot \vec AB \\ &= \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0,1,1) \\ &= \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0,1,1) \\ &= \sqrt{7} (0,1,1) \\ &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec AP &= (1,1,2) \cdot (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= 0+\sqrt{7}+2 \sqrt{7} \\ &= 3 \sqrt{7} \\ ** \text{cara 2} \\ \vec AP &= k \cdot \vec AB \\ &= k(0,1,1) \\ &= (0,k,k) \\ |\vec AP| &= |\vec OB| \\ \sqrt{0+k^2+k^2} &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ \sqrt{2k^2} &= \sqrt{14} \\ k &= \sqrt{7} \\ \vec AP &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec AP &= (1,1,2) \cdot (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= 0+\sqrt{7}+2 \sqrt{7} \\ &= 3 \sqrt{7} \\ ** \text{cara 3} \\ |\vec AB| &= \sqrt{0^2+1^2+1^2} \\ &= \sqrt{2} \\ |\vec OB| &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ &= \sqrt{14} \\ \vec OA \cdot \vec AB &= |\vec OA| \cdot |\vec AB| cos \alpha \\ cos \alpha &= \frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec OA| \cdot |\vec AB|} \\ \vec OA \cdot \vec AP &= |\vec OA| \cdot |\vec AP| cos \alpha \\ &= |\vec OA| \cdot |\vec AP| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec OA| \cdot |\vec AB|}) \\ &= |\vec AP| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec AB|}) \\ \text{karena } |\vec AP| = |\vec OB| \\ &= |\vec OB| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec AB|}) \\ &= \sqrt{14} (\frac{(1,1,2) \cdot (0,1,1)}{\sqrt{2}}) \\ &= \sqrt{7} (0+1+2) \\ &= 3 \sqrt{7} \\ * \vec AP &= k \cdot \vec AB \\ &= k(0,1,1) \\ &= (0,k,k) \\ |\vec AP| &= |\vec OB| \\ \sqrt{0+k^2+k^2} &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ \sqrt{2k^2} &= \sqrt{14} \\ k &= \sqrt{7} \\ \vec AP &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OP &= \vec OA+\vec AP \\ &= (1,1,2)+(0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= (1,1+\sqrt{7},2+\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec OP &= (1,1,2)(1,1+\sqrt{7},2+\sqrt{7}) \\ &= 1+1+\sqrt{7}+2(2+\sqrt{7}) \\ &= 6+3 \sqrt{7} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 8clnjbixyy2kzvgwnuqm9uiwo4agcb2 115265 115264 2026-05-19T11:11:38Z ~2026-30004-79 43172 /* Panjang proyeksi dan proyeksi vektor */ 115265 wikitext text/x-wiki == Vektor == === Posisi vektor === ; <math>\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j</math> : <math>\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> === Panjang vektor === ; Berada di <math>R^2</math> : Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}</math> : Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}</math> : Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> dan <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}</math> ; Berada di <math>R^3</math> : Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}</math> : Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}</math> : Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> dan <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}</math> ; Jumlah dan selisih kedua vektor <math>\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot | \vec a | \cdot | \vec b | \cdot cos C}</math> === Vektor satuan === : <math>\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}</math> === Operasi aljabar pada vektor === * Penjumlahan dan pengurangan terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang <!-- harap ada gambar --> : <math>\vec c = \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_1 + b_1} \\ {a_2 + b_2} \end{pmatrix}</math> : <math>\vec c = \vec a - \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_1 - b_1} \\ {a_2 - b_2} \end{pmatrix}</math> * Perkalian # skalar dengan vektor Jika k skalar tak nol dan vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> maka vektor <math>k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)</math> # titik dua vektor Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3</math> # titik dua vektor dengan membentuk sudut Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> diantara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \cdot \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha</math> # silang dua vektor Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)</math> : <math>\left[\begin{array}{rrr|rr} \hat i & \hat j & \hat k & \hat i & \hat j \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array}\right] </math> # silang dua vektor dengan membentuk sudut Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> diantara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \times \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| sin \alpha</math> === Sifat operasi aljabar pada vektor === # <math>\vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math> # <math>(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)</math> # <math>\vec a + 0 = 0 + \vec a</math> # <math>k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b</math> # <math>(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a</math> # <math>\vec a + (- \vec a) = 0</math> # <math>\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a</math> # <math>(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)</math> # <math>\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a</math> # <math>k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b</math> # <math>(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)</math> # <math>\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2</math> # <math>\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a</math> # <math>\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)</math> # <math>(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)</math> # <math>k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b</math> # <math>\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math> # <math>\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c</math> === Hubungan vektor dengan vektor lain === * Perkalian titik ; Saling tegak lurus Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = 0</math> ; Sejajar Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> * Perkalian silang ; Saling tegak lurus Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> Jika <math>\beta > {90}^{\circ}</math> maka dua vektor tersebut searah Jika <math>\beta < {90}^{\circ}</math> maka vektor saling berlawanan arah ; Sejajar Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = 0</math> === Sudut dua vektor === Jika vektor <math>\vec a</math> dan vektor <math>\vec b</math> sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah <math>cos \, \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}</math> === Panjang proyeksi dan proyeksi vektor === : catatan <math>|\vec c| = |\vec a| cos \, a</math> dan <math>e = \frac{\vec b}{|\vec b|}</math> : Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}</math> : Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b</math> === Metode === perhatikan garis-garis sesuai dengan arah panahnya dalam bentuk rumus seperti <math>\vec {AB}, \vec {BA}, dll</math> jika tidak ada tulisan O maka dianggap AB = b-a kecuali keterangan tertulis. ; segitiga : <math>\vec R = \vec a + \vec b</math> : <math>\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right| = \vec b - \vec a</math> : <math>\left| \vec {AB} \right| = - \left| \vec {BA} \right|</math> ; jajar genjang : <math>\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math> : <math>\left| \vec {BA} \right| = \left| \vec {OA} \right| - \left| \vec {OB} \right| = \vec a - \vec b</math> : <math>\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}</math> === Titik segaris (kolinear) === Titik A, B dan C dikatakan segaris memenuhi persamaan sebagai berikut: : <math>\vec {AB} = k \vec {BC}, \vec {BC} = k \vec {AC}, \vec {AC} = k \vec {AB}</math> === Perbandingan === ; Aturan jajar genjang <!-- harap ada gambar --> : Posisi vektor : <math>\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}</math> : Berada di <math>R^2</math> : <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})</math> : Berada di <math>R^3</math> : <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})</math> ; Satu garis <!-- harap ada gambar --> * Perbandingan posisi dalam adalah m:n : Posisi vektor :: <math>\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}</math> : Berada di <math>R^2</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})</math> : Berada di <math>R^3</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})</math> * Perbandingan posisi luar adalah m:-n : Posisi vektor :: <math>\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}</math> : Berada di <math>R^2</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})</math> : Berada di <math>R^3</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})</math> == Luas == # Luas segitiga * misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_1 & y_1 & z_1 & x_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |(x_1 y_2 \hat k + y_1 z_2 \hat i + z_1 x_2 \hat j - (x_2 y_1 \hat k + y_2 z_1 \hat i + z_2 x_1 \hat j))| \\ = \frac{1}{2} \cdot |((y_1 z_2-y_2 z_1) \hat i+(z_1 x_2-z_2 x_1) \hat j+(x_1 y_2-x_2 y_1) \hat k)| \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_1 z_2-y_2 z_1)^2+(z_1 x_2-z_2 x_1)^2+(x_1 y_2-x_2 y_1)^2} \\ \end{align}</math> * misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip : misalkan AB dan AC : <math>AB = B - A = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) = (x_4,y_4,z_4)</math> : <math>AC = C - A = (x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1) = (x_5,y_5,z_5)</math> : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_4 & y_4 & z_4 & x_4 \\ x_5 & y_5 & z_5 & x_5 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |(x_4 y_5 \hat k + y_4 z_5 \hat i + z_4 x_5 \hat j - (x_5 y_4 \hat k + y_5 z_4 \hat i + z_5 x_4 \hat j))| \\ = \frac{1}{2} \cdot |((y_4 z_5-y_5 z_4) \hat i+(z_4 x_5-z_5 x_4) \hat j+(x_4 y_5-x_5 y_4) \hat k)| \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_4 z_5-y_5 z_4)^2+(z_4 x_5-z_5 x_4)^2+(x_4 y_5-x_5 y_4)^2} \\ \end{align}</math> # Luas jajar genjang misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip : <math>\begin{align} L = \begin{array}{rrr|r} x_1 & y_1 & z_1 & x_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = |(x_1 y_2 \hat k + y_1 z_2 \hat i + z_1 x_2 \hat j - (x_2 y_1 \hat k + y_2 z_1 \hat i + z_2 x_1 \hat j))| \\ = |((y_1 z_2-z_1 y_2) \hat i+(z_1 x_2-y_2 z_1) \hat j+(x_1 y_2-x_2 y_1) \hat k)| \\ = \sqrt{(y_1 z_2-z_1 y_2)^2+(z_1 x_2-y_2 z_1)^2+(x_1 y_2-x_2 y_1)^2} \\ \end{align}</math> * misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip : misalkan AB dan AC : <math>AB = B - A = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) = (x_4,y_4,z_4)</math> : <math>AC = C - A = (x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1) = (x_5,y_5,z_5)</math> : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_4 & y_4 & z_4 & x_4 \\ x_5 & y_5 & z_5 & x_5 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = |(x_4 y_5 \hat k + y_4 z_5 \hat i + z_4 x_5 \hat j - (x_5 y_4 \hat k + y_5 z_4 \hat i + z_5 x_4 \hat j))| \\ = |((y_4 z_5-y_5 z_4) \hat i+(z_4 x_5-z_5 x_4) \hat j+(x_4 y_5-x_5 y_4) \hat k)| \\ = \sqrt{(y_4 z_5-y_5 z_4)^2+(z_4 x_5-z_5 x_4)^2+(x_4 y_5-x_5 y_4)^2} \\ \end{align}</math> contoh # Titik <math>\vec a = -3 \vec i-2 \vec j+4 \vec k</math> dan <math>\vec b = 6 \vec i+6 \vec j+ \vec k</math>. tentukan: * <math>\vec a + \vec b</math> * <math>\vec a - \vec b</math> * <math>\vec a \cdot \vec b</math> * <math>\vec a \times \vec b</math> * panjang vektor <math>\vec a \text{ dan } \vec b</math> * vektor satuan pada vektor <math>\hat b</math> * panjang proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> * proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec c &= \vec a + \vec b \\ &= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\ &= (-3+6, -2+6, 4+1) \\ &= (3, 4, 5) \\ * \vec c &= \vec a - \vec b \\ &= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\ &= (-3-6, -2-6, 4-1) \\ &= (-9, -8, 3) \\ * \vec a \cdot \vec b \\ &= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\ &= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\ &= -18-12+4 \\ &= -26 \\ * \vec a \times \vec b \\ \begin{array}{rrr|rr} i & j & k & i & j \\ -3 & -2 & 4 & -3 & -2 \\ 6 & 6 & 1 & 6 & 6 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array} \\ &= (-3 \cdot 6)k + (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j - (-2 \cdot 6)k - (4 \cdot 6)i - (-3 \cdot 1)j \\ &= -18k -2i + 24j + 12k -24i + 3j \\ &= -26i + 27j - 6k \\ * | \vec c | &= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\ &= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\ &= \sqrt{81 + 64 + 9} \\ &= \sqrt{145} \\ * \hat b &= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\ * | \vec c | &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\ &= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\ * \vec c &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\ &= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\ &= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\ \end{align} </math> </div></div> # Titik <math>\vec a = -3 \vec i+2 \vec j-7 \vec k</math> dan <math>\vec b = x \vec i+5 \vec j+ \vec k</math>. tentukan: * nilai a jika vektor <math>\vec a</math> tegak lurus terhadap vektor <math>\vec b</math> * nilai <math>\vec a \times \vec b</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec a \cdot \vec b &= 0 \\ (-3, 2, -7) \cdot (x, 5, 1) &= 0 \\ (-3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (-7 \cdot 1) &= 0 \\ -3x+10-7 &= 0 \\ -3x &= -3 \\ x &= 1 \\ * \vec a \times \vec b \\ \begin{array}{rrr|rr} i & j & k & i & j \\ -3 & 2 & -7 & -3 & 2 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 5 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array} \\ &= (-3 \cdot 5)k + (2 \cdot 1)i + (-7 \cdot 1)j - (2 \cdot 1)k - (-7 \cdot 5)i - (-3 \cdot 1)j \\ &= -15k+2i-7j-2k+35i+3j \\ &= 37i + 10j - 17k \\ \end{align} </math> </div></div> # Titik <math>\vec a = -3 \vec i+2 \vec j-7 \vec k</math> dan <math>\vec b = x \vec i+5 \vec j+ \vec k</math>. tentukan jumlah nilai x jika vektor <math>\vec w</math> tegak lurus terhadap vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> dan panjang vektor <math>\vec w</math> adalah 2! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text{ cara 1 } \\ \vec a \cdot \vec b &= |\vec a| \cdot |\vec b| cos \alpha \\ (-3, 2, -7) \cdot (x, 5, 1) &= \sqrt{(-3)^2+2^2+(-7)^2} \cdot \sqrt{x^2+5^2+1^2} cos 180^\circ \\ (-3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (-7 \cdot 1) &= \sqrt{62} \sqrt{x^2+26} (-1) \\ -3x+10-7 &= -\sqrt{62(x^2+26)} \\ -3x+3 &= -\sqrt{62(x^2+26)} \\ (-3x+3)^2 &= 62x^2+1.612 \\ 9x^2-18x+9 &= 62x^2+1.612 \\ 53x^2+18x+1.603 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\frac{18}{53} \\ * \text{ cara 2 } \\ \text{ misalkan } \vec w = (a,b,c) \\ \vec a \cdot \vec w &= 0 \\ (-3, 2, -7) \cdot (a, b, c) &= 0 \\ (-3 \cdot a) + (2 \cdot b) + (-7 \cdot c) &= 0 \\ -3a+2b-7c &= 0 \, (1) \\ \vec b \cdot \vec w &= 0 \\ (x, 5, 1) \cdot (a, b, c) &= 0 \\ (x \cdot a) + (5 \cdot b) + (1 \cdot c) &= 0 \\ xa+5b+c &= 0 \, (2) \\ a^2+b^2+c^2 &= 2^2 \\ a^2+b^2+c^2 &= 4 \\ \text{ eliminasi persamaan 1 dan 2 } \\ (-3+7x)a+37b &= 0 \\ b &= \frac{3a-7xa}{37} \\ c &= -xa-5b \\ &= -xa-5(\frac{3a-7xa}{37}) \\ &= \frac{-37xa-15a+35xa}{37} \\ a^2+b^2+c^2 &= 4 \\ a^2+(\frac{3a-7xa}{37})^2+(\frac{-37xa-15a+35xa}{37})^2 &= 4 \\ a^2+\frac{(3a-7xa)^2}{37^2}+\frac{(-2xa-15a)^2}{37^2} &= 4(37^2) \\ 37^2a^2+9a^2-42xa^2+49x^2a^2+(-2)^2x^2a^2+60xa^2-15^2a^2 &= 4(37^2) \\ 1.369a^2+9a^2-42xa^2+49x^2a^2+4x^2a^2+60xa^2-225a^2 &= 5.476 \\ 53a^2x^2+18a^2x+1.153a^2-5.476 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\frac{18a^2}{53a^2} = -\frac{18}{53} \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui segitiga ABC dengan titik A (1,5,1), B (3,4,1) dan C (2,2,1) maka berapa besar sudut ABC? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text{ cara 1 } \\ AB &= \sqrt{(1-3)^2+(5-4)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{4+1+0} \\ &= \sqrt{5} \\ AC &= \sqrt{(1-2)^2+(5-2)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{1+9+0} \\ &= \sqrt{10} \\ BC &= \sqrt{(3-2)^2+(4-2)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{1+4+0} \\ &= \sqrt{5} \\ AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos \alpha \\ (\sqrt{10})^2 &= (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot cos \alpha \\ 10 &= 5+5-10 \cos \alpha \\ 10 &= 10-10 \cos \alpha \\ 10 \cos \alpha &= 0 \\ cos \alpha &= 0 \\ \alpha &= 90^\circ \\ * \text{ cara 2 } \\ \vec {BA} &= (1-3, 5-4, 1-1) \\ &= (-2,1,0) \\ |\vec {BA}| &= \sqrt{(-2)^2+1^2+0^2} \\ &= \sqrt{4+1+0} \\ &= \sqrt{5} \\ \vec {BC} &= (2-3, 2-4, 1-1) \\ &= (-1,-2,0) \\ |\vec {BC}| &= \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2} \\ &= \sqrt{1+4+0} \\ &= \sqrt{5} \\ cos \alpha &= \frac{\vec {BA} \cdot \vec {BC}}{|\vec {BA}| \cdot |\vec {BC}|} \\ &= \frac{-2(-1)+1(-2)+0(0)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \\ &= \frac{2-2+0}{5} \\ &= \frac{0}{5} \\ &= 0 \\ \alpha &= 90^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa luas segitiga titik A (3,1,2), B (4,3,0) dan C (1,2,5)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \vec {AB} &= \vec B-\vec A = (4,3,0)-(3,1,2) = (1,2,-2) \\ \vec {BC} &= \vec C-\vec B = (1,2,5)-(4,3,0) = (-3,-1,5) \\ \vec {AC} &= \vec C-\vec A = (1,2,5)-(3,1,2) = (-2,1,3) \\ * \text{cara 1} \\ AB \text{ dan } BC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & 1 \\ -3 & -1 & 5 & -3 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(1 (-1) \hat k + 2 (5) \hat i + (-2) (-3) \hat j - ((-3) (2) \hat k + (-1) (-2) \hat i + (5) 1 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(- \hat k + 10 \hat i + 6 \hat j - (-6 \hat k + 2 \hat i + 5 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(8 \hat i + \hat j + 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+1^2+5^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * \text{cara 2} \\ AB \text{ dan } AC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 & -2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(1 (1) \hat k + 2 (3) \hat i + (-2) (-2) \hat j - ((-2) (2) \hat k + 1 (-2) \hat i + (3) 1 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(\hat k + 6 \hat i + 4 \hat j - (-4 \hat k - 2 \hat i + 3 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(8 \hat i + \hat j + 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+1^2+5^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * \text{cara 3} \\ BC \text{ dan } AC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} -3 & -1 & 5 & -3 \\ -2 & 1 & 3 & -2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |((-3) 1 \hat k + (-1) (3) \hat i + (5) (-2) \hat j - ((-2) (-1) \hat k + 1 (5) \hat i + (3) (-3) \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-3 \hat k - 3 \hat i - 10 \hat j - (2 \hat k + 5 \hat i - 9 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-8 \hat i - \hat j - 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-5)^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ \end{align} </math> </div></div> # Buktikan bahwa titik A (-1,3,6), B (1,1,5) dan C (3,-1,4) adalah titik segaris (kolinear)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec {AB} &= k \vec {BC} \\ (b-a) &= k(c-b) \\ ((1,1,5)-(-1,3,6)) &= k((3,-1,4)-(1,1,5)) \\ (2,-2,-1) &= k(2,-2,-1) \\ k &= 1 \\ * \vec {BC} &= k \vec {AC} \\ (c-b) &= k(c-a) \\ ((3,-1,4)-(1,1,5)) &= k((3,-1,4)-(-1,3,6)) \\ (2,-2,-1) &= k(4,-4,-2) \\ k &= \frac{1}{2} \\ * \vec {AC} &= k \vec {AB} \\ (c-b) &= k(c-a) \\ ((3,-1,4)-(-1,3,6)) &= k((1,1,5)-(-1,3,6)) \\ (4,-4,-2) &= k(2,-2,-1) \\ k &= 2 \\ \text{terbukti. ketiga titik tersebut merupakan kolinear. } \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = -i+3j+k dan OB = -i-2j+6k. Titik P membagi <math>\vec {AB}</math> di dalam dengan perbandingan 2:3 maka tentukan panjang vektor: * <math>\vec {PA}</math> * <math>\vec {PB}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena titik P berada di dalam maka } \vec {AP} : \vec {PB} = 2:3 \\ \vec OP &= (\frac{3(-1)+2(-1)}{5}, \frac{3(3)+2(-2)}{5}, \frac{3(1)+2(6)}{5}) \\ &= (\frac{-3-2}{5}, \frac{9-4}{5}, \frac{3+12}{5}) \\ &= (-1, 1, 3) \\ * \vec {PA} &= \vec {OA}-\vec {OP} \\ &= (-1,3,1)-(-1,1,3) \\ &= (0,2,-2) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } 2j+2k \\ * \vec {PB} &= \vec {OB}-\vec {OP} \\ &= (-1,-2,6)-(-1,1,3) \\ &= (0,-3,3) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } -3j+3k \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = 3i-j+5k dan OB = i+j-k. Titik P membagi <math>\vec {AB}</math> di luar dengan perbandingan 1:3 maka tentukan panjang vektor: * <math>\vec {PA}</math> * <math>\vec {PB}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena titik P berada di luar maka } \vec {PA} : \vec {PB} = 1:3 \text{ atau } \vec {AP} : \vec {PB} = -1:3 \\ \vec OP &= (\frac{3(3)-(1)}{2}, \frac{3(-1)-(1)}{2}, \frac{3(5)-(-1)}{2}) \\ &= (\frac{9-1}{2}, \frac{-3-1}{2}, \frac{15+1}{2}) \\ &= (4, -2, 8) \\ * \vec {PA} &= \vec {OA}-\vec {OP} \\ &= (3,-1,5)-(4,-2,8) \\ &= (-1,1,-3) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } -i+j-3k \\ * \vec {PB} &= \vec {OB}-\vec {OP} \\ &= (3,1,-1)-(-2,-2,8) \\ &= (5,3,-9) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } 5i+3j-9k \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = i+j+2k dan OB = i+2j+3k. Titik P terletak pada garis AB sehingga <math>|\vec {AP}| = |\vec {OB}|</math> maka tentukan: * OA . AP * OA . OP <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \vec {OA} = i+j+2k, \vec {OB} = i+2j+3k \\ \vec {AB} &= \vec {OB}-\vec {OA} \\ &= (1,2,3)-(1,1,2) \\ &= (0,1,1) \\ * ** \text{cara 1} \\ |\vec AB| &= \sqrt{0^2+1^2+1^2} \\ &= \sqrt{2} \\ |\vec OB| &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ &= \sqrt{14} \\ \text{karena } |\vec AP| = |\vec OB| \text{ maka } |\vec AP| = \sqrt{14} \\ \vec AP &= \frac{|\vec AP|}{|\vec AB|} \cdot \vec AB \\ &= \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0,1,1) \\ &= \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0,1,1) \\ &= \sqrt{7} (0,1,1) \\ &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec AP &= (1,1,2) \cdot (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= 0+\sqrt{7}+2 \sqrt{7} \\ &= 3 \sqrt{7} \\ ** \text{cara 2} \\ \vec AP &= k \cdot \vec AB \\ &= k(0,1,1) \\ &= (0,k,k) \\ |\vec AP| &= |\vec OB| \\ \sqrt{0+k^2+k^2} &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ \sqrt{2k^2} &= \sqrt{14} \\ k &= \sqrt{7} \\ \vec AP &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec AP &= (1,1,2) \cdot (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= 0+\sqrt{7}+2 \sqrt{7} \\ &= 3 \sqrt{7} \\ ** \text{cara 3} \\ |\vec AB| &= \sqrt{0^2+1^2+1^2} \\ &= \sqrt{2} \\ |\vec OB| &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ &= \sqrt{14} \\ \vec OA \cdot \vec AB &= |\vec OA| \cdot |\vec AB| cos \alpha \\ cos \alpha &= \frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec OA| \cdot |\vec AB|} \\ \vec OA \cdot \vec AP &= |\vec OA| \cdot |\vec AP| cos \alpha \\ &= |\vec OA| \cdot |\vec AP| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec OA| \cdot |\vec AB|}) \\ &= |\vec AP| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec AB|}) \\ \text{karena } |\vec AP| = |\vec OB| \\ &= |\vec OB| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec AB|}) \\ &= \sqrt{14} (\frac{(1,1,2) \cdot (0,1,1)}{\sqrt{2}}) \\ &= \sqrt{7} (0+1+2) \\ &= 3 \sqrt{7} \\ * \vec AP &= k \cdot \vec AB \\ &= k(0,1,1) \\ &= (0,k,k) \\ |\vec AP| &= |\vec OB| \\ \sqrt{0+k^2+k^2} &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ \sqrt{2k^2} &= \sqrt{14} \\ k &= \sqrt{7} \\ \vec AP &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OP &= \vec OA+\vec AP \\ &= (1,1,2)+(0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= (1,1+\sqrt{7},2+\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec OP &= (1,1,2)(1,1+\sqrt{7},2+\sqrt{7}) \\ &= 1+1+\sqrt{7}+2(2+\sqrt{7}) \\ &= 6+3 \sqrt{7} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7izzz52sytp166q0c6dn0mi7boyuhiq 115266 115265 2026-05-19T11:12:42Z ~2026-30004-79 43172 /* Panjang proyeksi dan proyeksi vektor */ 115266 wikitext text/x-wiki == Vektor == === Posisi vektor === ; <math>\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j</math> : <math>\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> === Panjang vektor === ; Berada di <math>R^2</math> : Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}</math> : Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}</math> : Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2)</math> dan <math>(b_1, b_2)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}</math> ; Berada di <math>R^3</math> : Panjang vektor a dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> adalah <math>\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}</math> : Panjang vektor b dalam posisi <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}</math> : Panjang vektor c dalam posisi <math>(a_1, a_2,a_3)</math> dan <math>(b_1, b_2,b_3)</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}</math> ; Jumlah dan selisih kedua vektor <math>\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot | \vec a | \cdot | \vec b | \cdot cos C}</math> === Vektor satuan === : <math>\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}</math> === Operasi aljabar pada vektor === * Penjumlahan dan pengurangan terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang <!-- harap ada gambar --> : <math>\vec c = \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_1 + b_1} \\ {a_2 + b_2} \end{pmatrix}</math> : <math>\vec c = \vec a - \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_1 - b_1} \\ {a_2 - b_2} \end{pmatrix}</math> * Perkalian # skalar dengan vektor Jika k skalar tak nol dan vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> maka vektor <math>k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)</math> # titik dua vektor Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3</math> # titik dua vektor dengan membentuk sudut Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> diantara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \cdot \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha</math> # silang dua vektor Jika vektor <math> \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k</math> dan vektor <math> \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k</math> maka <math>\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)</math> : <math>\left[\begin{array}{rrr|rr} \hat i & \hat j & \hat k & \hat i & \hat j \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array}\right] </math> # silang dua vektor dengan membentuk sudut Jika <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> vektor tak nol dan sudut <math>\alpha</math> diantara vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> maka perkalian skalar vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> adalah <math>\vec a \times \vec b</math> = <math>\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| sin \alpha</math> === Sifat operasi aljabar pada vektor === # <math>\vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math> # <math>(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)</math> # <math>\vec a + 0 = 0 + \vec a</math> # <math>k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b</math> # <math>(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a</math> # <math>\vec a + (- \vec a) = 0</math> # <math>\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a</math> # <math>(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)</math> # <math>\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a</math> # <math>k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b</math> # <math>(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)</math> # <math>\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2</math> # <math>\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a</math> # <math>\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)</math> # <math>(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)</math> # <math>k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b</math> # <math>\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math> # <math>\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c</math> === Hubungan vektor dengan vektor lain === * Perkalian titik ; Saling tegak lurus Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = 0</math> ; Sejajar Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}</math> : <math>\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> * Perkalian silang ; Saling tegak lurus Jika tegak lurus antara vektor <math>\vec a</math> dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|</math> Jika <math>\beta > {90}^{\circ}</math> maka dua vektor tersebut searah Jika <math>\beta < {90}^{\circ}</math> maka vektor saling berlawanan arah ; Sejajar Jika vektor <math>\vec a</math> sejajar dengan vektor <math>\vec b</math> maka : <math>\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}</math> : <math>\vec a \times \vec b = 0</math> === Sudut dua vektor === Jika vektor <math>\vec a</math> dan vektor <math>\vec b</math> sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah <math>cos \, \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}</math> === Panjang proyeksi dan proyeksi vektor === : catatan <math>|\vec c| = |\vec a| cos \, a</math> dan <math>\hat b = \frac{\vec b}{|\vec b|}</math> : Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}</math> : Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> adalah <math>\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b</math> === Metode === perhatikan garis-garis sesuai dengan arah panahnya dalam bentuk rumus seperti <math>\vec {AB}, \vec {BA}, dll</math> jika tidak ada tulisan O maka dianggap AB = b-a kecuali keterangan tertulis. ; segitiga : <math>\vec R = \vec a + \vec b</math> : <math>\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right| = \vec b - \vec a</math> : <math>\left| \vec {AB} \right| = - \left| \vec {BA} \right|</math> ; jajar genjang : <math>\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math> : <math>\left| \vec {BA} \right| = \left| \vec {OA} \right| - \left| \vec {OB} \right| = \vec a - \vec b</math> : <math>\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}</math> === Titik segaris (kolinear) === Titik A, B dan C dikatakan segaris memenuhi persamaan sebagai berikut: : <math>\vec {AB} = k \vec {BC}, \vec {BC} = k \vec {AC}, \vec {AC} = k \vec {AB}</math> === Perbandingan === ; Aturan jajar genjang <!-- harap ada gambar --> : Posisi vektor : <math>\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}</math> : Berada di <math>R^2</math> : <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})</math> : Berada di <math>R^3</math> : <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})</math> ; Satu garis <!-- harap ada gambar --> * Perbandingan posisi dalam adalah m:n : Posisi vektor :: <math>\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}</math> : Berada di <math>R^2</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})</math> : Berada di <math>R^3</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})</math> * Perbandingan posisi luar adalah m:-n : Posisi vektor :: <math>\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}</math> : Berada di <math>R^2</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})</math> : Berada di <math>R^3</math> :: <math>\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})</math> == Luas == # Luas segitiga * misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_1 & y_1 & z_1 & x_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |(x_1 y_2 \hat k + y_1 z_2 \hat i + z_1 x_2 \hat j - (x_2 y_1 \hat k + y_2 z_1 \hat i + z_2 x_1 \hat j))| \\ = \frac{1}{2} \cdot |((y_1 z_2-y_2 z_1) \hat i+(z_1 x_2-z_2 x_1) \hat j+(x_1 y_2-x_2 y_1) \hat k)| \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_1 z_2-y_2 z_1)^2+(z_1 x_2-z_2 x_1)^2+(x_1 y_2-x_2 y_1)^2} \\ \end{align}</math> * misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip : misalkan AB dan AC : <math>AB = B - A = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) = (x_4,y_4,z_4)</math> : <math>AC = C - A = (x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1) = (x_5,y_5,z_5)</math> : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_4 & y_4 & z_4 & x_4 \\ x_5 & y_5 & z_5 & x_5 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |(x_4 y_5 \hat k + y_4 z_5 \hat i + z_4 x_5 \hat j - (x_5 y_4 \hat k + y_5 z_4 \hat i + z_5 x_4 \hat j))| \\ = \frac{1}{2} \cdot |((y_4 z_5-y_5 z_4) \hat i+(z_4 x_5-z_5 x_4) \hat j+(x_4 y_5-x_5 y_4) \hat k)| \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_4 z_5-y_5 z_4)^2+(z_4 x_5-z_5 x_4)^2+(x_4 y_5-x_5 y_4)^2} \\ \end{align}</math> # Luas jajar genjang misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip : <math>\begin{align} L = \begin{array}{rrr|r} x_1 & y_1 & z_1 & x_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = |(x_1 y_2 \hat k + y_1 z_2 \hat i + z_1 x_2 \hat j - (x_2 y_1 \hat k + y_2 z_1 \hat i + z_2 x_1 \hat j))| \\ = |((y_1 z_2-z_1 y_2) \hat i+(z_1 x_2-y_2 z_1) \hat j+(x_1 y_2-x_2 y_1) \hat k)| \\ = \sqrt{(y_1 z_2-z_1 y_2)^2+(z_1 x_2-y_2 z_1)^2+(x_1 y_2-x_2 y_1)^2} \\ \end{align}</math> * misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip : misalkan AB dan AC : <math>AB = B - A = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) = (x_4,y_4,z_4)</math> : <math>AC = C - A = (x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1) = (x_5,y_5,z_5)</math> : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_4 & y_4 & z_4 & x_4 \\ x_5 & y_5 & z_5 & x_5 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = |(x_4 y_5 \hat k + y_4 z_5 \hat i + z_4 x_5 \hat j - (x_5 y_4 \hat k + y_5 z_4 \hat i + z_5 x_4 \hat j))| \\ = |((y_4 z_5-y_5 z_4) \hat i+(z_4 x_5-z_5 x_4) \hat j+(x_4 y_5-x_5 y_4) \hat k)| \\ = \sqrt{(y_4 z_5-y_5 z_4)^2+(z_4 x_5-z_5 x_4)^2+(x_4 y_5-x_5 y_4)^2} \\ \end{align}</math> contoh # Titik <math>\vec a = -3 \vec i-2 \vec j+4 \vec k</math> dan <math>\vec b = 6 \vec i+6 \vec j+ \vec k</math>. tentukan: * <math>\vec a + \vec b</math> * <math>\vec a - \vec b</math> * <math>\vec a \cdot \vec b</math> * <math>\vec a \times \vec b</math> * panjang vektor <math>\vec a \text{ dan } \vec b</math> * vektor satuan pada vektor <math>\hat b</math> * panjang proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> * proyeksi vektor <math>\vec a</math> pada vektor <math>\vec b</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec c &= \vec a + \vec b \\ &= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\ &= (-3+6, -2+6, 4+1) \\ &= (3, 4, 5) \\ * \vec c &= \vec a - \vec b \\ &= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\ &= (-3-6, -2-6, 4-1) \\ &= (-9, -8, 3) \\ * \vec a \cdot \vec b \\ &= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\ &= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\ &= -18-12+4 \\ &= -26 \\ * \vec a \times \vec b \\ \begin{array}{rrr|rr} i & j & k & i & j \\ -3 & -2 & 4 & -3 & -2 \\ 6 & 6 & 1 & 6 & 6 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array} \\ &= (-3 \cdot 6)k + (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j - (-2 \cdot 6)k - (4 \cdot 6)i - (-3 \cdot 1)j \\ &= -18k -2i + 24j + 12k -24i + 3j \\ &= -26i + 27j - 6k \\ * | \vec c | &= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\ &= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\ &= \sqrt{81 + 64 + 9} \\ &= \sqrt{145} \\ * \hat b &= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\ &= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\ * | \vec c | &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\ &= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\ * \vec c &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\ &= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\ &= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\ \end{align} </math> </div></div> # Titik <math>\vec a = -3 \vec i+2 \vec j-7 \vec k</math> dan <math>\vec b = x \vec i+5 \vec j+ \vec k</math>. tentukan: * nilai a jika vektor <math>\vec a</math> tegak lurus terhadap vektor <math>\vec b</math> * nilai <math>\vec a \times \vec b</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec a \cdot \vec b &= 0 \\ (-3, 2, -7) \cdot (x, 5, 1) &= 0 \\ (-3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (-7 \cdot 1) &= 0 \\ -3x+10-7 &= 0 \\ -3x &= -3 \\ x &= 1 \\ * \vec a \times \vec b \\ \begin{array}{rrr|rr} i & j & k & i & j \\ -3 & 2 & -7 & -3 & 2 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 5 \\ - & - & - + & + & + \\ \end{array} \\ &= (-3 \cdot 5)k + (2 \cdot 1)i + (-7 \cdot 1)j - (2 \cdot 1)k - (-7 \cdot 5)i - (-3 \cdot 1)j \\ &= -15k+2i-7j-2k+35i+3j \\ &= 37i + 10j - 17k \\ \end{align} </math> </div></div> # Titik <math>\vec a = -3 \vec i+2 \vec j-7 \vec k</math> dan <math>\vec b = x \vec i+5 \vec j+ \vec k</math>. tentukan jumlah nilai x jika vektor <math>\vec w</math> tegak lurus terhadap vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math> dan panjang vektor <math>\vec w</math> adalah 2! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text{ cara 1 } \\ \vec a \cdot \vec b &= |\vec a| \cdot |\vec b| cos \alpha \\ (-3, 2, -7) \cdot (x, 5, 1) &= \sqrt{(-3)^2+2^2+(-7)^2} \cdot \sqrt{x^2+5^2+1^2} cos 180^\circ \\ (-3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (-7 \cdot 1) &= \sqrt{62} \sqrt{x^2+26} (-1) \\ -3x+10-7 &= -\sqrt{62(x^2+26)} \\ -3x+3 &= -\sqrt{62(x^2+26)} \\ (-3x+3)^2 &= 62x^2+1.612 \\ 9x^2-18x+9 &= 62x^2+1.612 \\ 53x^2+18x+1.603 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\frac{18}{53} \\ * \text{ cara 2 } \\ \text{ misalkan } \vec w = (a,b,c) \\ \vec a \cdot \vec w &= 0 \\ (-3, 2, -7) \cdot (a, b, c) &= 0 \\ (-3 \cdot a) + (2 \cdot b) + (-7 \cdot c) &= 0 \\ -3a+2b-7c &= 0 \, (1) \\ \vec b \cdot \vec w &= 0 \\ (x, 5, 1) \cdot (a, b, c) &= 0 \\ (x \cdot a) + (5 \cdot b) + (1 \cdot c) &= 0 \\ xa+5b+c &= 0 \, (2) \\ a^2+b^2+c^2 &= 2^2 \\ a^2+b^2+c^2 &= 4 \\ \text{ eliminasi persamaan 1 dan 2 } \\ (-3+7x)a+37b &= 0 \\ b &= \frac{3a-7xa}{37} \\ c &= -xa-5b \\ &= -xa-5(\frac{3a-7xa}{37}) \\ &= \frac{-37xa-15a+35xa}{37} \\ a^2+b^2+c^2 &= 4 \\ a^2+(\frac{3a-7xa}{37})^2+(\frac{-37xa-15a+35xa}{37})^2 &= 4 \\ a^2+\frac{(3a-7xa)^2}{37^2}+\frac{(-2xa-15a)^2}{37^2} &= 4(37^2) \\ 37^2a^2+9a^2-42xa^2+49x^2a^2+(-2)^2x^2a^2+60xa^2-15^2a^2 &= 4(37^2) \\ 1.369a^2+9a^2-42xa^2+49x^2a^2+4x^2a^2+60xa^2-225a^2 &= 5.476 \\ 53a^2x^2+18a^2x+1.153a^2-5.476 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\frac{18a^2}{53a^2} = -\frac{18}{53} \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui segitiga ABC dengan titik A (1,5,1), B (3,4,1) dan C (2,2,1) maka berapa besar sudut ABC? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text{ cara 1 } \\ AB &= \sqrt{(1-3)^2+(5-4)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{4+1+0} \\ &= \sqrt{5} \\ AC &= \sqrt{(1-2)^2+(5-2)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{1+9+0} \\ &= \sqrt{10} \\ BC &= \sqrt{(3-2)^2+(4-2)^2+(1-1)^2} \\ &= \sqrt{1+4+0} \\ &= \sqrt{5} \\ AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos \alpha \\ (\sqrt{10})^2 &= (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot cos \alpha \\ 10 &= 5+5-10 \cos \alpha \\ 10 &= 10-10 \cos \alpha \\ 10 \cos \alpha &= 0 \\ cos \alpha &= 0 \\ \alpha &= 90^\circ \\ * \text{ cara 2 } \\ \vec {BA} &= (1-3, 5-4, 1-1) \\ &= (-2,1,0) \\ |\vec {BA}| &= \sqrt{(-2)^2+1^2+0^2} \\ &= \sqrt{4+1+0} \\ &= \sqrt{5} \\ \vec {BC} &= (2-3, 2-4, 1-1) \\ &= (-1,-2,0) \\ |\vec {BC}| &= \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2} \\ &= \sqrt{1+4+0} \\ &= \sqrt{5} \\ cos \alpha &= \frac{\vec {BA} \cdot \vec {BC}}{|\vec {BA}| \cdot |\vec {BC}|} \\ &= \frac{-2(-1)+1(-2)+0(0)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \\ &= \frac{2-2+0}{5} \\ &= \frac{0}{5} \\ &= 0 \\ \alpha &= 90^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa luas segitiga titik A (3,1,2), B (4,3,0) dan C (1,2,5)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \vec {AB} &= \vec B-\vec A = (4,3,0)-(3,1,2) = (1,2,-2) \\ \vec {BC} &= \vec C-\vec B = (1,2,5)-(4,3,0) = (-3,-1,5) \\ \vec {AC} &= \vec C-\vec A = (1,2,5)-(3,1,2) = (-2,1,3) \\ * \text{cara 1} \\ AB \text{ dan } BC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & 1 \\ -3 & -1 & 5 & -3 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(1 (-1) \hat k + 2 (5) \hat i + (-2) (-3) \hat j - ((-3) (2) \hat k + (-1) (-2) \hat i + (5) 1 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(- \hat k + 10 \hat i + 6 \hat j - (-6 \hat k + 2 \hat i + 5 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(8 \hat i + \hat j + 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+1^2+5^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * \text{cara 2} \\ AB \text{ dan } AC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 & -2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(1 (1) \hat k + 2 (3) \hat i + (-2) (-2) \hat j - ((-2) (2) \hat k + 1 (-2) \hat i + (3) 1 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(\hat k + 6 \hat i + 4 \hat j - (-4 \hat k - 2 \hat i + 3 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(8 \hat i + \hat j + 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2+1^2+5^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * \text{cara 3} \\ BC \text{ dan } AC \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} -3 & -1 & 5 & -3 \\ -2 & 1 & 3 & -2 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |((-3) 1 \hat k + (-1) (3) \hat i + (5) (-2) \hat j - ((-2) (-1) \hat k + 1 (5) \hat i + (3) (-3) \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-3 \hat k - 3 \hat i - 10 \hat j - (2 \hat k + 5 \hat i - 9 \hat j))| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-8 \hat i - \hat j - 5 \hat k)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-5)^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64+1+25} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ \end{align} </math> </div></div> # Buktikan bahwa titik A (-1,3,6), B (1,1,5) dan C (3,-1,4) adalah titik segaris (kolinear)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \vec {AB} &= k \vec {BC} \\ (b-a) &= k(c-b) \\ ((1,1,5)-(-1,3,6)) &= k((3,-1,4)-(1,1,5)) \\ (2,-2,-1) &= k(2,-2,-1) \\ k &= 1 \\ * \vec {BC} &= k \vec {AC} \\ (c-b) &= k(c-a) \\ ((3,-1,4)-(1,1,5)) &= k((3,-1,4)-(-1,3,6)) \\ (2,-2,-1) &= k(4,-4,-2) \\ k &= \frac{1}{2} \\ * \vec {AC} &= k \vec {AB} \\ (c-b) &= k(c-a) \\ ((3,-1,4)-(-1,3,6)) &= k((1,1,5)-(-1,3,6)) \\ (4,-4,-2) &= k(2,-2,-1) \\ k &= 2 \\ \text{terbukti. ketiga titik tersebut merupakan kolinear. } \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = -i+3j+k dan OB = -i-2j+6k. Titik P membagi <math>\vec {AB}</math> di dalam dengan perbandingan 2:3 maka tentukan panjang vektor: * <math>\vec {PA}</math> * <math>\vec {PB}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena titik P berada di dalam maka } \vec {AP} : \vec {PB} = 2:3 \\ \vec OP &= (\frac{3(-1)+2(-1)}{5}, \frac{3(3)+2(-2)}{5}, \frac{3(1)+2(6)}{5}) \\ &= (\frac{-3-2}{5}, \frac{9-4}{5}, \frac{3+12}{5}) \\ &= (-1, 1, 3) \\ * \vec {PA} &= \vec {OA}-\vec {OP} \\ &= (-1,3,1)-(-1,1,3) \\ &= (0,2,-2) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } 2j+2k \\ * \vec {PB} &= \vec {OB}-\vec {OP} \\ &= (-1,-2,6)-(-1,1,3) \\ &= (0,-3,3) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } -3j+3k \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = 3i-j+5k dan OB = i+j-k. Titik P membagi <math>\vec {AB}</math> di luar dengan perbandingan 1:3 maka tentukan panjang vektor: * <math>\vec {PA}</math> * <math>\vec {PB}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena titik P berada di luar maka } \vec {PA} : \vec {PB} = 1:3 \text{ atau } \vec {AP} : \vec {PB} = -1:3 \\ \vec OP &= (\frac{3(3)-(1)}{2}, \frac{3(-1)-(1)}{2}, \frac{3(5)-(-1)}{2}) \\ &= (\frac{9-1}{2}, \frac{-3-1}{2}, \frac{15+1}{2}) \\ &= (4, -2, 8) \\ * \vec {PA} &= \vec {OA}-\vec {OP} \\ &= (3,-1,5)-(4,-2,8) \\ &= (-1,1,-3) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } -i+j-3k \\ * \vec {PB} &= \vec {OB}-\vec {OP} \\ &= (3,1,-1)-(-2,-2,8) \\ &= (5,3,-9) \\ \text{jadi } \vec {PA} \text{ adalah } 5i+3j-9k \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui vektor OA = i+j+2k dan OB = i+2j+3k. Titik P terletak pada garis AB sehingga <math>|\vec {AP}| = |\vec {OB}|</math> maka tentukan: * OA . AP * OA . OP <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \vec {OA} = i+j+2k, \vec {OB} = i+2j+3k \\ \vec {AB} &= \vec {OB}-\vec {OA} \\ &= (1,2,3)-(1,1,2) \\ &= (0,1,1) \\ * ** \text{cara 1} \\ |\vec AB| &= \sqrt{0^2+1^2+1^2} \\ &= \sqrt{2} \\ |\vec OB| &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ &= \sqrt{14} \\ \text{karena } |\vec AP| = |\vec OB| \text{ maka } |\vec AP| = \sqrt{14} \\ \vec AP &= \frac{|\vec AP|}{|\vec AB|} \cdot \vec AB \\ &= \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0,1,1) \\ &= \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0,1,1) \\ &= \sqrt{7} (0,1,1) \\ &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec AP &= (1,1,2) \cdot (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= 0+\sqrt{7}+2 \sqrt{7} \\ &= 3 \sqrt{7} \\ ** \text{cara 2} \\ \vec AP &= k \cdot \vec AB \\ &= k(0,1,1) \\ &= (0,k,k) \\ |\vec AP| &= |\vec OB| \\ \sqrt{0+k^2+k^2} &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ \sqrt{2k^2} &= \sqrt{14} \\ k &= \sqrt{7} \\ \vec AP &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec AP &= (1,1,2) \cdot (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= 0+\sqrt{7}+2 \sqrt{7} \\ &= 3 \sqrt{7} \\ ** \text{cara 3} \\ |\vec AB| &= \sqrt{0^2+1^2+1^2} \\ &= \sqrt{2} \\ |\vec OB| &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ &= \sqrt{14} \\ \vec OA \cdot \vec AB &= |\vec OA| \cdot |\vec AB| cos \alpha \\ cos \alpha &= \frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec OA| \cdot |\vec AB|} \\ \vec OA \cdot \vec AP &= |\vec OA| \cdot |\vec AP| cos \alpha \\ &= |\vec OA| \cdot |\vec AP| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec OA| \cdot |\vec AB|}) \\ &= |\vec AP| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec AB|}) \\ \text{karena } |\vec AP| = |\vec OB| \\ &= |\vec OB| (\frac{\vec OA \cdot \vec AB}{|\vec AB|}) \\ &= \sqrt{14} (\frac{(1,1,2) \cdot (0,1,1)}{\sqrt{2}}) \\ &= \sqrt{7} (0+1+2) \\ &= 3 \sqrt{7} \\ * \vec AP &= k \cdot \vec AB \\ &= k(0,1,1) \\ &= (0,k,k) \\ |\vec AP| &= |\vec OB| \\ \sqrt{0+k^2+k^2} &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\ \sqrt{2k^2} &= \sqrt{14} \\ k &= \sqrt{7} \\ \vec AP &= (0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ \vec OP &= \vec OA+\vec AP \\ &= (1,1,2)+(0,\sqrt{7},\sqrt{7}) \\ &= (1,1+\sqrt{7},2+\sqrt{7}) \\ \vec OA \cdot \vec OP &= (1,1,2)(1,1+\sqrt{7},2+\sqrt{7}) \\ &= 1+1+\sqrt{7}+2(2+\sqrt{7}) \\ &= 6+3 \sqrt{7} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] nt7gywzxo9j19v03x0i8eqwt2l515u4 0 26213 115263 113434 2026-05-19T07:04:16Z ~2026-30004-79 43172 /* Anuitas dan bunga */ 115263 wikitext text/x-wiki == Modal dan bunga == Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. === Bunga tunggal === Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga (b)} = \frac{\text{bunga (B)}}{\text{pinjaman awal (Mo)}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = M_o \cdot i</math> * bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # i adalah persentase bunga (suku bunga) # n adalah periode penyimpanan menabung # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga sebesar 11% per tahun dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B_n = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (ni + i + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga setelah satu periode # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (ni + i + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.203.007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. === Bunga majemuk === Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya. Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap-tiap periode. Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga. * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga (b)} = \frac{\text{bunga (B)}}{\text{pinjaman awal (Mo)}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = M_o \cdot i</math> * bunga <math>B_n = b \cdot (1+i)^{n-1} = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> * modal : umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> : besaran bunga kumulatif yang didapat (jarak periode ke-n dengan periode awal) <math>B_n = M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> : besaran bunga per periode (jarak periode ke-n dengan periode ke-n-1) <math>B_n = M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # Bn = besar bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan (modal akhir) setelah n periode # M_n-1 = tabungan (modal akhir) setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp. 100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% per triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 triwulan = 3 bulan} \\ \text{3,5 tahun = 42 bulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp. 10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? (?) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ B_n = M_n - M_o &= M_o((1+i)^n - 1) \\ M_{10} - M_o &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - 1) \\ &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - 1) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - 1) \\ &= 6.288.964,27 \\ \end{align} </math> </div></div> atau <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ B_n = M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775.664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Anuitas dan bunga == ; Anuitas rumus: : A = a_n+b_n atau Anuitas = Angsuran + Bunga : a_n = a₁(1+i)^n-1 : a_n = a_k(1+i)^n-k : b_n = M i jika A₁ atau A_k tidak diketahui ;tanpa tabel : rumus: A = <math>\frac{Mi(1+i)^n}{(1+i)^n-1}</math> atau <math>\frac{Mi}{1-(1+i)^{-n}}</math> ;dengan tabel : rumus: A = M x A_n¬i : A = a₁+b₁ = a₂+b₂ = a₃+b₃ = …. = a_n+b_n disebut tabel amortisasi :Keterangan: : A = Anuitas : a_n = angsuran ke-n : a₁ = angsuran ke-1 : a_k = angsuran ke-k : A_n¬i = daftar anuitas dengan jangka waktu suku bunga i% : b_n = bunga : M = besarnya pinjaman : i = persentase bunga (suku bunga) contoh # Rudi meminjam uang sebesar Rp. 4.500.000,00 dengan suku bunga 5% per bulan dalam anuitas bulanan Rp. 350.000,00. Tentukanlah: : besar bunga dan angsuran pertama! : besar bunga dan angsuran kelima! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 4.500.000 \\ i &= 0,05 \\ A &= 350.000 \\ * b_1 &= M_o \cdot i \\ &= 4.500.000 \cdot 0,05 \\ &= 225.000 \\ A &= a_1 + b_1 \\ 350.000 &= a_1 + 225.000 \\ a_1 &= 125.000 \\ * a_5 &= a_1(1+i)^{5-1} \\ &= 125.000(1+0,05)^4 \\ &= 125.000(1,05)^4 \\ &= 151.938,281 \\ A &= a_5 + b_5 \\ 350.000 &= 151.938,281 + b_5 \\ b_5 &= 198.061,719 \\ \end{align} </math> </div></div> # Lala meminjam uang sebesar Rp. 5.000.000,00 dengan suku bunga 3% per bulan dalam anuitas bulanan sebanyak 5 kali. Tentukanlah besar anuitas tersebut! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M &= 5.000.000 \\ i &= 0,03 \\ n &= 5 \\ A &= \frac{M \cdot i \cdot (1+i)^n}{(1+i)^n-1} \\ &= \frac{5.000.000 \cdot 0,03 \cdot (1+0,03)^5}{(1+0,03)^5-1} \\ &= \frac{150.000 \cdot (1,03)^5}{(1,03)^5-1} \\ &= \frac{173.891,111}{0,1592} \\ &= 1.092.280,85 \\ \end{align} </math> </div></div> # Perhatikan tabel anuitas dibawah ini! {| class="wikitable" |+ Tabel anuitas (dalam rupiah) |- ! rowspan=2| Bulan ke- !! rowspan=2| Besarnya pinjaman !! colspan=2| Anuitas = 400.000 !! rowspan=2| Sisa pinjaman |- ! Bunga (4%) !! Angsuran |- | 1 || <b>6.000.000</b> || … || … || … |- | 2 || … || … || … || … |- | 3 || … || … || … || … |- | 4 || … || … || … || … |- | 5 || … || … || … || … |- | 6 || … || … || … || … |} Isilah pada jawaban kolom kotak tersebut! ; jawab {| class="wikitable" |+ Tabel anuitas (dalam rupiah) |- ! rowspan=2| Bulan ke- !! rowspan=2| Besarnya pinjaman !! colspan=2| Anuitas = 400.000 !! rowspan=2| Sisa pinjaman |- ! Bunga (4%) !! Angsuran |- | 1 || <b>6.000.000</b> || 240.000 || 160.000 || 5.840.000 |- | 2 || 5.840.000 || 233.600 || 166.400 || 5.673.600 |- | 3 || 5.673.600 || 226.944 || 173.056 || 5.500.544 |- | 4 || 5.500.544 || 220.021,16 || 179.978,84 || 5.320.565,16 |- | 5 || 5.320.565,16 || 212.822,606 || 187.177,394 || 5.133.387,77 |- | 6 || 5.133.387,77 || 205.335,511 || 194.664,489 || 4.928.052,26 |} == Sisa pinjaman atau Utang == rumus: : <math>S_n = \frac{b_{n+1}}{i}</math> atau <math>S_n = M - \frac{a_1 ((1+i)^n-1)}{i}</math> # Rafael meminjam uang sebesar Rp. 7.250.000,00 dengan suku bunga 6% per bulan dalam anuitas bulanan Rp. 625.000,00. Tentukanlah: : besar bunga dan angsuran pertama! : besar bunga dan angsuran keempat! : sisa pinjaman (utang) pada bulan ketujuh! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 7.250.000 \\ i &= 0,06 \\ A &= 625.000 \\ * b_1 &= M_o \cdot i \\ &= 7.250.000 \cdot 0,06 \\ &= 435.000 \\ A &= a_1 + b_1 \\ 625.000 &= a_1 + 435.000 \\ a_1 &= 190.000 \\ * a_4 &= a_1(1+i)^{4-1} \\ &= 190.000(1+0,06)^3 \\ &= 190.000(1,06)^3 \\ &= 226.293,04 \\ A &= a_4 + b_4 \\ 625.000 &= 226.293,04 + b_4 \\ b_4 &= 398.706,96 \\ * \text{cara 1 } \\ a_8 &= a_1(1+i)^{8-1} \\ &= 190.000(1+0,06)^7 \\ &= 190.000(1,06)^7 \\ &= 285.689,749 \\ A &= a_8 + b_8 \\ 625.000 &= 285.689,749 + b_8 \\ b_8 &= 339.310,251 \\ S_7 &= \frac{b_8}{i} \\ &= \frac{339.310,251}{0,06} \\ &= 5.655.170,85 \\ * \text{cara 2 } \\ S_7 &= M - \frac{a_1 ((1+i)^7-1)}{i} \\ &= 7.250.000 - \frac{190.000 ((1+0,06)^7-1)}{0,06} \\ &= 7.250.000 - \frac{190.000 ((1,06)^7-1)}{0,06} \\ &= 7.250.000 - \frac{190.000 (1,50363026-1)}{0,06} \\ &= 7.250.000 - \frac{190.000 (0,50363026)}{0,06} \\ &= 7.250.000 - \frac{95.689,7492}{0,06} \\ &= 7.250.000 - 1.594.829,15 \\ &= 5.655.170,85 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == :<math>B = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> :Modal akhir = Modal awal + Bunga keterangan: # B = besar bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga (suku bunga) # Mo = modal awal contoh # Rani menabung sebesar Rp. 4.500.000,00 dengan bunga 5% per bulan. Tentukanlah: : besar bunga yang diterima setelah 8 bulan! : modal yang diterima setelah 8 bulan! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 5.000.000 \\ P &= 5 \\ b &= 8 \\ * B &= \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o \\ &= \frac{8}{12} \cdot \frac{5}{100} \cdot 4.500.000 \\ &= 150.000 \\ * M_8 &= M_o + B \\ &= 4.500.000 + 150.000 \\ &= 4.650.000 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] l4kb6mkq3jqchm2bpe65k9ztkkkh42e